资源简介

(共46张PPT)
（北师大2024版）七年级
下
回顾与思考
图形的轴对称
第五章
“—”
教学目标
01
知识框架
02
知识梳理
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1、梳理全章内容，建立知识体系；掌握等腰三角形、线段、角等简单的轴对称图形的性质并灵活应用；综合运用轴对称的有关性质，解决实际问题。
2、让学生在丰富的现实情境中，积极参与数学活动，进一步发展空间观念,丰富学生对轴对称的直观体验和理解，发展学生有条理的思考和语言表达能力.
3、在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识. 让学生进一步了解轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，增进学生学习数学的兴趣.
知识架构
图
形
的
轴
对
称
轴对称及其性质
两个图形成轴对称
轴对称图形
简单的轴
对称图形
等腰三角形的性质
轴对称图形的性质
对称性
“三线合一”
底角相等
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等
角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
应用
问题解决的策略：转化。
尺规作图
知识梳理
1.轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠，如
果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形
就叫作轴对称图形.这条直线叫作对称轴.
2.轴对称：把一个图形沿一条直线折叠，如果它能
与另一个图形完全重合，那么这两个图关于这条
直线成轴对称.这条直线叫作对称轴.
一、轴对称图形的概念
知识梳理
轴对称图形
区别
联系
图形
(1)轴对称图形是指( )
具有特殊形状的图形，
只对( ) 图形而言；
(2)对称轴( ) 只有一条
(1)轴对称是指( )图形
的位置关系，必须涉及
( )图形；
(2)只有( )对称轴.
如果把轴对称图形沿对称轴
分成两部分，那么这两个图形
就关于这条直线成轴对称.
如果把两个成轴对称的图形
拼在一起看成一个整体，那
么它就是一个轴对称图形.
一个
一个
不一定
两个
一条
两个图形成轴对称
两个
3.轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系
知识梳理
4.轴对称的性质：
在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线
段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.
练一练
1、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（ ）
A.加拿大、韩国、乌拉圭 B.加拿大、瑞典、澳大利亚
C.加拿大、瑞典、瑞士 D.乌拉圭、瑞典、瑞士
加拿大 韩国 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士
加拿大 韩国 澳大利亚 乌拉圭 瑞典 瑞士
C
练一练
1、 一个角的角平分线就是这个角的对称轴。（ ）
2、判断
×
2、 直线BD是长方形ABCD的对称轴。（ ）
×
一个角的角平分线所在的直线就是这个角的对称轴。
练一练
3.如图所示，作出△ABC关于直线x=1的对称图形．
x
y
O
x=1
A
B
C
A ′
B ′
C ′
解：△A′B′C′就是所求作的图形.
4、△ABC与△DEF关于直线L成轴对称，则∠C是 度。
练一练
L
75
知识梳理
1.等腰三角形的性质
①边：两腰相等
②角：两个底角相等(等边对等角)
③重要线段：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一)
④对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线
二、简单的轴对称图形
知识梳理
2.等边三角形的性质
①边：三边都相等
②角：三个角都相等，均为60°
③重要线段：角的平分线、边上的中线、边上的高互相重合(三线合一)
④对称性：是轴对称图形，对称轴为角的平分线或边上的中线或边上的高所在的直线
知识梳理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
4.角平分线的性质
3.线段垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等.
练一练
1.若等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长.
解：①若腰长为6，则底边长为4，
周长为 6+6+4=16；
②若腰长为4，则底边长为6，
周长为4+4+6=14.
故这个三角形的周长为14或16.
练一练
2.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 .
18厘米
A
B
D
E
C
练一练
3. 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.试说明： ∠BAC = 2∠DBC.
A
B
C
D
解：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，如图所示，则
∵AB=AC, ∴AE⊥BC.
∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °.
∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °.
∴ ∠ 2= ∠DBC.
∴ ∠BAC= 2∠DBC.
)
)
1
2
E
练一练
4.如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在AB的延长线上．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠CBD的平分线BM；
②作△ABC的边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F.
(2)判断BF和边AC的位置关系，并说明理由．
解：(1)①如图所示；②如图所示．
(2)BF∥AC.理由如下：∵AB＝BC，
∴∠CAB＝∠C.
