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第五章 一元一次方程
5.2.1 等式的性质与方程的简单变形
第2课时 用方程变形解简单的方程
本节课是华东师大版初中数学七年级下册第五章第二节《解一元一次方程》第二课时的内容．在上个课时学习了等式的基本性质之后，本课时是在此基础上，利用等式的性质对方程进行变形，从而解简单的方程.解简单的方程是后续解复杂方程的基础，鼓励学生自主探究和归纳，培养他们的自主学习能力和批判性思维．设计多样化的练习题，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力．鼓励学生积极主动进行思考、分析、交流，直到解决问题．课立足于学生的“学”，要求学生多观察．课堂采用自主探究和合作交流的方法组织教学，使每位学生都参与到课堂当中，体会到数学的乐趣．
七年级学生思维活跃、好奇心强，经过小学六年的学习，已经具备一定的运算能力，会解“简易方程”.中学学习使得他们具备一定的等式的性质的知识，但是由于他们习惯于算术方法，对于理解、分析实际问题，并将其转化为方程的能力还需要思维转换的过程，并且目前只会解简单方程.
1.正确理解和使用方程的变形规则，能利用方程的变形规则解方程；
2.掌握移项的定义，能够熟练利用移项方法解简单的方程；
3.理解解方程的过程就是使方程逐步转化为的形式，体会化归思想；
4.体会利用一元方程解决问题的基本过程，感受数学的应用价值，提高分析、解决问题的能力.
重点：正确理解和使用方程的变形规则.
难点：理解解方程的过程就是使方程逐步转化为的形式.
复习回顾
思考：等式的性质有哪些？
师生活动：小组形式汇报．
答：等式的基本性质1：
等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
如果，那么，．
等式的基本性质2：
等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式.
如果，那么，．
设计意图：通过回顾之前学习的知识，唤醒记忆，为讲解新知作铺垫，助于对新知的引入和学习.
探究新知
活动一：方程的变形规则
由等式的基本性质，可以得到方程的变形规则：
1.方程两边都加上（或都减去）同一个数或同一个整式，方程的解不变；
2.方程两边都乘以（或都除以）同一个不等于0的数，方程的解不变．
根据这些规则，我们可以对方程进行适当的变形，求得方程的解．
设计意图：在等式的基本性质基础上，明确方程的变形规则，为新知识的学习做铺垫．
例1 解下列方程：
（1）； （2）．
解 （1），
两边都加上5，得，
即 ．
（2），
两边都减去，得．
合并同类项，得 ．
在解这两个方程时，进行了怎样的变形？有什么共同点？
答：以上两个方程的解法，都依据了方程的变形规则1．
设计意图：利用方程的变形规则1进行解简单的方程，培养学生的应用意识．
活动二：移项
以上两个方程的变形，相当于将方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边.
像这样的变形叫作移项．
移项要点：
（1）移项的根据是等式的基本性质1．
（2）移项要变号，没有移动的项不改变符号．
（3）通常把含有未知数的项移到方程的左边，把常数项(不含未知数的项)移到方程的右边．
做一做：下面的移项对不对？如果不对，应怎样改正？
（1）移项得；
（2）移项得；
（3）移项得；
（4）移项得．
答：（1）错，改正为：；（2）错，改正为：；（3）对；（4）对．
注意：
1.移项时必须是从等号的一边到另一边，并且不要忘记对移动的项变号，如从得到是不对的．
2.没移项时不要误认为移项，如从得到，犯这样的错误，其原因在于对等式的对称性与移项的区别没有分清．
设计意图：通过活动一的探究，合作交流，得到移项的概念，并通过做一做巩固利用移项的方法解方程；培养学生观察、分析、归纳和推理的能力．
活动三：将未知数的系数化为1
例2 解下列方程：
（1）； （2）
解：（1）方程两边都除以，得
．
（2）方程两边都除以，得
，
．
在解这两个方程时，进行了怎样的变形？有什么共同点？
答： 这两个方程的解法，都依据了方程的变形规则2，将方程的两边都除以未知数的系数．像这样的变形通常称作“将未知数的系数化为1”．
设计意图：通过例题2的探究，得到利用方程的变形规则2解方程．
概括 以上例1和例2解方程的过程，都是将方程进行适当的变形，得到的形式.
