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专题1.1 集合【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 集合中元素个数问题】 2
【题型2 子集的个数问题】 4
【题型3 与集合间的关系有关的含参问题】 5
【题型4 集合的交、并、补集运算】 6
【题型5 与集合的运算有关的含参问题】 7
【题型6 集合的新定义问题】 8
1、集合
考点要求 真题统计 考情分析
(1)集合的概念
(2)集合间的基本关系
(3)集合的基本运算 2020年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分 2021年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分 2022年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分 2023年I卷：第1题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分 集合是高考数学的必考考点，高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主.
【知识点1 集合】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A B；
(2)真子集：若A B，且A≠B，则A B；
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B；
(4) 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法
交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x A} UA
4．集合的运算性质
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
【常用结论】
(1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(3)．
(4),．
【题型1 集合中元素个数问题】
【例1】（2024高一上·全国·专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用一元二次方程及根的判别式列式求解即得.
【解答过程】依题意，方程有两个不等的实根，则且，解得且，
所以实数m的取值范围为且.
故选：C.
【变式1-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【解题思路】
根据题意得到，再结合求解即可.
【解答过程】，，
因为，
当时，为偶数，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，共有个元素.
当时，为奇数，
此时，有重复数字，去掉，共有个元素.
综上中元素的个数为个.
故选：B.
【变式1-2】（2023·四川南充·模拟预测）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据集合的新定义求得，从而确定正确答案.
【解答过程】因为，，
所以，
故中元素的个数为.
故选：B.
【变式1-3】（2023·河北·模拟预测）若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（ ）
A．14 B．30 C．32 D．42
【解题思路】根据集合中的元素以及交并补运算的性质即可求解.
【解答过程】设中有个元素，则,
所以中的元素个数为，因此中的元素个数为中的元素减去中的元素个数，即为，
由于，所以，故当时，有最小值14
故选：A.
【题型2 子集的个数问题】
【例2】（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
【解题思路】先求出集合B，再求真子集个数即可.
【解答过程】由题意得，
故集合B的真子集个数为.
故选：B.
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解题思路】根据包含关系确定中的元素后可得正确的选项．
【解答过程】由可得且，根据为的真子集，
可得或或，故满足条件的集合的个数为3.
故选：A.
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则集合的真子集个数为（ ）
A．8 B．16 C．31 D．63
【解题思路】根据题意，利用列举法求化简集合，从而求得集合的真子集个数.
【解答过程】依题意，得；；；
；；；
；；，故，
其真子集的个数为：．
故选：C.
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【解题思路】根据集合的描述法确定集合中的元素，根据交集的概念可得，从而根据其元素个数得子集个数.
【解答过程】因为 ，
，
所以，所以的子集个数为．
故选：D．
【题型3 与集合间的关系有关的含参问题】
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则实数（ ）
A． B．或0 C． D．2
【解题思路】根据子集关系结合集合中元素的互异性求解出的值.
【解答过程】根据集合中元素的互异性，可得，所以，
根据，可得，则或，解得，
故选：C．
【变式3-1】（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【解题思路】
根据包含关系分和两种情况讨论，运算求解即可.
【解答过程】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
【变式3-2】（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据给定条件，利用集合的包含关系求解即得.
【解答过程】集合，，又，则，
所以实数a的取值范围是.
故选：B.
【变式3-3】（2024·辽宁抚顺·三模）设集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解题思路】根据题意，得到或，求得的值，结合集合的包含关系，即可求解.
【解答过程】由集合，
因为，所以或，解得或，
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意．
故选：C．
【题型4 集合的交、并、补集运算】
【例4】（2024·广东·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】利用集合的交集运算求解.
【解答过程】解：因为集合，，
所以 ，
故选：C.
【变式4-1】（2024·云南红河·二模）设集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据集合的运算性质进行判断即可.
【解答过程】由得，
所以， .
故选：A.
【变式4-2】（2024·四川攀枝花·三模）已知全集，则=（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】由并集和补集的定义求解即可.
【解答过程】因为，
故 ，所以 .
故选：D.
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析集合A可知或，结合并集和补集的定义与运算即可求解.
【解答过程】对于集合中的元素，
当，时，；当，时，，
所以或或，
故.
