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第十九章一次函数
19.1.2第一课时《函数的图像》
教学设计
一、教学目标
1.熟练掌握用列表、描点、连线的方法准确画出函数图象。
2.显著提高识图能力以及全面分析函数图象信息的能力。
3.学会细致观察、深入分析函数图象信息，深刻体会数形结合思想，并能够灵活运用该思想解决实际问题，有效提升解决问题的能力。
4.通过自主探究、合作交流等活动，培养学生的逻辑思维能力和创新精神。
核心素养目标
1.学生在充分经历自学、探究、交流、当堂练习等丰富活动中，获得满满的成功体验，充分调动主动学习的积极性，深切感受数学学习的无穷乐趣。
2.培养学生严谨的科学态度和勇于探索的精神，增强学生学习数学的自信心。
二、教学重点、难点
重点
熟练掌握函数图象的规范画法。
能够准确、全面地观察分析图象信息。
难点
能够紧密结合实际情境，精准从函数图象中获取关键信息并进行有效处理，进而解决实际问题。
三、教学过程
（一）情境导入 ——“生活情境引探究”
创设情境
你坐过摩天轮吗？你坐在摩天轮上时，随着时间的变化，你离开地面的高度是如何变化的？
下图反应旋转时间t(分)与摩天轮上一点的高度h(米)之间的关系.
设计意图：以学生熟悉的摩天轮情境引入，能迅速吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，让学生直观感受函数关系可以用图来表示，为后续学习函数图象做好铺垫。
（二）知识讲解 ——“函数图象初相识”
即使对于能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，那么会使函数关系更直观.
例如，正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x2.根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x＞0.我们还可以利用在坐标系中画图的方法来表示S与x的关系.
计算并填写下表：
自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定
了一个点(x，S)呢？
在直角从标系中，画出上面表格中各对数值所对应的点，然后连
接这些点. 所得曲线上每一个点代表x的值与S的值的一种对应，例
如点(2，4)表示当x=2时，S=4.
表示x与S的对应关系的点有无数个.但是实际上我们只能描出其
中有限个点，同时想象出其他点的位置.
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象. 如左图的曲线即函数S=x2 (x＞0)的图象.
设计意图：通过具体的正方形面积与边长的函数关系，详细展示如何列表、描点、连线来绘制函数图象，让学生直观地理解函数图象的形成过程，进而引出函数图象的概念，降低学生对抽象概念的理解难度。
思考
下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温 T 如何随时间 t 的变化而变化.你从图象中得到了哪些信息？
可以认为，气温 T 是时间 t 的函数，
上图是这个函数的图象.
设计意图：让学生通过观察实际的气温变化图象，尝试从图象中获取信息，培养学生的观察能力和分析问题的能力，同时让学生进一步体会函数图象可以直观地反映函数关系。
（四）例题剖析 ——“图象应用深理解”
例2 如图(1)所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上.小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家.图(2)反映了这个过程中，小明离家的距离 y 与时间 x 之间的对应关系.
根据图象回答下列问题：
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少时间？
(2)小明吃早餐用了多少时间？
(3)食堂离图书馆多远？小明从食堂到图书馆用了多少时间？
(4)小明读报用了多少时间？
(5)图书馆离小明家多远？小明从图书馆回家的平均速度是多少？
解：(1)由纵坐标看出，食堂离小明家0.6km；由横坐标看出，小明到食堂用了8min.
(2)由横坐标看出，25-8=17，小明吃早餐用了17min.
(3)由纵坐标看出，0.8-0.6=0.2，食堂离图书馆0.2km；由横坐标看出，28-25=3，小明从食堂到图书馆用了3min.
(4)由横坐标看出，58-28=30，小明读报用了30min.
(5)由纵坐标看出，图书馆离小明家0.8km；由横坐标看出，68-58=10，小明从图书馆回家用了10min，由此算出平均速度是0.08km/min.
例3 在下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数.画出这些函数的图象：
(1) y=x+0.5
(1)解：Ⅰ.列表：
Ⅱ.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.
Ⅲ.连线：把这些点用平滑曲线连接起来，就得到y=x+0.5的图象，它是一条直线.
从函数图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y=x+0.5随之增大.
(2) y=(x＞0)
解：Ⅰ.列表：
Ⅱ.描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点.
Ⅲ.连线：把这些点用平滑曲线连接起来，就得到y=(x＞0)的图象，它是一条曲线.
从函数图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y=(x＞0)随之减小.
设计意图：通过例 2 让学生学会从实际情境的函数图象中获取具体信息并解决相关问题，提高学生运用图象分析实际问题的能力；例 3 则详细展示了用描点法画不同类型函数图象的过程，让学生掌握画函数图象的步骤，同时观察函数图象的变化趋势，为后续学习函数的性质做铺垫。
（五）归纳总结 ——“画图步骤巧梳理”
归纳
描点法画函数图象的一般步骤如下：
第一步：列表——表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步：描点——在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步：连线——按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来.