∵∠C＋∠CAB＋∠ABC＝180°，
∠ABC＋∠CBD＝180°，∴∠C＋∠CAB＝∠CBD.
又∵∠CBM＝∠MBD，
∴∠C＝∠CBM，
∴BF∥AC.
知识梳理
三、问题解决的策略：转化思想
化繁为简
化难为易
化不熟悉为熟悉.
练一练
1.如图，AD是BC的垂直平分线，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？
A
B
C
D
E
　解：∵ AD 是BC 的垂直平分线，
∴　AB =AC，BD=CD.
∵　点C 在AE 的垂直平分线上，
∴　AC =CE,∴AB=AC=CE,
∴ AB+BD=DE.
【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可.
练一练
2．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，其中PM，PN表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是(　　)
D　
典例精析
例1 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称.
(1)画直线EF;
(2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′与直线
MN，EF所夹锐角α的数量关系.
A
B
C
A′
B′
C′
A″
B″
C″
M
N
【分析】连接△A′B′C′和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系.
典例精析
解：（1）如图，连接B ′ B ″，作线段B ′ B ″的垂直平分线EF，则直线EF是△A ′ B ′ C ′和△A ″ B ″ C ″的对称轴；
（2）连接B″O，B′O，BO，
∵ △ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，
∴ ∠BOM =∠B ′ OM.
∵ △A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称，
∴∠B′OE =∠B″OE.
∴∠BOB″=2(∠B′OM+∠B′OE)=2α.
A
B
C
A′
B′
C′
A″
B″
C″
E
F
O
M
N
典例精析
例2 有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如图.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离
也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？
请用尺规作图找出所有符合条件的点，注
明点C的位置(保留作图痕迹，不要求写出
画法).
解析：利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题.
解：根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点.
(1)作两条公路夹角的平分线OD或OE;
(2)作线段AB的垂直平分线FG；
则射线OD,OE与直线FG的交点C1，C2就是所求的位置.
典例精析
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
D　
1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是(　　)

2．下列各选项中左边的图形与右边的图形成轴对称的是(　　)
C　
课堂练习
3．下列轴对称图形中，对称轴最多的是(　　)
A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．线段
4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE＝2，则B，E两点间的距离是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
A　
A　
课堂练习
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点
B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接
BD，则∠ABD的度数是(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
6．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平
分∠BAC，交BC于点D.若CD＝ BD，点D到边
AB的距离为6，则BC的长是 .
B　
18　
课堂练习
7．△ABC与△A′B′C′关于直线l对称(点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′)，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为 ．
8．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 ．
54°　
63°或27°　
课堂练习
9.等腰三角形的周长为20cm，其中两边的差为8cm，求这个等腰三角形各边的长.
【解析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况.
解：若腰比底边长，设腰长为xcm，则底边长为（x－8)cm，
根据题意得 2x+x－8=20，解得x= , ∴x－8= ;
若腰比底边短，设腰长为ycm，则底边长为（y+8)cm，根据
题意得2y+y+8=20，解得y=4，∴y+8=12，但4+4=8<12，不符合题意.
故此等腰三角形的三边长分别为
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
课堂练习
10．如图，D为△ABC的边BC的延长线上一点，且CD＝CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB，且CF交AB于点F，试判断CE与CF的位置关系．
解：∵CD＝CA，E是AD的中点，
∴∠ACE＝∠DCE.
∵CF平分∠ACB，所以∠ACF＝∠BCF.
∵∠ACE＋∠DCE＋∠ACF＋∠BCF＝180°，
∴∠ACE＋∠ACF＝90°，
即∠ECF＝90°.∴CE⊥CF.
【综合拓展类作业】
课堂练习
11．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在AB的延长线上．
(1)利用尺规按下列要求作图，并在图
中标明相应的字母．(保留作图痕迹，不写作法)
①作∠CBD的平分线BM；
②作△ABC的边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F.
课堂练习
解：(1)①如图所示；②如图所示．
(2) BF∥AC.理由如下：
∵AB＝BC，
∴∠CAB＝∠C.
