资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 七年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第五章
课标要求 第五章《图形的轴对称》课标要求：用数学的眼光观察现实世界，主要体现在：观察轴对称现象、识别轴对称现象、分析轴对称图形的性质。会用数学的思维思考现实世界，主要体现在：通过逻辑推理使学生理解轴对称图形性质的必然性和普遍性；利用转化策略，培养学生的解题能力和思维能力；运用几何直观解决问题，提升学生的几何直观能力。会用数学语言表达现实世界，主要体现在：准确表述轴对称图形；规范作图；清晰表达解题思路。
内容分析 第五章《图形的轴对称》是北师大版（2024）七年级下册的的重要章节，它旨在深化学生对轴对称图形的认识，探索轴对称性质，并通过简单的轴对称图形（如等腰三角形、线段、角）的学习，进一步培养学生的空间观念和几何直观能力，本章内容不仅是小学阶段对轴对称图形的学习和深化，也为今后学习复杂的几何图形性质奠定基础。在教学过程中，学生通过观察、操作、思考等多种形式，感知轴对称图形的特点，理解轴对称图形的性质，掌握作轴对称图形，作线段的垂直平分线，作角的平分线等尺规作图方法，学生还将通过问题解决的策略--转化运用，将复杂问题转化成简单问题，提升解决问题的能力。主要内容包括：轴对称及其性质、简单的轴对称图形、问题解决的策略：转化、回顾与思考。
学情分析 在学习《图形的轴对称》之前，学生已经具备了一定的几何知识；如直线、射线、线段、角，以及简单的几何图形的变换；如平移、旋转。接触了一些轴对称图形，能够通过观察和实线，初步感知图形的对称性，具备了一定的逻辑推理能力和空间想象能力，这些基础知识，为学生理解轴对称图形的性质提供了重要的认知基础。七年级学生的逻辑思维能力和空间想象能力正处于快速发展阶段，具备了一定的抽象思维能力，具备了一定的动手操作能力自主学生能力，能在教师的引导下进行自主探究学习和合作学习。
单元目标 （一）教学目标1.用数学的眼光观察现实世界，学生能够观察和识别现实生活中轴对称图形的现象，体会轴对称图形在生活中的广泛应用。理解轴对称图形的特征，形成轴对称图形的直观认识。2.会用数学的思维思考现实世界，探索轴对称图形的性质；通过观察和分析，能够理解轴对称图形的的性质。利用转化策略将复杂问题简单化，从而找到解决问题的方案。3.会用数学语言表达现实世界，用符号表达轴对称图形的性质，解释和证明轴对称图形的性质。（二）教学重点、难点重点：理解轴对称图形的性质，应用轴对称图形的性质解决问题。难点：理解轴对称图形的性质和运用转化的策略解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1轴对称及其性质12简单的轴对称图形（等腰三角形与等边三角形）13简单的轴对称图形（线段的垂直平分线）14简单的轴对称图形（角平分线）15问题解决的策略-转化16回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务轴对称及其性质1、能够区别轴对称图形和两个图形成轴对称。2、 理解轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。3、能利用轴对称的性质解决相关实际问题。1、回顾轴对称现象，完成两个习题。2、师提问生回忆轴对称图形和成轴对称两个概念。（想+讲）3、通过练习对两个概念的理解，为本节课找轴对称性质奠定基础。（看+想+讲）4、通过活动独立得出轴对称性质。（做+想+讲）5、独立完成例题的学习。环节一：旧知导入环节二：探究轴对称图形和两个图形成轴对称。环节三：探究轴对称的性质。环节四：典例精析。简单的轴对称图形（等腰三角形与等边三角形）1. 经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。2. 探索并掌握等腰三角形、等边三角形的轴对称性及其相关性质。3. 通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。1、找轴对称图形，画出对称轴。2、活动探究等腰三角形的特征。3、类比等腰三角形的特征探究等边三角形的特征。4、自学例题，体会解决问题的策略--方程思想。环节一：复习旧知环节二：探究等腰、等边三角形性质。环节三：典例精析简单的轴对称图形（线段的垂直平分线）1．经历探索线段轴对称性过程，进一步理解轴对称的性质，发展空间观念；2．掌握线段垂直平分线的性质；3．掌握用尺规作线段的垂直平分线；4.在探索垂直平分线的性质和尺规作法时，让学生感受从特殊到一般，从一般到特殊的转化方法与技巧．5使学生感受前后知识的联系，体会由未知向已知转化的思想方法、感悟的探索方法的合理性，从而激发学生的学习兴趣回答问题，学生互相补充完整。2、对折线段发现线段是轴对称图形。3、探究并证明垂直平分线性质。4、画线段的对称轴（垂直平分线）5、教师点拨自学例题，提出质疑。