设计意图：对用描点法画函数图象的步骤进行系统总结，帮助学生梳理知识，形成完整的知识体系，便于学生记忆和应用。
（六）课堂练习 ——“知识巩固促提升”
练习
1.(1)画出函数y=2x-1的图象；
(2)判断A(-2.5，-4)，B(1，3)，C(2.5，4)是否在函数y=2x-1的图象上.
解：(1)函数y=2x-1的图象如右图所示.
(2)∵ 2×(-2.5)-1≠-4
2×1-1≠3
2×2.5-1＝4
∴ 点A，B不在函数y=2x-1的图象上，
点C在函数y=2x-1的图象上.
2.如图是某一天北京与上海的气温随时间变化的图象.
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？
(2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在哪段时间比北京气温低？
3.(1)画出函数y=x2的图象.
(2)从图象中观察，当x＜0时，y随x的增大而增大，还是y随x的增大而减小？当x＞0时呢？
解：(1)画函数y=x2的图象.(列表、描点、连线)
Ⅰ.列表
Ⅱ.在直角坐标系中描点.
Ⅲ.用平滑的曲线连接各点，便得到函数y=x2的图象.
(2)当x＜0时，y随着x的增大而减小；当x＞0时，
y随着x的增大而增大.
设计意图：通过课堂练习，及时巩固学生所学的函数图象的画法、判断点是否在函数图象上以及从图象中获取信息等知识，反馈学生对知识的掌握情况，发现学生存在的问题并及时进行纠正和指导。
（七）课堂小结 ——“知识回顾再深化”
本节课你有哪些收获？
还有没解决的问题吗？
设计意图：引导学生对本节课所学内容进行全面总结，梳理知识体系，强化重点知识，同时鼓励学生提出疑问，培养学生的反思总结能力和问题意识。
四、总结
同学们，在今天的数学学习中，我们一同揭开了函数图象的神秘面纱。从生活中常见的摩天轮、气温变化，到小明的行程问题，我们看到了函数图象在描述实际问题中的强大作用。我们学会了用列表、描点、连线的方法绘制函数图象，这是打开函数图象世界的一把钥匙。通过观察函数图象，我们能够获取各种信息，了解函数的变化趋势，就像读懂了一本用图形写成的书。函数图象就像是一座桥梁，将抽象的函数关系直观地展现在我们面前，让我们更加深入地理解函数的本质。希望大家在今后的学习中，能够继续运用所学知识，探索更多函数图象的奥秘，感受数学的无穷魅力。
五、教学反思
（一）成功之处
1.情境导入生动有效：以摩天轮的情境引入，贴近学生的生活实际，能够迅速吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣，为后续教学活动的开展奠定了良好的基础。
2.教学过程循序渐进：从函数图象的概念引入，到具体例子的分析，再到描点法画函数图象步骤的总结和练习巩固，教学过程层层递进，符合学生的认知规律，有助于学生逐步掌握函数图象的相关知识和技能。
3.注重知识的形成过程：在讲解函数图象的概念和画法时，通过具体的例子详细展示了列表、描点、连线的过程，让学生亲身经历函数图象的形成过程，有助于学生理解和掌握知识，培养学生的动手能力和探究精神。
（二）不足之处
1.学生参与度有待提高：在课堂教学中，虽然有提问和互动环节，但部分学生参与度不高，可能是因为问题的难度设置不太合适或者互动方式不够多样化。
2.对图象信息的挖掘深度不够：在引导学生从图象中获取信息时，虽然学生能够得出一些基本信息，但对于一些深层次的信息挖掘不够，例如函数图象的变化趋势与实际问题的联系等。
3.时间把控不够精准：在讲解例题和练习时，花费的时间较多，导致课堂小结部分有些仓促，学生没有足够的时间充分总结和交流。
（三）改进措施
1.优化互动方式：设计更加多样化的互动方式，如小组讨论、合作探究等，根据学生的实际情况合理设置问题难度，鼓励更多学生积极参与课堂活动。
加强对图象信息的引导：在教学中，进一步引导学生深入挖掘函数图象中的信息，结合实际问题分析函数图象的变化趋势，提高学生的分析问题和解决问题的能力。
2.精准把控时间：在今后的教学中，更加合理地安排教学内容和时间，给课堂小结留出足够的时间，让学生能够充分回顾和总结所学内容，强化知识的理解和记忆。
六、展示评价
评价维度 评价要点 评价等级（A. 优秀 B. 良好 C. 合格 D. 待提高）
学生参与度 是否积极参与课堂讨论、回答问题，主动参与探究活动
知识掌握 能否准确理解平行四边形对角线互相平分的性质，熟练运用性质进行证明和计算
思维能力 在观察、猜想、证明过程中，思维的敏捷性、逻辑性和创新性表现如何
合作交流 小组合作中，与小组成员沟通是否顺畅，能否积极贡献自己的想法，倾听他人意见

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