∵∠C＋∠CAB＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠CBD＝180°，
∴∠C＋∠CAB＝∠CBD.
又∵∠CBM＝∠MBD，
∴∠C＝∠CBM， ∴BF∥AC.
课堂总结
1.轴对称图形与对称轴。
2.简单的轴对称图形（等腰三角形、等边三角形、角平分线、垂直平分线。）
3.问题解决的策略：转化思想。
4、如何用尺规作图。
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.等边三角形有 条对称轴，长方形有 条对称轴，半圆有 条对称轴．
2.等腰三角形有一个角为50°，则等腰三角形的顶角为 ．
3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点D到AB的距离为7 cm，则CD＝ cm．
3　
2　
1　
80°或50°　
7　
作业布置
4.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．若△ABC的面积为36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE的长是 cm．
5.等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为 cm
5或　
作业布置
D　
D　
C　
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
9. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．理由如下：
∵D到PE的距离与到PF的距离相等，
∴点D在∠EPF的平分线上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
【综合拓展类作业】
作业布置
10.如图，已知EF垂直平分△ABC的边AB，交AB于点E，交BC于点F，AB＝10 cm，BC＝8 cm，AF＝6 cm，分别求AE和CF的长．
【综合拓展类作业】
作业布置
11.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC且BC＝13，求△DEC的周长．
【综合拓展类作业】
作业布置
12.在公路l1同侧、l2异侧有两个城镇A，B．某通讯公司要修建一座信号发射塔E，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路l1，l2的距离相等．请用尺规作图找出发射塔E位置．（保留作图痕迹，不要求写出作法．）
作业布置
板书设计
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第五章
课标要求 第五章《图形的轴对称》课标要求：用数学的眼光观察现实世界，主要体现在：观察轴对称现象、识别轴对称现象、分析轴对称图形的性质。会用数学的思维思考现实世界，主要体现在：通过逻辑推理使学生理解轴对称图形性质的必然性和普遍性；利用转化策略，培养学生的解题能力和思维能力；运用几何直观解决问题，提升学生的几何直观能力。会用数学语言表达现实世界，主要体现在：准确表述轴对称图形；规范作图；清晰表达解题思路。
内容分析 第五章《图形的轴对称》是北师大版（2024）七年级下册的的重要章节，它旨在深化学生对轴对称图形的认识，探索轴对称性质，并通过简单的轴对称图形（如等腰三角形、线段、角）的学习，进一步培养学生的空间观念和几何直观能力，本章内容不仅是小学阶段对轴对称图形的学习和深化，也为今后学习复杂的几何图形性质奠定基础。在教学过程中，学生通过观察、操作、思考等多种形式，感知轴对称图形的特点，理解轴对称图形的性质，掌握作轴对称图形，作线段的垂直平分线，作角的平分线等尺规作图方法，学生还将通过问题解决的策略--转化运用，将复杂问题转化成简单问题，提升解决问题的能力。主要内容包括：轴对称及其性质、简单的轴对称图形、问题解决的策略：转化、回顾与思考。