故选：B．
【题型5 与集合的运算有关的含参问题】
【例5】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，若，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或3
【解题思路】由题意可求出B中可能的元素，讨论a的取值，验证是否符合题意，即可得答案.
【解答过程】由题意知：对于集合B，当时，；当时，；
当时，；
又，故，则，
若，则，此时，
不满足；
若，此时，满足，
故，
故选：C.
【变式5-1】（2024·安徽阜阳·一模）设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】
根据并集的定义列出不等式，进而可得出答案.
【解答过程】
因为或，，且，
所以，解得，
即实数的取值范围为.
故选：B．
【变式5-2】（2024·吉林·模拟预测）已知集合，，，则正实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】由题意得，求解即可
【解答过程】因为，所以，解得，又a是正实数，
所以则正实数的取值范围为，
故选：A.
【变式5-3】（2024·广东梅州·一模）已知集合，，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】求出，根据并集结果得到答案.
【解答过程】或，，，
故，则的取值范围为.
故选：D.
【题型6 集合的新定义问题】
【例6】（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（ ）个．
A．16 B．15 C．14 D．13
【解题思路】
先确定集合有四个元素，则可得其非空子集的个数.
【解答过程】根据题意，，
则集合的非空子集的个数是.
故选：B.
【变式6-1】（2023·云南保山·二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【解题思路】由集合的新定义计算即可.
【解答过程】由题设知，
所有元素之和为，
故选：A.
【变式6-2】（2023·全国·三模）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】分析可知，求出集合、、，即可得集合.
【解答过程】由韦恩图可知，，
因为，，
则，，因此，.
故选：D.
【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】结合新定义可知，求得，进而根据补集的定义求解即可.
【解答过程】结合新定义可知，又，
所以．
故选：A.
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
【解题思路】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定.
【解答过程】当时，，所以，故A正确；
当时，，所以，故B错误；
当或时，，所以，故C错误；
当时，，所以，故D错误.
故选：A.
2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】借助元素与集合的关系计算即可得.
【解答过程】由题意可得，解得.
故选：A.
3．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
【解题思路】分类讨论，确定方程有一解时满足的条件求解.
【解答过程】当时，由可得，满足题意；
当时，由只有一个根需满足，
解得.
综上，实数的取值为0或1.
故选：D.
4．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
【解题思路】根据包含关系，写出所有满足条件的集合A即可得解.
【解答过程】因为，
所以可以是，共8个，
故选：D.
5．（2024·山东聊城·一模）已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】
计算出集合、后借助集合间的关系计算即可得.
【解答过程】由，可得，故，
由，可得，故，
由，则有.
故选：C.
6．（2024·全国·模拟预测）集合，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据代入法求得集合，再根据集合交集的定义求得结果；
【解答过程】因为，
所以．
故选：D．
7．（2024·天津·二模）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先求出，再求出即可.
【解答过程】因为，所以，
所以 ，
故选：A.
8．（2024·安徽·二模）已知集合，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】先由得出，再根据自己概念即可得解.
【解答过程】由已知，所以，又，所以，
故选:C.
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【解题思路】
根据元素与集合的关系进行分析，从而确定正确答案.
【解答过程】
对于A，假设，则令，则，
令，则，
令，不存在，即，矛盾，
∴，故A对；
对于B，由题，，则
∴，故B对；
对于C，∵，，，
∵故C对；
对于D，∵，，若，则，故D错误．
故选：ABC．
10．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若 ，则或或
【解题思路】解一元二次方程求得集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念即可逐一判断．
【解答过程】依题意可得，
对于A，若，则，解得，故A正确；
对于B，若，则，解得，故B正确；
对于C，当时，则，解得或，故C正确；
对于D，当时，，故D错误．
故选：ABC．
11．（2023·山东潍坊·一模）若非空集合满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
【解题思路】根据题意可得：，然后根据集合的包含关系即可求解.
【解答过程】由可得：，由，可得，则推不出，故选项错误；
由可得，故选项正确；
因为且，所以，则，故选项正确；
由可得：不一定为空集，故选项错误；
故选：.
三、填空题
12．（2024·辽宁丹东·一模）若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ．
【解题思路】由题意设，进一步得，分析得到与必然都是偶数，从而考虑80的分解方式得数组的可能情况即可进一步求解.