环节一：复习旧知环节二：线段垂直平分线的性质环节三：画线段的垂直平分线。环节四：典例精析简单的轴对称图形（角平分线）1．经历探索简单图形的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，积累数学活动经验，发展空间观念；2．探索并了解角的轴对称性性质及其画法；3．角平分线性质的应用.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.1、回顾旧知。2、参与折纸活动。3、探究并证明角平分线的原定理和逆定理。4、类比垂直平分线的画法，探究角平分线的画法。5、自学例题，提出质疑。环节一：复习旧知环节二：探究角平分线的性质环节三：画线角平分线。环节四：典例精析问题解决的策略：转化1. 理解“转化”的概念和在数学中的含义，掌握运用“转化”思想解决数学问题的基本方法2.通过实例感受“转化”思想在数学学习中的重要性和广泛应用，培养学生将复杂问题转化为简单问题的数学思维能力3.能够在实际解题中主动运用“转化”策略，提高解题效率，激发学生对数学学习的兴趣，增强探索新知识的欲望 1、小组讨论怎样快速正确的计算阴影部分的面积，解决问题用到的方法是什么。2、复习转化策略在小学数学中的应用。3、理解问题实质把生活中的实例转化成几何知识。4、拟定计划找出解决问题的策略。5、总结归纳用转化的策略解法问题的方法和理论根据。6、小组合作，完成例题的学习。并提出质疑。环节一：复习旧知环节二：探究问题解决的策略：转化。环节三：典例精析回顾与思考1、梳理全章内容，建立知识体系；掌握等腰三角形、线段、角等简单的轴对称图形的性质并灵活应用；综合运用轴对称的有关性质，解决实际问题。让学生在丰富的现实情境中，积极参与数学活动，进一步发展空间观念,丰富学生对轴对称的直观体验和理解，发展学生有条理的思考和语言表达能力.在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识. 让学生进一步了解轴对称在现实生活中的广泛应用和展示预习作业--思维导图，进一步完善知识架构。2、问答形式完成3个模块的知识梳理。3、小组合作交流完成相应的练习。4、学生分析例题中的含义，理解需要解决的问题。寻找解决问题的策略。注意转化思想的渗透。
《图形的轴对称》单元教学设计
活动一：旧知引入
任务一：轴对称及其性质
活动二：探究轴对称及其性质
活动三：典例精析
活动一：旧知引入
任务二：简单的轴对称图形
（等腰三角形与等边三角形）
图形的轴对称
活动二：探究等腰、等边三角形特征
活动三：典例精析
活动一：复习旧知
活动二：探究线段的垂直平分线
任务三：简单的轴对称图形
（线段的垂直平分线）
活动三：探究线段的垂直平线的画法
活动四：典例精析
活动一：复习导入
任务四：简单的轴对称图形
（角平分线）
活动二：探究角平分线的性质
活动二：探究角平分线的画法
活动四：典例精析
活动一：复习引入
图形的轴对称
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动一：知识架构
任务五：问题解决的策略-转化
任务六：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动三：典例精析
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共39张PPT)
（北师大2024版）七年级
下
5.2简单的轴对称图形
（角平分线）
图形的轴对称
第五章
“—”
教学目标
01
知识回顾
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1．经历探索简单图形的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，积累数学活动经验，发展空间观念；
2．探索并了解角的轴对称性性质及其画法；
3．角平分线性质的应用.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
知识回顾
1.线段是 图形，它的垂直平
分线是它的一条 .
轴对称
对称轴
2.线段垂直平分线有什么性质？
线段垂直平分线上的点到这条
线段两个端点的距离相等.
如图：PA=PB
知识回顾
3、怎样画线段的垂直平分线？
①分别以点A、B为圆心，大于 AB长为半径画弧交于点E、F
②过点E、F作直线。
则直线EF就是线段AB的垂直平分线(如图)
A
B
E
F
O
1
1
知识回顾
4.角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
如图∠AOB沿射线OC对折，∠AOC和∠COB重合。
A
B
O
C
5.什么是角平分线？
角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角.
如上图，射线OC是∠AOB的平分线。
则∠AOC = ∠COB = ∠AOB.
