资源简介

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学 科 数学 年 级 七年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第五章
课标要求 第五章《图形的轴对称》课标要求：用数学的眼光观察现实世界，主要体现在：观察轴对称现象、识别轴对称现象、分析轴对称图形的性质。会用数学的思维思考现实世界，主要体现在：通过逻辑推理使学生理解轴对称图形性质的必然性和普遍性；利用转化策略，培养学生的解题能力和思维能力；运用几何直观解决问题，提升学生的几何直观能力。会用数学语言表达现实世界，主要体现在：准确表述轴对称图形；规范作图；清晰表达解题思路。
内容分析 第五章《图形的轴对称》是北师大版（2024）七年级下册的的重要章节，它旨在深化学生对轴对称图形的认识，探索轴对称性质，并通过简单的轴对称图形（如等腰三角形、线段、角）的学习，进一步培养学生的空间观念和几何直观能力，本章内容不仅是小学阶段对轴对称图形的学习和深化，也为今后学习复杂的几何图形性质奠定基础。在教学过程中，学生通过观察、操作、思考等多种形式，感知轴对称图形的特点，理解轴对称图形的性质，掌握作轴对称图形，作线段的垂直平分线，作角的平分线等尺规作图方法，学生还将通过问题解决的策略--转化运用，将复杂问题转化成简单问题，提升解决问题的能力。主要内容包括：轴对称及其性质、简单的轴对称图形、问题解决的策略：转化、回顾与思考。
学情分析 在学习《图形的轴对称》之前，学生已经具备了一定的几何知识；如直线、射线、线段、角，以及简单的几何图形的变换；如平移、旋转。接触了一些轴对称图形，能够通过观察和实线，初步感知图形的对称性，具备了一定的逻辑推理能力和空间想象能力，这些基础知识，为学生理解轴对称图形的性质提供了重要的认知基础。七年级学生的逻辑思维能力和空间想象能力正处于快速发展阶段，具备了一定的抽象思维能力，具备了一定的动手操作能力自主学生能力，能在教师的引导下进行自主探究学习和合作学习。
单元目标 （一）教学目标1.用数学的眼光观察现实世界，学生能够观察和识别现实生活中轴对称图形的现象，体会轴对称图形在生活中的广泛应用。理解轴对称图形的特征，形成轴对称图形的直观认识。2.会用数学的思维思考现实世界，探索轴对称图形的性质；通过观察和分析，能够理解轴对称图形的的性质。利用转化策略将复杂问题简单化，从而找到解决问题的方案。3.会用数学语言表达现实世界，用符号表达轴对称图形的性质，解释和证明轴对称图形的性质。（二）教学重点、难点重点：理解轴对称图形的性质，应用轴对称图形的性质解决问题。难点：理解轴对称图形的性质和运用转化的策略解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1轴对称及其性质12简单的轴对称图形（等腰三角形与等边三角形）13简单的轴对称图形（线段的垂直平分线）14简单的轴对称图形（角平分线）15问题解决的策略-转化16回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务轴对称及其性质1、能够区别轴对称图形和两个图形成轴对称。2、 理解轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。3、能利用轴对称的性质解决相关实际问题。1、回顾轴对称现象，完成两个习题。2、师提问生回忆轴对称图形和成轴对称两个概念。（想+讲）3、通过练习对两个概念的理解，为本节课找轴对称性质奠定基础。（看+想+讲）4、通过活动独立得出轴对称性质。（做+想+讲）5、独立完成例题的学习。环节一：旧知导入环节二：探究轴对称图形和两个图形成轴对称。环节三：探究轴对称的性质。环节四：典例精析。简单的轴对称图形（等腰三角形与等边三角形）1. 经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。2. 探索并掌握等腰三角形、等边三角形的轴对称性及其相关性质。3. 通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。1、找轴对称图形，画出对称轴。2、活动探究等腰三角形的特征。3、类比等腰三角形的特征探究等边三角形的特征。4、自学例题，体会解决问题的策略--方程思想。环节一：复习旧知环节二：探究等腰、等边三角形性质。环节三：典例精析简单的轴对称图形（线段的垂直平分线）1．经历探索线段轴对称性过程，进一步理解轴对称的性质，发展空间观念；2．掌握线段垂直平分线的性质；3．掌握用尺规作线段的垂直平分线；4.