学情分析 在学习《图形的轴对称》之前，学生已经具备了一定的几何知识；如直线、射线、线段、角，以及简单的几何图形的变换；如平移、旋转。接触了一些轴对称图形，能够通过观察和实线，初步感知图形的对称性，具备了一定的逻辑推理能力和空间想象能力，这些基础知识，为学生理解轴对称图形的性质提供了重要的认知基础。七年级学生的逻辑思维能力和空间想象能力正处于快速发展阶段，具备了一定的抽象思维能力，具备了一定的动手操作能力自主学生能力，能在教师的引导下进行自主探究学习和合作学习。
单元目标 （一）教学目标1.用数学的眼光观察现实世界，学生能够观察和识别现实生活中轴对称图形的现象，体会轴对称图形在生活中的广泛应用。理解轴对称图形的特征，形成轴对称图形的直观认识。2.会用数学的思维思考现实世界，探索轴对称图形的性质；通过观察和分析，能够理解轴对称图形的的性质。利用转化策略将复杂问题简单化，从而找到解决问题的方案。3.会用数学语言表达现实世界，用符号表达轴对称图形的性质，解释和证明轴对称图形的性质。（二）教学重点、难点重点：理解轴对称图形的性质，应用轴对称图形的性质解决问题。难点：理解轴对称图形的性质和运用转化的策略解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1轴对称及其性质12简单的轴对称图形（等腰三角形与等边三角形）13简单的轴对称图形（线段的垂直平分线）14简单的轴对称图形（角平分线）15问题解决的策略-转化16回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务轴对称及其性质1、能够区别轴对称图形和两个图形成轴对称。2、 理解轴对称的性质：在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等。3、能利用轴对称的性质解决相关实际问题。1、回顾轴对称现象，完成两个习题。2、师提问生回忆轴对称图形和成轴对称两个概念。（想+讲）3、通过练习对两个概念的理解，为本节课找轴对称性质奠定基础。（看+想+讲）4、通过活动独立得出轴对称性质。（做+想+讲）5、独立完成例题的学习。环节一：旧知导入环节二：探究轴对称图形和两个图形成轴对称。环节三：探究轴对称的性质。环节四：典例精析。简单的轴对称图形（等腰三角形与等边三角形）1. 经历探索简单图形轴对称的过程，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念。2. 探索并掌握等腰三角形、等边三角形的轴对称性及其相关性质。3. 通过学生的操作与思考，使学生掌握等腰三角形和等边三角形的轴对称性及其有关性质，从而发展空间观念。1、找轴对称图形，画出对称轴。2、活动探究等腰三角形的特征。3、类比等腰三角形的特征探究等边三角形的特征。4、自学例题，体会解决问题的策略--方程思想。环节一：复习旧知环节二：探究等腰、等边三角形性质。环节三：典例精析简单的轴对称图形（线段的垂直平分线）1．经历探索线段轴对称性过程，进一步理解轴对称的性质，发展空间观念；2．掌握线段垂直平分线的性质；3．掌握用尺规作线段的垂直平分线；4.在探索垂直平分线的性质和尺规作法时，让学生感受从特殊到一般，从一般到特殊的转化方法与技巧．5使学生感受前后知识的联系，体会由未知向已知转化的思想方法、感悟的探索方法的合理性，从而激发学生的学习兴趣回答问题，学生互相补充完整。2、对折线段发现线段是轴对称图形。3、探究并证明垂直平分线性质。4、画线段的对称轴（垂直平分线）5、教师点拨自学例题，提出质疑。环节一：复习旧知环节二：线段垂直平分线的性质环节三：画线段的垂直平分线。环节四：典例精析简单的轴对称图形（角平分线）1．经历探索简单图形的轴对称性的过程，进一步理解轴对称的性质，积累数学活动经验，发展空间观念；2．探索并了解角的轴对称性性质及其画法；3．角平分线性质的应用.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.1、回顾旧知。2、参与折纸活动。3、探究并证明角平分线的原定理和逆定理。4、类比垂直平分线的画法，探究角平分线的画法。5、自学例题，提出质疑。环节一：复习旧知环节二：探究角平分线的性质环节三：画线角平分线。环节四：典例精析问题解决的策略：转化1. 理解“转化”的概念和在数学中的含义，掌握运用“转化”思想解决数学问题的基本方法2.