设计意图：方程的变形规则1和2，实际上是将方程适当变形得到的形式，培养学生观察、分析、归纳和推理的能力．
做一做：利用方程的变形，求方程的解，并和同学交流.
解：两边都减去3，得．
合并同类项，得．
两边都除以2，得．
应用新知
经典例题
教材例题：例3 解下列方程：
（1）； （2）； （3）
解：（1）移项，得
合并同类项，得
将未知数的系数化为1，得．
（2）原方程即
移项,得
将未知数的系数化为1，得．
（3）移项，得
合并同类项，得
将未知数的系数化为1，得．
设计意图：通过具体的填空题目，让学生巩固利用方程的变形规则2进行解方程．
课堂练习
【教材练习】
1.下列方程的变形是否正确？如果不正确，说明错在哪里．
（1）由，得；
（2）由，得；
（3）由，得；
（4）由，得．
答：（1）错，3移到右边需要变号；（2）错，是除以7，得数错误；
（3）错，得数错误，正确是；（4）错，移到另一边需要变号，正确是．
2.解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
师生活动：学生先独立思考再作答.
解：（1）方程两边都加上6，得
．
（2）方程两边都减去，得
．
（3）方程两边都除以，得
．
（4）方程两边都乘4，得
．
3.解下列方程:
（1）； （2）．
解：（1）移项，得
合并同类项，得
将未知数的系数化为1，得
．
（2）移项，得
合并同类项，得
将未知数的系数化为1，得
．
设计意图：通过具体的题目巩固和深化学生对利用方程的变形规则解方程的理解，培养解题技能和逻辑思维能力，增强学习兴趣，并促进知识迁移．
【课堂检测】
1.下列方程变形中，正确的是（ ）
A.由，得 B.由，得
C.由，得 D.由，得
答：C
2.把x的系数化为1，正确的是（ ）
A. 由 ，得 B. 由，得
C. 由，得 D. 由 ，得
答：D
3.解下列方程：
（1）； （2）；
（3）； （4）．
解：（1）方程两边都减去1，得；
（2）方程两边都减去x，得；
（3）方程两边都乘以3，得；
（4）方程两边都除以4，得．
4.解方程：．
解：移项，得
合并同类项，得
将未知数的系数化为1，得．
设计意图：通过本次活动，学生能够在短时间内快速回顾和巩固本堂课所学相关知识．锻炼了学生的解题速度和对题目的理解能力，同时培养他们的时间管理意识和学习兴趣．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．什么是方程的变形规则？
3．如何利用变形规则解简单方程？
设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容．这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
试着写出一个方程，让同桌尝试用本节课的方法解答，并与同学们交流.
本节从复习入手，帮助学生回顾等式的基本性质的相关知识，为学习用方程的变形规则做好铺垫.