在探索垂直平分线的性质和尺规作法时，让学生感受从特殊到一般，从一般到特殊的转化方法与技巧．5使学生感受前后知识的联系，体会由未知向已知转化的思想方法、感悟的探索方法的合理性，从而激发学生的学习兴趣回答问题，学生互相补充完整。2、对折线段发现线段是轴对称图形。3、探究并证明垂直平分线性质。4、画线段的对称轴（垂直平分线）5、教师点拨自学例题，提出质疑。环节一：复习旧知环节二：线段垂直平分线的性质环节三：画线段的垂直平分线。环节四：典例精析简单的轴对称图形（角平分线）1．经历探索简单图形的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，积累数学活动经验，发展空间观念；2．探索并了解角的轴对称性性质及其画法；3．角平分线性质的应用.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.1、回顾旧知。2、参与折纸活动。3、探究并证明角平分线的原定理和逆定理。4、类比垂直平分线的画法，探究角平分线的画法。5、自学例题，提出质疑。环节一：复习旧知环节二：探究角平分线的性质环节三：画线角平分线。环节四：典例精析问题解决的策略：转化1. 理解“转化”的概念和在数学中的含义，掌握运用“转化”思想解决数学问题的基本方法2.通过实例感受“转化”思想在数学学习中的重要性和广泛应用，培养学生将复杂问题转化为简单问题的数学思维能力3.能够在实际解题中主动运用“转化”策略，提高解题效率，激发学生对数学学习的兴趣，增强探索新知识的欲望 1、小组讨论怎样快速正确的计算阴影部分的面积，解决问题用到的方法是什么。2、复习转化策略在小学数学中的应用。3、理解问题实质把生活中的实例转化成几何知识。4、拟定计划找出解决问题的策略。5、总结归纳用转化的策略解法问题的方法和理论根据。6、小组合作，完成例题的学习。并提出质疑。环节一：复习旧知环节二：探究问题解决的策略：转化。环节三：典例精析回顾与思考1、梳理全章内容，建立知识体系；掌握等腰三角形、线段、角等简单的轴对称图形的性质并灵活应用；综合运用轴对称的有关性质，解决实际问题。让学生在丰富的现实情境中，积极参与数学活动，进一步发展空间观念,丰富学生对轴对称的直观体验和理解，发展学生有条理的思考和语言表达能力.在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识. 让学生进一步了解轴对称在现实生活中的广泛应用和展示预习作业--思维导图，进一步完善知识架构。2、问答形式完成3个模块的知识梳理。3、小组合作交流完成相应的练习。4、学生分析例题中的含义，理解需要解决的问题。寻找解决问题的策略。注意转化思想的渗透。
《图形的轴对称》单元教学设计
活动一：旧知引入
任务一：轴对称及其性质
活动二：探究轴对称及其性质
活动三：典例精析
活动一：旧知引入
任务二：简单的轴对称图形
（等腰三角形与等边三角形）
图形的轴对称
活动二：探究等腰、等边三角形特征
活动三：典例精析
活动一：复习旧知
活动二：探究线段的垂直平分线
任务三：简单的轴对称图形
（线段的垂直平分线）
活动三：探究线段的垂直平线的画法
活动四：典例精析
活动一：复习导入
任务四：简单的轴对称图形
（角平分线）
活动二：探究角平分线的性质
活动二：探究角平分线的画法
活动四：典例精析
活动一：复习引入
图形的轴对称
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动一：知识架构
任务五：问题解决的策略-转化
任务六：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动三：典例精析
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（北师大2024版）七年级
下
5.2简单的轴对称图形
(等腰三角形与等边三角形)
图形的轴对称
第五章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1. 经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。
2. 探索并掌握等腰三角形、等边三角形的轴对称性及其相关性质。
3. 通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。
回顾知识
观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,
能找出对称轴吗？
情境引入
情景引入
问题导入
等腰三角形是生活中常见的图形.