新知讲解
探究1：角平分线的性质
1、如图，0P是∠AOB的平分线，点C是OP上任意一点，在∠AOB中画出OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D 连接CD和CD ,你认为CD和CD 相等吗？
证明： 在△COD和△COD 中
∴ ∠DOC= ∠D OC（角平分线的定义）
∵OD =OD OC=OC
∴ △COD ≌ △COD （SAS）
∴CD=CD （全等三角形的对应边相等）
新知讲解
2、当CD⊥OA,CD 与OB有怎样的位置关系，此时CD和CD 相等吗？
证明： 在△COD和△COD 中
∴ ∠DOC= ∠D OC（角平分线的定义）
∵OD =OD OC=OC
∴ △COD ≌ △COD （SAS）
∠CDO=CD O=90° ∴CD ⊥OB
∴CD=CD （全等三角形的对应边相等）
新知讲解
由此得角平分线的性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用符号语言表示为：
∵∠DOP= ∠EOP，PD⊥OA ，PE⊥OB
∴PD=PE.
注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。
新知讲解
如图，点P 在∠AOB 的内部，
作PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足
分别为点D，E. 若PD= PE，
那么点P在∠AOB的平分线
上吗？
探究2;角的内部到角的两边距离相等的点在什么位置？
解：如图，过点O，P作射线OC.
∵ PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ ∠PDO =∠PEO = 90°
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∵ OP = OP，PD = PE，
∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）.
∴ ∠AOC =∠BOC.
∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上.
由此得角平分线的性质定理的逆定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
用符号语言表示为：
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE
∴ ∠DOP= ∠EOP .
新知讲解
新知讲解
探究3，尺规作角平分线
1.已知：∠AOB.
求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC.
作法：
１.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE．
２.分别以D,E为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C.
３.作射线OC．OC就是∠AOB的平分线．
新知讲解
2.已知在∠AOB中，OD=OE，DC=EC. 求证：OC是∠AOB的平分线．
证明：由已知得，OD=OE、 DC=EC
在⊿OCD和⊿OCE中，
OD=OE（已知）
DC=EC（已知）
OC=OC（公共边）
∴⊿OCD ≌⊿OCE（SSS）
∴∠COD =∠COE
∴OC是∠AOB的平分线．
典例精析
规作图注意事项：
1、初中阶段，尺规作图不要求学生写作法，
但学生应能说明其中的道理，即以操作和理
解为主；
2、保留作图痕迹；
3、在空白处注明：“如图，xxx为所求作。”
典例精析
例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2.
（1）求证：点B在∠ADC的平分线上；
证明 （1）在△ABC中，
∵ ∠1=∠2，
∴ BA = BC.
又∵BA⊥AD， BC⊥CD，
∴ 点B在∠ADC的平分线上.
典例精析
例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2.
（2）求证：BD是∠ABC的平分线.
(2） 在Rt△BAD和Rt△BCD中，
∵ BA = BC， BD = BD，
∴ Rt△BAD≌Rt△BCD.
∴ ∠ABD =∠CBD.
∴ BD是∠ABC的平分线.
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1、填空：
(1). ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB
∴___________
(____________________________________)
(2). ∵DC⊥AC ，DE⊥AB ，DC=DE
∴__________
（ ）
A
C
D
E
B
1
2
DC=DE
角平分线上的点到角的两边的距离相等
∠1= ∠2
到角的两边的距离相等的点在角平分线上
2、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且DB=10，则点D到AB的距离为 。
D
A
C
B
5
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3．如图①，已知∠ABC,用尺规作它的角平分线（如图②）．
课堂练习
B
尺规作图具体步骤如下，
第1步：以B为圆心，以r为半径画弧，分别交射线BA,BC于点D,E；
第2步：分别以D,E为圆心，以m为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点F；
第3步：画射线BF．射线BF即为所求．
下列说法正确的是（ ）
课堂练习
4．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（　　）
①AD是△ABE的角平分线；
②BE是△ABD的边AD上的中线；
③CH是△ACD的边AD上的高；
④AH是△ACF的角平分线和高
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
课堂练习
5、如图，BD是∠ABC的平分线，BA=BC,点P在BD上，
PM⊥AD，PN⊥CD,垂足分别为M，N. 试说明 PM=PN.
解析：先证明⊿ABD ≌⊿CBD（SAS）,
得∠ADB ＝∠CDB，
根据角平分线的性质，得
PM ＝ PN.