学习是一个循序渐进的过程，在上节课学习了等式的基本性质之后，就的学会如何利用已学的知识进行解决新的问题，即学习了等式的性质，就得知道它的运用，本节课就是利用等式的性质得到方程的变形规则，再利用方程的变形规则进行解简单的方程.接着为了书写格式的准确，板书一个方程的解答过程，利用学生较强的模仿能力，加强学生对正确格式的掌握.其他方程交给学生完成.另外教学中通过小组交流，给学生探讨的时间和空间，各小组对比解法，体会最优解法.最后设计有选择、填空、解答题的课堂监测，富有层次性，这样让学生进一步掌握合并同类项解一元一次方程及列方程解“总量与分量关系”的实际问题，使学生所学的知识、技能得以螺旋式提升.第五章 一元一次方程
5.2.1 等式的性质与方程的简单变形
第1课时 等式的基本性质
本节课是华东师大版初中数学七年级下册第五章第二节《解一元一次方程》第一课时的内容．等式的性质在教材中占据重要地位，是学生学习数学不可或缺的基础知识之一，等式的性质是连接算术与代数的桥梁，是数与代数领域的基础内容之一，对于后续学习方程、不等式、函数等内容具有重要作用．本节课是在小学已学的基础上，进一步学习等式的两个基本性质，这些性质是后续解方程和进行数学推理的重要工具．
本节《等式的性质》内容是在学生已经对等量关系和等式有了初步的认识的基础上进行教学的．在小学阶段，学生已经接触过简单的等式，并能够通过观察和实践理解等式的基本概念．初中阶段的学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的时期，他们开始具备更强的逻辑思维能力和归纳总结能力．因此，在教学过程中，应注重引导学生通过观察、分析、归纳等方式，逐步理解等式的性质．掌握等式的性质是解决数学问题的基础和关键．鼓励学生自主探究和归纳，培养他们的自主学习能力和批判性思维．设计多样化的练习题，让学生在实践中巩固所学知识，提高解题能力．鼓励学生积极主动进行思考、分析、交流，直到解决问题．课立足于学生的“学”，要求学生多观察．课堂采用自主探究和合作交流的方法组织教学，使每位学生都参与到课堂当中，体会到数学的乐趣．
1.借助天平的实际操作，形象直观地感受等式的基本性质；
2.理解等式的基本性质，掌握利用等式性质解决一些等式问题；
3.使学生在分析实际问题情境的活动中体会数学与现实的密切联系，并在概括的过程中体验归纳方法；
4.经历等式的基本性质的发现过程，培养学生动手、分析、概括及解决问题的能力．
重点：理解等式的基本性质．
难点：利用等式性质解决一些等式问题．
复习回顾
思考：什么是方程？等式和方程的关系是什么？
师生活动：小组形式汇报．
结论：含有未知数的等式叫作方程.方程一定是等式，但等式不一定是方程．
方程是含有未知数的等式，解方程自然要研究等式的基本性质.等式有哪些基本性质呢？
情境导入
思考：要让天平平衡应该满足什么条件？
设计意图：通过回顾之前学习的知识，唤醒记忆，为讲解新知作铺垫，通过情境导入给出新课探究要借助的工具，助于对新知的引入和学习.
探究新知
活动一：探究等式的性质1
问题1：对比天平与等式，你有什么发现？
答：等号成立就可看作是天平保持两边平衡！
问题2：观察天平有什么特性？
答：（1）天平平衡状态下，同时将质量相等的物体c放入了左右两边，天平仍然平衡．
（2）天平平衡状态下，同时将质量相等的物体c从左右两边拿走，天平仍然平衡．
师生活动：学生先独立思考，再小组交流，最后以小组为代表汇报展示．
这个事实反映了等式的基本性质1：
等式两边都加上(或都减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．
如果，那么，．
设计意图：通过让学生观察天平，引导他们探究等式可能具有的性质．例如，观察天平两边在进行增加相同的物体质量或减少相同的物体质量，天平仍然平衡；从而发现等式的基本性质1．探究等式的性质不仅是对知识的学习，更是对学生数学思维的培养．它要求学生具备观察、分析、归纳和推理的能力，从而能够从具体例子中抽象出一般规律．
活动二：探究等式的性质2
问题3：天平两边物体的质量扩大相同的倍数，观察天平有什么特性？
答：两图中天平均保持平衡．a，b；3a，3b．
问题4：天平两边物体的质量缩小到原来的几分之一，观察天平有什么特性？
答：两图中天平均保持平衡．3a，3b；a，b．
这个事实反映了等式的基本性质2：
等式两边都乘以(或都除以)同一个数(除数不能为0)，所得结果仍是等式．
如果，那么，(c≠0)．