(1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴.
(2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？
(3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？
底边上的高所在的直线呢？
(4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形
的哪些特征？说说你的理由.
(1)等腰三角形是轴对称图形.
(2)∠BAD＝∠CAD，
(3)BD=CD，
(4)∠ADB=∠ADC=90°
(5)∠B =∠C
AD为顶角的平分线.
AD为底边上的中线.
AD为底边上的高
A
B
C
D
三线合一
对称轴
新知讲解
归纳总结
等腰三角形是轴对称图形.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.所在的直线都是等腰三角形的对称轴.
归纳总结
等腰三角形的两个底角相等.
A
B
C
D
新知讲解
证明：等腰三角形的两个底角相等.
已知：△ABC中，AB=AC
求证：∠B= C
A
B
C
D
证明1: 作顶角的平分线AD
在△ABD和△ACD中
AB＝AC
∠DAB＝∠DAC
AD＝AD
∴ △ABD≌ △ACD (SAS)
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
新知讲解
证明2: 作AD⊥BC于D
在Rt△ABD和Rt△ACD中
A
B
C
D
AB＝AC
AD＝AD
∴ △ABD≌ △ACD (HL)
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
证明3: 作BC边的中线AD
A
B
C
D
AB＝AC
AB＝AC
AD＝AD
∴ △ABD≌ △ACD (SSS)
∴ ∠B＝∠C
（全等三角形对应角相等）
在△ABD和△ACD中
新知讲解
等边三角形的性质：
探究新知
1.等边三角形是轴对称图形。
2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。
3.等边三角形的各角都相等，都等于60°
典例精析
例题2.如图，在△ ABC中，AB=AC，点D在AC上，
且BD=BC=AD。求△ ABC各角的度数。
A
B
C
D
1
2
3
解：∵ AB=AC BD=BC=AD
∴ ∠ABC= ∠ C= ∠ 3
∠ A= ∠1(等边对等角)
设 ∠ A=x，则
∠ 3= ∠ A+ ∠ 1=2x
从而 ∠ ABC= ∠ C= ∠ 3=2x
于是在△ ABC中，有
∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C=x+2x+2x=1800
解得 x=360
在 △ABC中， ∠ A=360， ∠ ABC= ∠ C=720
典例精析
1.判断题
（1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（ ）
（2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°. （ ）
（3）等腰三角形的底角都是锐角. （ ）
（4）钝角三角形不可能是等腰三角形.（ ）
x
√
√
x
课堂练习
2.等腰三角形的周长为80厘米，若以它的底边为边的
等边三角形周长为30厘米，则该等腰三角形的腰长为（ ）
25厘米　　 B. 35厘米 C. 30厘米 　　 D. 40厘米
3.等腰三角形的一个内角为100°，则其余各角是___________.
4.等腰三角形的一个内角为40°，则其余各角是_____________________.