通过实例感受“转化”思想在数学学习中的重要性和广泛应用，培养学生将复杂问题转化为简单问题的数学思维能力3.能够在实际解题中主动运用“转化”策略，提高解题效率，激发学生对数学学习的兴趣，增强探索新知识的欲望 1、小组讨论怎样快速正确的计算阴影部分的面积，解决问题用到的方法是什么。2、复习转化策略在小学数学中的应用。3、理解问题实质把生活中的实例转化成几何知识。4、拟定计划找出解决问题的策略。5、总结归纳用转化的策略解法问题的方法和理论根据。6、小组合作，完成例题的学习。并提出质疑。环节一：复习旧知环节二：探究问题解决的策略：转化。环节三：典例精析回顾与思考1、梳理全章内容，建立知识体系；掌握等腰三角形、线段、角等简单的轴对称图形的性质并灵活应用；综合运用轴对称的有关性质，解决实际问题。让学生在丰富的现实情境中，积极参与数学活动，进一步发展空间观念,丰富学生对轴对称的直观体验和理解，发展学生有条理的思考和语言表达能力.在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识. 让学生进一步了解轴对称在现实生活中的广泛应用和展示预习作业--思维导图，进一步完善知识架构。2、问答形式完成3个模块的知识梳理。3、小组合作交流完成相应的练习。4、学生分析例题中的含义，理解需要解决的问题。寻找解决问题的策略。注意转化思想的渗透。
《图形的轴对称》单元教学设计
活动一：旧知引入
任务一：轴对称及其性质
活动二：探究轴对称及其性质
活动三：典例精析
活动一：旧知引入
任务二：简单的轴对称图形
（等腰三角形与等边三角形）
图形的轴对称
活动二：探究等腰、等边三角形特征
活动三：典例精析
活动一：复习旧知
活动二：探究线段的垂直平分线
任务三：简单的轴对称图形
（线段的垂直平分线）
活动三：探究线段的垂直平线的画法
活动四：典例精析
活动一：复习导入
任务四：简单的轴对称图形
（角平分线）
活动二：探究角平分线的性质
活动二：探究角平分线的画法
活动四：典例精析
活动一：复习引入
图形的轴对称
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动一：知识架构
任务五：问题解决的策略-转化
任务六：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动三：典例精析
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《图形的轴对称》分课时教学设计
第6课时回顾与思考教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 立足学生已有的生活经验和初步的数学活动经历，从生活的角度研究轴对称，是本章基本的出发点。因此，在本章结束时，重新回顾和再次体验本章中的典型图形和实践活动，是提高的保障。为了更好地引导学生运用“数学”的眼光观察现实世界，体会数学的广泛应用和文化价值，丰富学生的数学活动经验和体验，有意识地培养他们积极的情感、态度，促进观察、分析、归纳、概括等一般能力和审美意识的发展。
学习者分析 本节内容是北师大版（2024）数学七年级下《图形的轴对称》的复习课。轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，在本章前面几节的学习中，学生比较系统地学习了轴对称的定义、性质及线段、角等简单图形的轴对称性，从整体的角度直观认识并概括出轴对称的特征，学生已经初步掌握了轴对称的基本性质。学生通过前面的学习，加强了对图形的理解和认识，在以前的数学学习中学生已经经历了小组合作的学习过程，具备了一定的合作与交流能力。
教学目标 1、梳理全章内容，建立知识体系；掌握等腰三角形、线段、角等简单的轴对称图形的性质并灵活应用；综合运用轴对称的有关性质，解决实际问题。 让学生在丰富的现实情境中，积极参与数学活动，进一步发展空间观念,丰富学生对轴对称的直观体验和理解，发展学生有条理的思考和语言表达能力. 在数学活动中发展学生合作交流的能力和数学表达能力，感受数学与现实生活的密切联系，增强学生的数学应用意识. 让学生进一步了解轴对称在现实生活中的广泛应用和丰富的文化价值，增进学生学习数学的兴趣.