设计意图：通过让学生观察天平，引导他们探究等式可能具有的性质．例如，观察天平两边在进行盘内物体的质量都扩大相同的倍数或都缩小到原来的几分之一，天平仍然平衡；从而发现等式的基本性质2．探究等式的性质不仅是对知识的学习，更是对学生数学思维的培养．它要求学生具备观察、分析、归纳和推理的能力，从而能够从具体例子中抽象出一般规律．
应用新知
经典例题
例 填空，并说明理由．
（1）如果，那么______ ；
（2）如果，那么______ ；
（3）如果，那么______ ．
解：（1）因为，由等式性质1可知，等式两边都减去2，
得，
即．
（2）因为，由等式性质2可知，等式两边都除以3，
得，
即．
（3）因为，由等式性质2可知，等式两边都乘12，
得，
即．
设计意图：通过具体的填空题目，让学生巩固等式的性质，这些性质是后续解决更复杂代数问题的基础．题目要求学生根据等式的性质进行填空，并说明依据，这不仅能够锻炼学生的解题能力，还能促使他们养成在解题过程中明确每一步骤依据的好习惯．
课堂练习
【教材练习】
1.回答下列问题，并说明理由:
（1）由能不能得到？
答：能，由等式性质1可知，等式两边都减去2，
得．
（2）由能不能得到？
答：能，由等式性质2可知，等式两边都除以-3，
得．
（3）由能不能得到？
答：能，由等式性质2可知，等式两边都除以2，
得，即．
（4）由能不能得到？
答：能，由等式性质2可知，等式两边都乘6，
得，即．
2.填空，使所得结果仍是等式，并说明是根据哪一条等式性质得到的:
（1）如果，那么_____；
（2）如果，那么____；
（3）如果，那么________；
（4）如果，那么_______．
师生活动：学生先独立思考再作答.
答：（1）2，等式的基本性质1；（2）2x,等式的基本性质1；
（3），等式的基本性质2；（4）6，等式的基本性质2．
设计意图：通过具体的题目巩固和深化学生对等式性质的理解，培养解题技能和逻辑思维能力，增强学习兴趣，并促进知识迁移．
【课堂检测】
1．如果，那么下列等式中不一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
答：D
2.下列变形中，不正确的是 （ ）
A.由，得 B.由，得
C.由，得 D.由，得
答：D.
3.下列等式变形正确的是（ ）
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
答：C.
4.下列结论中不能由得到的是( )
A. B.
C. ， D.
答：C.
设计意图：通过本次活动，学生能够在短时间内快速回顾和巩固本堂课所学相关知识．锻炼了学生的解题速度和对题目的理解能力，同时培养他们的时间管理意识和学习兴趣．
归纳总结
师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容．
1．本节课你学到了什么？
2．等式有什么性质？
3．根据等式的性质如何解方程？
设计意图：本节课的课堂总结活动通过三个关键问题，引导学生全面回顾了本节课的学习内容．这种总结方式不仅帮助学生巩固了知识，还提高了他们的自我反思和总结能力．同时，通过师生互动，教师也能及时了解学生的学习情况，为后续的教学提供有针对性的指导．通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识．
实践作业
你玩过跷跷板吗？体重相同的两位同学坐在两端，两边同时增加或减少体重相同的同学，观察跷跷板的变化情况，与同学们交流.
本节课是第七章“一元一次方程”的第二节《解一元一次方程》中的第一课时《等式的基本性质》，在本次教学中，通过观察天平的变化情况，总结归纳出等式的基本性质，在课前准备阶段，明确教学目标，即让学生理解等式的性质，掌握利用等式的性质解决一些等式的问题．
采用师生活动、小组合作、问答互动等方式进行教学，这在一定程度上提高了学生的参与度．可以尝试更多元化的教学方法，如案例分析、游戏化学习等，以激发学生的学习兴趣和主动性．在教学过程中，及时注意学生的反馈，收集到足够的反馈来评估教学效果．如例题、教材练习、课堂练习、课堂检测等习题活动，以便及时了解学生的学习情况和困惑，从而调整教学策略，合理规划课堂时间，确保每个环节都有足够的时间进行深入探讨和交流，同时保持课堂的节奏感和连贯性．
每个学生都有自己的学习节奏和理解能力．充分关注学生的个体差异，注重因材施教．本节课教学设计体现了学生自主学习、合作交流的教学理念，鼓励学生讨论交流，学生是主体，教师是引导者．

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