B
40°， 40°
70°、70°或40°、100°
课堂练习
5.已知：如图房屋的顶角∠BAC=1000 ，过屋顶A的立柱AD ⊥ BC，屋椽AB=AC.求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
B
A
C
D
解：在△ABC中，∵AB=AC
∴∠B=∠C
∵∠BAC=100°
∴∠B=∠C= (180°－100°)
=40°
∵AD⊥BC
∴∠BAD= ∠CAD= ∠BAC=50°
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
15°
36
【综合拓展类作业】
课堂练习
课堂总结
A
B
C
D
轴对称图形
等腰三角形
三线合一
等边对等角
三线合一
轴对称图形
各角都相等
，都为60度
等腰三角形
等边三角形
简单的轴对称图形
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.一等腰三角形的两边长为2和4，则该等腰三角形的周长为_____
2.一等腰三角形的两边长为3和4，则该等腰三角形的周长为________
3.如图，在三角形ABC中，AB=AC，BC=6,∠BAC=50°, AD⊥BC于点D，则BD=_____, ∠BAD=________度， ∠B=_____度
10
10或11
3
25
65
作业布置
4. 在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么∠A=______
5. 在等腰三角形△ABC中，有一个角为50°，那么另外两个角分别是 度
6.已知∠AOB=45°，点P在∠AOB内部，E与P关于OB对称，F与P关于OA对称，则E，O，F三点构成的三角形是( )
A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形
C. 等腰三角形 D. 直角三角形
36°
50，80或65，65
A
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
7.如图是由9个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有 种．
8. 如图，由小正方形组成的网格中，请分别在三个网格中涂黑两个方格，使整个网络中的黑色方格构成的图案为轴对称图形．
3
【综合拓展类作业】
作业布置
【综合拓展类作业】
作业布置
作业布置
板书设计
A
B
C
D
轴对称图形
等腰三角形
三线合一
等边对等角
三线合一
轴对称图形
各角都相等
，都为60度
等腰三角形
等边三角形
简单的轴对称图形
Thanks!
2
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《图形的轴对称》分课时教学设计
第2课时简单的轴对称图形（等腰三角形与等边三角形）教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 教科书基于学生对轴对称图形的认识，提出了本课的具体学习任务，认识等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质。
学习者分析 学生的知识技能基础：学生在生活中已经对轴对称现象不陌生了，在本章前节课中，认识了轴对称的现象，加强了对图形的理解和认识，初步探索并了解了概念，为接下来的学习奠定了基础。 学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生通过想象，再动手操作验证自己的想象，解决了一些简单的现实问题，感受到了充分观察、操作的必要性和作用，获得了一些数学活动经验的基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学目标 1. 经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。 2. 探索并掌握等腰三角形、等边三角形的轴对称性及其相关性质。 3. 通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。
教学重点 等腰三角形、等边三角形的性质
教学难点 利用等腰三角形、等边三角形的性质解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾教师活动1： 观察下列各种图形，判断是不是轴对称图形,能找出对称轴吗？ 学生活动1： 找轴对称图形，画出对称轴。 活动意图说明： 通过问题，希望学生能回忆起前节所学内容，培养学生善于观察图形、乐于探索研究的学习品质及全面思考的能力。激发学生进一步探究的兴趣。环节二：探究新知教师活动2： 情景引入 问题探究：等腰三角形是生活中常见的图形. (1)等腰三角形是轴对称图形吗？如果是，请找出它的对称轴. (2)等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴吗？ (3)等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？ (4)沿对称轴对折，你能发现等腰三角形的哪些特征？说说你的理由. 探究结果 (1)等腰三角形是轴对称图形. 2)∠BAD＝∠CAD，（AD为顶角的平分线） (3)BD=CD （AD为底边上的中线.） 4)∠ADB=∠ADC=90°（AD为底边上的高） (5)∠B =∠C 3、归纳总结： （1）等腰三角形是轴对称图形. （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）.所在的直线都是等腰三角形的对称轴. （3）等腰三角形的两个底角相等. 