【知识技能类作业】选做题：
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
6.如图，已知⊿ABC内一点P到∠A的两边的距离相等，
且PA=PB，则P点如何确定？
解析：先作出∠BAC的平分线,再作出线段AB的中垂线，两线交点P就是所要确定的点.
P
·
课堂练习
7.如图，在⊿ABC中，BD是三角形的角平分线，
BC=12cm，BA=8cm，点D到直线BC的距离等于4cm，
求⊿ABC的面积.
∟
F
解析：过D作DF垂直AB，垂足为F，
则，DF=DE=4
∴S⊿ABC = S⊿ABD+S⊿CBD
=(AB×DF+BC×DE)÷2
=40(cm2)
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
课堂练习
　8.如图， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？
解析：可以添加条件MN =ME （或MN =MF）
∵ ME⊥CD， MN⊥CA.
∴ M在∠ACD的平分线上，
即CM是∠ACD的平分线.
同理可得AM是∠CAB的平分线.
课堂总结
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
1、角平分线的性质定理：
2、角平分线的逆性质定理：
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
3、如何作一个角的角平分线？
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC。
证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上，
EC⊥AO，ED⊥OB ，
∴ ED =EC.
∴ △EDC 是个等腰三角形.
∴ ∠ECD=∠EDC.
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（2）OC=OD.
（2）在Rt△OED和Rt△OEC中，
∵ OE= OE， ED = EC，
∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL).
∴ OD=OC.
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
4
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
5
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交
于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，
S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为 cm2．
6
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
8
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
解：（1） 如图所示．
（2） 作图的理由：点 P 在∠AOB 的平分线上，又在线段MN 的垂直平分线上，∠AOB 的平分线和线段 MN的垂直平分线的交点即为所求．
【综合拓展类作业】
作业布置
8.如图，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系.
解析∵ AP是∠DAC的平分线，
又PE⊥DB， PF⊥AC，
∴ PE=PF.
在△EBP中，BE+PE>PB
∴ BE+PF>PB.
作业布置
9.如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE.
证明 作CM⊥AB于点M.
∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，
∴ CD = CM，CE = CM.
在Rt△ACD和Rt△ACM中，
∵ CM = CD，AC = AC，
∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM.
∴ AD = AM.
同理， BE = BM.
又 AB=AM+BM，∴AB=AD+BE
M
【综合拓展类作业】
板书设计
∵∠DOP= ∠EOP，PD⊥OA ，PE⊥OB
∴PD=PE.
∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE
∴ ∠DOP= ∠EOP .
1、角平分线的性质定理：
2、角平分线的性质定理逆定理：
Thanks!
2
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
《图形的轴对称》分课时教学设计
第4课时简单的轴对称图形（角平分线）教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是北师大版（024）七年级数学下册第五章《图形得到轴对称》的第2节简单的轴对称图形的角平分线，了解角平分线的有关性质和用尺规作已知角的角平分线。并运用角平分线性质解决实际问题，进一步体会轴对称的特征，发展空间观念。 角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用。本节课内容的安排由浅入深、由易到难，符合学生的心理特点和认知规律。
学习者分析 本节课是学生在了解轴对称现象、探索轴对称的性质后，并学习了等腰三角形和线段等轴对称图形后进行的. 因此，在探索角平分线过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验. 本节课设置通过多次操作实践的研究活动，来引导学生自主探究角的轴对称性和角平分线的性质。但学生归纳、运用数学的意识比较薄弱，这需要在课堂教学中进一步加强引导。
教学目标 1．经历探索简单图形的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，积累数学活动经验，发展空间观念； 2．探索并了解角的轴对称性性质及其画法； 3．角平分线性质的应用.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.
教学重点 角平分的性质及其画法.