教学重点 知识体系的梳理及简单轴对称图形的有关性质，会找出简单的轴对称图形的对称轴；了解一些简单轴称图形（角、线段、等腰三角形）的性质并应用
教学难点 轴对称的有关性质在现实生活中的应用。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识框架教师活动1： 学生活动1： 展示预习作业--思维导图，进一步完善知识架构。 活动意图说明： 通过课前预习，引导学生自主发现各知识点之间的联系，形成较完整的认知结构。环节二：知识梳理教师活动2： 一、轴对称图形的概念 1.轴对称图形：把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫作轴对称图形.这条直线叫作对称轴. 2.轴对称：把一个图形沿一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么这两个图关于这条直线成轴对称.这条直线叫作对称轴. 3、轴对称的性质： 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等. 4.轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系 练一练 1、国旗是一个国家的象征，观察下面的国旗，是轴对称图形的是（ ） A.加拿大、韩国、乌拉圭 B.加拿大、瑞典、澳大利亚 C.加拿大、瑞典、瑞士 D.乌拉圭、瑞典、瑞士 2、判断 ①一个角的角平分线就是这个角的对称轴。（ 错 ） 解析：一个角的角平分线所在的直线就是这个角的对称轴。 ②直线BD是长方形ABCD的对称轴。（ 错 ） 3、如图所示，作出△ABC关于直线x=1的对称图形． 解：△A′B′C′就是所求作的图形. △ABC与△DEF关于直线L成轴对称， 则∠C是 75 度。 二、简单的轴对称图形 1.等腰三角形的性质 ①边：两腰相等 ②角：两个底角相等(等边对等角) ③重要线段：顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(三线合一) ④对称性：是轴对称图形，对称轴为顶角的平分线或底边上的中线或底边上的高所在的直线 2.等边三角形的性质 ①边：三边都相等 ②角：三个角都相等，均为60° ③重要线段：角的平分线、边上的中线、边上的高互相重合(三线合一) ④对称性：是轴对称图形，对称轴为角的平分线或边上的中线或边上的高所在的直线 3.线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等. 4.角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等. 练一练 1.若等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长. 解：①若腰长为6，则底边长为4，周长为 6+6+4=16； ②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14. 故这个三角形的周长为14或16. 2.如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AC=5厘米，△ABD的周长等于13厘米，则△ABC的周长是 18厘米 . 第2题图 第3题图 第4题 3. 如图所示，在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.试说明： ∠BAC = 2∠DBC. 解：作∠BAC的平分线AE，交BC于点E，如图所示，则 ∠1=∠2=∠BAC,∵AB=AC, ∴AE⊥BC. ∴ ∠ 2+ ∠ACB=90 °. ∵BD⊥AC, ∴ ∠DBC+ ∠ACB=90 °. ∴ ∠ 2= ∠DBC. ∴ ∠BAC= 2∠DBC. 4.如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在AB的延长线上． (1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．(保留作图痕迹，不写作法) ①作∠CBD的平分线BM； ②作△ABC的边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F. (2)判断BF和边AC的位置关系，并说明理由． 解：(1)①如图所示；②如图所示． (2)BF∥AC.理由如下：∵AB＝BC， ∴∠CAB＝∠C. ∵∠C＋∠CAB＋∠ABC＝180°， ∠ABC＋∠CBD＝180°，∴∠C＋∠CAB＝∠CBD. 又∵∠CBM＝∠MBD， ∴∠C＝∠CBM， ∴BF∥AC. 三、问题解决的策略：转化思想 化繁为简，化难为易，化不熟悉为熟悉. 练一练 1.如图，AD是BC的垂直平分线，点C在AE的垂直平分线上，AB，AC，CE的长度有什么关系？AB+BD与DE 有什么关系？ 【分析】运用线段的垂直平分线的性质进行线段之间的转化即可. 解：∵ AD 是BC 的垂直平分线， ∴　AB =AC，BD=CD. ∵　点C 在AE 的垂直平分线上， ∴　AC =CE,∴AB=AC=CE, ∴ AB+BD=DE. 2．如图，直线m表示一条河，M，N表示两个村庄，欲在m上的某处修建一个水站，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，其中PM，PN表示铺设的管道，则所需管道最短的方案是(　D　) 学生活动2： 问答形式完成3个模块的知识梳理。 小组合作交流完成相应的练习。活动意图说明： 知识梳理分为3个模块，每个模块的知识梳理后进行相应的练习，在教学时，要关注学生的易错点，关注学生是否能有条理地表达自己的解题思路，同时注意点拨，引导学生积累解决问题的方法和技巧.