4、证明：等腰三角形的两个底角相等. 已知：△ABC中，AB=AC 求证：∠B= C 证明1: 作顶角的平分线AD 在△ABD和△ACD中，AB＝AC ，∠DAB＝∠DAC，AD＝AD ∴ △ABD≌ △ACD (SAS) ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等） 证明2: 作AD⊥BC于D 在△ABD和△ACD中，AB＝AC ，∠BAD＝∠CAD，AD＝AD ∴ △ABD≌ △ACD (HL) ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等） 证明3: 作BC边的中线AD 在△ABD和△ACD中，AB＝AC ，BD＝CD，AD＝AD ∴ △ABD≌ △ACD (SSS) ∴ ∠B＝∠C （全等三角形对应角相等） 5、探究等边三角形的性质： 1.等边三角形是轴对称图形。 2.等边三角形每个角的平分线和这个角的对边上的中线、高线重合（“三线合一”），它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。等边三角形共有三条对称轴。 3.等边三角形的各角都相等，都等于60°学生活动2： 活动探究等腰三角形的特征。 类比等腰三角形的特征探究等边三角形的特征。活动意图说明： 学生探究等腰三角形的特征（对称性、对称轴、底角），三线合一是探究重点，然后类比等腰三角形特征的探究方法探究等边三角形的特征。环节三：典例精析教师活动3： 例题2.如图，在△ ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD。求△ ABC各角的度数。 解：∵ AB=AC BD=BC=AD ∴ ∠ABC= ∠ C= ∠ 3 ∠ A= ∠1(等边对等角) 设 ∠ A=x，则 ∠ 3= ∠ A+ ∠ 1=2x 从而 ∠ ABC= ∠ C= ∠ 3=2x 于是在△ ABC中，有 ∠ A+ ∠ ABC+ ∠ C=x+2x+2x=180° 解得 x=36° 在 △ABC中， ∠ A=36°， ∠ ABC= ∠ C=72° 学生活动3 自学例题，体会解决问题的策略--方程思想。 活动意图说明： 通过例题，巩固所学知识，体会解题过程中的方程思想。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.判断题 （1）等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合.（ 错 ） （2）有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°. （ 对 ) （3）等腰三角形的底角都是锐角. （ 对 ） （4）钝角三角形不可能是等腰三角形.（ 错 ) 2.等腰三角形的周长为80厘米，若以它的底边为边的等边三角形周长为30厘米，则该等腰三角形的腰长为（ B ） 25厘米　　 B. 35厘米 C. 30厘米 　　 D. 40厘米 3.等腰三角形的一个内角为100°，则其余各角是 40°、40°. 4.等腰三角形的一个内角为40°，则其余各角是 70°、70°或40°、100°. 5.已知：如图房屋的顶角∠BAC=100° ，过屋顶A的立柱AD ⊥ BC，屋椽AB=AC.求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数. 解：在△ABC中，∵AB=AC ∴∠B=∠C ∵∠BAC=100° ∴∠B=∠C= (180°－100°)=40° ∵AD⊥BC ∴∠BAD= ∠CAD= ∠BAC=50° 选做题： 6如图，在等腰三角形纸片中，，，折叠该纸片，使点落在点处，折痕为，则= 15° 7.如图，和都是等边三角形，且、、在一条直线上，若，，则 36 ． 第6题 第7题 【综合拓展类作业】 8.如图，已知和均为等边三角形．试说明：． 解：∵，均为等边三角形， ∴，，． ∴． ∴． 在和中， ． ∴． 又，， 所以．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.一等腰三角形的两边长为2和4，则该等腰三角形的周长为 10 。 2.一等腰三角形的两边长为3和4，则该等腰三角形的周长为 10或11. 3.如图，在三角形ABC中，AB=AC，BC=6,∠BAC=50°, AD⊥BC于点D，则BD= 3 , ∠BAD= 25 度， ∠B= 65 度 4. 在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，那么∠A= 36° 5. 在等腰三角形△ABC中，有一个角为50°，那么另外两个角分别是 50°、80°或65°、65° . 6.已知，点在内部，E与关于对称，F与关于对称，则E，，F三点构成的三角形是( A ) A. 等腰直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 直角三角形 选做题： 7.如图是由个小等边三角形构成的图形，其中已有两个被涂黑，若再涂黑一个，则整个被涂黑的图案构成轴对称图形的方法有 3 种． 8. 如图，由小正方形组成的网格中，请分别在三个网格中涂黑两个方格，使整个网络中的黑色方格构成的图案为轴对称图形． 参考答案； 【综合拓展类作业】 9.如图，中＝，为的中点 （1）如图，，，垂足分别为、，求证：＝； （2）如图，点，点分别在，上，且求证：＝ 证明：如图 ∵ ∴ 又∵ ， ∴ 又∵ 是中点∴ ∴ ∴ 证明：如下图 作于，于 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ， ∴ 又由易知 ∴ ∴
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