教学难点 角平分线性质的应用.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习引入教师活动1： 1.线段是 轴对称 图形，它的垂直平分线是它的一条 对称轴 . 2.线段垂直平分线有什么性质？ 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 如图：PA=PB 怎样画线段的垂直平分线？ ①分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧交于点E、F ②过点E、F作直线。则直线EF就是线段AB的垂直平分线(如图) 4.角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 如图∠AOB沿射线OC对折，∠AOC和∠COB重合。 5.什么是角平分线？ 角平分线是以一个角的顶点为端点的一条射线，它把这个角分成两个相等的角. 如上图，射线OC是∠AOB的平分线。 则∠AOC = ∠COB = ∠AOB.学生活动1： 回顾旧知活动意图说明： 复习旧知，引入新课环节二：探究新知教师活动2： 探究1：角平分线的性质 如图，0P是∠AOB的平分线，点C是OP上任意一点，在∠AOB中画出OP所在直线为对称轴的一组对应点D和D 连接CD和C ,你认为CD和C 相等吗？ 证明： 在△COD和△CO 中 ∴ ∠DOC= ∠ OC（角平分线的定义） ∵OD =O OC=OC ∴ △COD ≌ △CO（SAS） ∴CD=C（全等三角形的对应边相等） 2、当CD⊥OA,C与OB有怎样的位置关系，此时CD和C相等吗？ 证明： 在△COD和△CO中 ∴ ∠DOC= ∠OC（角平分线的定义） ∵OD =O OC=OC ∴ △COD ≌ △CO（SAS） ∠CDO=CD O=90° ∴CD ⊥OB ∴CD=C （全等三角形的对应边相等） 由此得角平分线的性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用符号语言表示为：∵∠DOP= ∠EOP，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE. 注意：性质的三个条件必须齐全，缺一不可。 探究2;角的内部到角的两边距离相等的点在什么位置？ 如图，点P 在∠AOB 的内部， 作PD⊥OA， PE⊥OB， 垂足分别为点D，E. 若PD= PE， 那么点P在∠AOB的平分线上吗？ 解：如图，过点O，P作射线OC. ∵ PD⊥OA， PE⊥OB， ∴ ∠PDO =∠PEO = 90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中， ∵ OP = OP，PD = PE， ∴ Rt△PDO≌Rt△PEO（HL）. ∴ ∠AOC =∠BOC. ∴ OC是∠AOB的平分线，即点P在∠AOB的平分线OC上. 由此得角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 用符号语言表示为： ∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE ∴ ∠DOP= ∠EOP . 探究3，尺规作角平分线 1.已知：∠AOB. 求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC. 作法： ①.在OA和OB上分别截取OD，OE，使OD=OE． ②.分别以D,E为圆心、以大于 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C. ③.作射线OC．OC就是∠AOB的平分线． 2.已知在∠AOB中，OD=OE，DC=EC. 求证：OC是∠AOB的平分线． 证明：由已知得，OD=OE、 DC=EC 在⊿OCD和⊿OCE中， OD=OE（已知） DC=EC（已知） OC=OC（公共边） ∴⊿OCD ≌⊿OCE（SSS） ∴∠COD =∠COE ∴OC是∠AOB的平分线． 规作图注意事项： 1、初中阶段，尺规作图不要求学生写作法，但学生应能说明其中的道理，即以操作和理解为主； 2、保留作图痕迹； 3、在空白处注明：“如图，xxx为所求作。”学生活动2： 参与折纸活动。 探究并证明角平分线的原定理和逆定理。 类比垂直平分线的画法，探究角平分线的画法。活动意图说明： 通过折纸方法可以将一个角平分。培养学生的抽象思维能力和运用三角形全等的知识解决问题的能力，让学生体验成功。经历实践→猜想→证明→归纳的过程，符合学生的认知规律。类比垂直平分线的画法，探究角平分线的画法。 环节三：典例精析教师活动3： 例1 如图，∠BAD =∠BCD = 90°，∠1=∠2. 求证：点B在∠ADC的平分线上； 求证：BD是∠ABC的平分线. 证明 （1）在△ABC中， ∵ ∠1=∠2， ∴ BA = BC. 又∵BA⊥AD， BC⊥CD， ∴ 点B在∠ADC的平分线上. (2） 在Rt△BAD和Rt△BCD中， ∵ BA = BC， BD = BD， ∴ Rt△BAD≌Rt△BCD. ∴ ∠ABD =∠CBD. ∴ BD是∠ABC的平分线. 学生活动3 自学例题，提出质疑。 活动意图说明： 通过例题的学习，进一步理解并掌握角平分线的性质，.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问 题的能力。
板书设计 1、角平分线的性质定理： ∵∠DOP= ∠EOP，PD⊥OA ，PE⊥OB ∴PD=PE. 2、角平分线的性质定理逆定理： ∵PD ⊥OA ，PE ⊥OB，PD=PE ∴ ∠DOP= ∠EOP .