【解答过程】由题意设，则，
注意到是偶数，所以与的奇偶性相同，
（否则若和中，有一个是奇数，有一个是偶数，则它们的和是奇数，这与是偶数矛盾），
注意到是偶数，所以与必然都是偶数，
考虑80的分解方式，
满足题意的数组只可能是三种情况，
所以x的取值可能是.
故答案为：.
13．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ．
【解题思路】
根据，得到集合的元素都是集合的元素，即可求得的值.
【解答过程】由题意，所以或，则或，
所以实数的取值集合为.
故答案为：.
14．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ．
【解题思路】根据交集的运算及集合中的元素的个数，列不等式求解即可.
【解答过程】因为，，若中有2个元素，
所以，所以，解得，
则实数a的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题
15．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中.
(1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合.
(2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.
【解题思路】（1）分类讨论当、时方程根的个数，即可求解；
（2）由（1）可得或，再讨论当时的情况即可.
【解答过程】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根；
若，则当且仅当方程的判别式，即时，
方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素，
∴所求集合；
（2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况，
①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或，
②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得，
综合①②知的取值范围为或.
16．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合
(1)若，试判断集合与的关系；
(2)若 ，求的值组成的集合．
【解题思路】（1）当时求出集合A与B，再判断关系；
（2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解．
【解答过程】（1）
当时，，
所以B是A的真子集．
（2）．
若，则，是真子集成立；
若，则，因为是A真子集，
或，所以或．
所以的值组成的集合．
17．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【解题思路】
（1）根据补集、交集的定义计算可得；
（2）分和两种情况讨论，分别得到不等式（组），求出参数的取值范围，即可得解.
【解答过程】（1）当时，，
又或，所以，
所以.
（2）因为，又且，
当，即时，符合题意；
当时，则，解得，
综上可得，即实数的取值范围是.
18．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．
(1)当时，求与；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
【解题思路】（1）用集合的新定义求解即可；
（2）由“”是“”的必要条件得到，再利用范围求出即可.
【解答过程】（1），
当时，，
所以，
．
（2）因为“”是“”的必要条件，
所以，
故，
解得，
即实数a的取值范围是．
19．（23-24高一上·北京密云·期末）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
【解题思路】（1）根据集合中这5个数字的特征,可以去掉2即可判断出集合不是“和谐集”；
（2）判断任意一个元素（）的奇偶性相同，分类讨论，可以证明出若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数；
（3）由（2）知为奇数，根据的取值讨论后求解.
【解答过程】（1）当集合去掉元素2时，剩下元素组成两个集合的交集为空集有以下几种情况：
,
经过计算可以发现每给两个集合的所有元素之和不相等,故集合不是“和谐集”；
（2）设正整数集合（，）所有元素之和为，由题意可知
均为偶数，因此任意一个元素（）的奇偶性相同.
若是奇数，所以（）也都是奇数，由于，显然为奇数；
若是偶数，所以（）也都是偶数.此时设（）,
显然也是“和谐集”，重复上述操作有限次，便可以使得各项都为奇数的“和谐集”，
此时各项的和也是奇数，集合中元素的个数也是奇数，
综上所述：若集合是“和谐集”，则集合中元素个数为奇数.
（3）由（2）知集合中元素个数为奇数，显然时，集合不是“和谐集”，
当时，不妨设，若A为“和谐集”，去掉后，得，去掉后，得，两式矛盾，故时，集合不是“和谐集”，
当，设，去掉1后，，
去掉3后，，去掉5后，，
去掉7后，，去掉9后，，
去掉11后，，去掉13后，，
故是“和谐集”，元素个数的最小值为7.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题1.1 集合【六大题型】
【新高考专用】
【题型1 集合中元素个数问题】 2
【题型2 子集的个数问题】 3
【题型3 与集合间的关系有关的含参问题】 3
【题型4 集合的交、并、补集运算】 4
【题型5 与集合的运算有关的含参问题】 4
【题型6 集合的新定义问题】 5
1、集合
考点要求 真题统计 考情分析
(1)集合的概念
(2)集合间的基本关系
(3)集合的基本运算 2020年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分 2021年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分 2022年I卷、Ⅱ卷：第1题，5分 2023年I卷：第1题，5分、Ⅱ卷：第2题，5分 集合是高考数学的必考考点，高考对集合的考查相对稳定，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1题，以简单题为主.