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、填空： (1). ∵∠1= ∠2，DC⊥AC， DE⊥AB ∴DE=DC,(角平分线上的点到角的两边的距离相) (2). ∵DC⊥AC ，DE⊥AB ，DC=DE ∴ ∠1=∠2，(到角的两边的距离相等的点在角平分线上) 2.如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线交BC于D，BC=15，且DB=10，则点D到AB的距离为 5 。 3.如图①，已知，用尺规作它的角平分线（如图②）． 尺规作图具体步骤如下， 第1步：以为圆心，以为半径画弧，分别交射线于点； 第2步：分别以为圆心，以为半径画弧，两弧在内部交于点； 第3步：画射线．射线即为所求． 下列说法正确的是（ B ） 有最小限制，无限制 B．的长 C. D．连接，则垂直平分 4．如图，在△ABC中，∠1＝∠2，G为AD的中点，BG的延长线交AC于点E，F为AB上的一点，CF与AD垂直，交AD于点H，则下面判断正确的有（　B　） ①AD是△ABE的角平分线；②BE是△ABD的边AD上的中线； ③CH是△ACD的边AD上的高；④AH是△ACF的角平分线和高 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 选做题： 5、如图，BD是∠ABC的平分线，BA=BC,点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD,垂足分别为M，N. 试说明 PM=PN. 解析：先证明⊿ABD ≌⊿CBD（SAS）, 得∠ADB ＝∠CDB， 根据角平分线的性质，得 PM ＝ PN. 6.如图，已知⊿ABC内一点P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，则P点如何确定？ 解析：先作出∠BAC的平分线,再作 出线段AB的中垂线，两线交点P就 是所要确定的点. 7.如图，在⊿ABC中，BD是三角形的角平分线，BC=12cm，BA=8cm，点D到直线BC的距离等于4cm，求⊿ABC的面积. 解析：过D作DF垂直AB，垂足为F， 则，DF=DE=4 ∴S⊿ABC = S⊿ABD+S⊿CBD =(AB×DF+BC×DE)÷2 =40(cm2) 【综合拓展类作业】 8.如图， 已知EF⊥CD，EF⊥AB，MN⊥AC，M是EF 的中点. 需添加一个什么条件， 就可使CM，AM分别为∠ACD和∠CAB的平分线呢？ 解析：可以添加条件MN =ME （或MN =MF） ∵ ME⊥CD， MN⊥CA. ∴ M在∠ACD的平分线上， 即CM是∠ACD的平分线. 同理可得AM是∠CAB的平分线.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 如图，E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA 于点C，ED⊥OB 于点D. 求证：（1）∠ECD=∠EDC。（2）OC=OD. 证明 （1）∵ 点E在∠BOA的平分线上， EC⊥AO，ED⊥OB ， ∴ ED =EC. ∴ △EDC 是个等腰三角形. ∴ ∠ECD=∠EDC. （2）在Rt△OED和Rt△OEC中， ∵ OE= OE， ED = EC， ∴ Rt△OED≌Rt△OEC(HL). ∴ OD=OC. 2．如图，，，分别是的中线，角平分线，高，下列各式中错误的是（ D ） A． B． C． D． 3．如图，在中，BE平分，于点E，的面积为2，则的面积是 4 ． 第3题 第4题 4.如图，平分交于点，于点， 若，，，则的长为 5 ． 5．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为 6 cm2． 第5题 第6题 6.如图，是的平分线上一点，于点，是射线上一个动点，若，则的最小值为 8 ． 选做题： 7.如图，点 和点 在 内部． （1）请你作出点 ，使点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）； （2）请说明作图理由． 解：（1） 如图所示． （2） 作图的理由：点 在 的平分线上，又在线段 的垂直平分线上， 的平分线和线段 的垂直平分线的交点即为所求． 【综合拓展类作业】 8. 如图，在△ABC 的外角∠DAC 的平分线上任取一点P，作PE⊥DB， PF⊥AC， 垂足分别为点E，F. 试探索BE + PF与PB的大小关系. 解析∵ AP是∠DAC的平分线， 又PE⊥DB， PF⊥AC， ∴ PE=PF. 在△EBP中，BE+PE>PB ∴ BE+PF>PB. 9.如图，在△ABC 中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE，点C在线段DE上. 求证：AB=AD+BE. 证明 作CM⊥AB于点M. ∵ AC，BC 分别平分∠BAD，∠ABE， ∴ CD = CM，CE = CM. 在Rt△ACD和Rt△ACM中， ∵ CM = CD，AC = AC， ∴ Rt△ACD ≌Rt△ACM. ∴ AD = AM. 同理， BE = BM. 又 AB=AM+BM，∴AB=AD+BE
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