【知识点1 集合】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或 表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A都有x∈B，则A B；
(2)真子集：若A B，且A≠B，则A B；
(3)相等：若A B，且B A，则A＝B；
(4) 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示 运算 文字语言 集合语言 图形语言 记法
交集 属于A且属于B的所有元素组成的集合 {x|x∈A，且x∈B} A∩B
并集 属于A或属于B的元素组成的集合 {x|x∈A，或x∈B} A∪B
补集 全集U中不属于A的元素组成的集合称为集合A相对于集合U的补集 {x|x∈U，x A} UA
4．集合的运算性质
(1)，，．
(2)，，．
(3)，，．
【常用结论】
(1)若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．
(2)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
(3)．
(4),．
【题型1 集合中元素个数问题】
【例1】（2024高一上·全国·专题练习）若集合中有两个元素，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-1】（2023·河南郑州·模拟预测）已知集合，，则集合中元素的个数为（ ）
A．30 B．28 C．26 D．24
【变式1-2】（2023·四川南充·模拟预测）定义集合，设集合，，则中元素的个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2023·河北·模拟预测）若集合U有71个元素，且各有14，28个元素，则的元素个数最少是（ ）
A．14 B．30 C．32 D．42
【题型2 子集的个数问题】
【例2】（2024·宁夏·一模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（ ）
A．4 B．7 C．8 D．15
【变式2-1】（2024·全国·模拟预测）已知集合 ，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式2-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则集合的真子集个数为（ ）
A．8 B．16 C．31 D．63
【变式2-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，，则的子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．8 D．16
【题型3 与集合间的关系有关的含参问题】
【例3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，若，则实数（ ）
A． B．或0 C． D．2
【变式3-1】（2023·全国·高考真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【变式3-2】（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-3】（2024·辽宁抚顺·三模）设集合，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【题型4 集合的交、并、补集运算】
【例4】（2024·广东·模拟预测）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2024·云南红河·二模）设集合，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2024·四川攀枝花·三模）已知全集，则=（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】（2024·全国·模拟预测）已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【题型5 与集合的运算有关的含参问题】
【例5】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合，若，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．1或3
【变式5-1】（2024·安徽阜阳·一模）设集合或，集合，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】（2024·吉林·模拟预测）已知集合，，，则正实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】（2024·广东梅州·一模）已知集合，，，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【题型6 集合的新定义问题】
【例6】（2024·黑龙江·二模）已知集合，，定义集合：，则集合的非空子集的个数是（ ）个．
A．16 B．15 C．14 D．13
【变式6-1】（2023·云南保山·二模）定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为（ ）
A．14 B．15 C．16 D．18
【变式6-2】（2023·全国·三模）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】（2023·全国·模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（ ）.
A． B．
C． D．
2．（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西宝鸡·一模）若集合中只有一个元素，则实数（ ）
A．1 B．0 C．2 D．0或1
4．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
5．（2024·山东聊城·一模）已知集合，，若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·全国·模拟预测）集合，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·天津·二模）设全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽·二模）已知集合，，，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2024·全国·模拟预测）非空集合A具有如下性质：①若，则；②若，则下列判断中，正确的有（ ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
10．（23-24高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则或
D．若 ，则或或
11．（2023·山东潍坊·一模）若非空集合满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．（2024·辽宁丹东·一模）若为完全平方数，则正整数x的取值组成的集合为 ．
13．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为 ．
14．（2024·全国·模拟预测）已知集合，，若中有2个元素，则实数a的取值范围是 ．
四、解答题
15．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，其中.
(1)若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合.
(2)若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围.
16．（23-24高一上·广东佛山·期末）设集合
(1)若，试判断集合与的关系；
(2)若 ，求的值组成的集合．
17．（23-24高一下·四川成都·开学考试）已知集合，或．
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
18．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知集合，，定义两个集合P，Q的差运算：．
(1)当时，求与；
(2)若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围．
19．（23-24高一上·北京密云·期末）对于正整数集合（，）如果去掉其中任意一个元素.之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“和谐集”.
(1)判断集合是否是“和谐集”，并说明理由；
(2)求证：若集合是“和谐集”.则集合中元素个数为奇数；
(3)若集合是“和谐集”，求集合中元素个数的最小值.
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