环节三：典例精析教师活动3： 例1 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，△A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称. (1)画直线EF; (2)直线MN与EF相交于点O，试探究∠BOB′与直线 MN，EF所夹锐角α的数量关系. 【分析】连接△A′B′C′和△A″B″C″中的任意一对对应点，作所得线段的垂直平分线即为直线EF，根据轴对称的性质可求角的数量关系. 解：（1）如图，连接B ′ B ″，作线段B ′ B ″的垂直平分线EF，则直线EF是△A ′ B ′ C ′和△A ″ B ″ C ″的对称轴； （2）连接B″O，B′O，BO， ∵ △ABC和△A′B′C′关于直线MN对称， ∴ ∠BOM =∠B ′ OM. ∵ △A″B″C″和△A′B′C′关于直线EF对称， ∴∠B′OE =∠B″OE. ∴∠BOB″=2(∠B′OM+∠B′OE)=2α. 例2 有公路L1同侧、L2异侧的两个城镇A，B，如图.电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路L1，L2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？ 请用尺规作图找出所有符合条件的点，注 明点C的位置(保留作图痕迹，不要求写出画法). 解析：利用线段垂直平分线及角平分线的性质解题. 解：根据题意知道，点C应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点C应是它们的交点. (1)作两条公路夹角的平分线OD或OE; (2)作线段AB的垂直平分线FG； 则射线OD,OE与直线FG的交点C1， C2就是所求的位置. 学生活动3 学生分析题中的含义，理解需要解决的问题。寻找解决问题的策略。注意转化思想的渗透。活动意图说明： 设计两个例题侧重学生动手能力，运用知识解决实际问题的能力，
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课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．在以下四个标志中，是轴对称图形的是(　D　) 2．下列各选项中左边的图形与右边的图形成轴对称的是(　C　) 3．下列轴对称图形中，对称轴最多的是(　A　) A．正方形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．线段 4．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AC于点E，若AE＝2，则B，E两点间的距离是(　A　) A．2 B．3 C．4 D．5 第4题 　 　 第5题 第6题 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD的度数是(　B　) A．30° B．45° C．60° D．90° 6．如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D.若CD＝BD，点D到边AB的距离为6，则BC的长是 18 7．△ABC与△A′B′C′关于直线l对称(点A，B，C的对应点分别为A′，B′，C′)，且∠A＝78°，∠C′＝48°，则∠B的度数为 54°． 8．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为 63°或27°． 选做题： 9.等腰三角形的周长为20cm，其中两边的差为8cm，求这个等腰三角形各边的长. 【解析】要考虑腰比底边长和腰比底边短两种情况. 解：若腰比底边长，设腰长为xcm，则底边长为（x－8)cm， 根据题意得 2x+x－8=20，解得x= , ∴x－8= ; 若腰比底边短，设腰长为ycm，则底边长为（y+8)cm，根据 题意得2y+y+8=20，解得y=4，∴y+8=12，但4+4=8<12，不符合题意. 故此等腰三角形的三边长分别为cm,cm,cm 【综合拓展类作业】 10．如图，D为△ABC的边BC的延长线上一点，且CD＝CA，E是AD的中点，CF平分∠ACB，且CF交AB于点F，试判断CE与CF的位置关系． 解：∵CD＝CA，E是AD的中点， ∴∠ACE＝∠DCE. ∵CF平分∠ACB，所以∠ACF＝∠BCF. ∵∠ACE＋∠DCE＋∠ACF＋∠BCF＝180°， ∴∠ACE＋∠ACF＝90°， 即∠ECF＝90°. ∴CE⊥CF. 11．如图，在△ABC中，AB＝BC，点D在AB的延长线上． (1)利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母．(保留作图痕迹，不写作法) ①作∠CBD的平分线BM； ②作△ABC的边BC上的中线AE，并延长AE交BM于点F. (2)判断BF和边AC的位置关系，并说明理由． 解：(1)①如图所示；②如图所示． BF∥AC.理由如下： ∵AB＝BC， ∴∠CAB＝∠C. ∵∠C＋∠CAB＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠CBD＝180°， ∴∠C＋∠CAB＝∠CBD. 又∵∠CBM＝∠MBD， ∴∠C＝∠CBM， ∴BF∥AC.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.等边三角形有 3 条对称轴，长方形有 2 条对称轴，半圆有 1 条对称轴． 2.等腰三角形有一个角为50°，则等腰三角形的顶角为80°或50°． 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，点D到AB的距离为7 cm，则CD＝ 7 cm．
4.如图，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．若△ABC的面积为36 cm2，AB＝18 cm，BC＝12 cm，则DE的长是 . cm． 第3题 第4题 5.等腰三角形的周长是25 cm,一腰上的中线将周长分为3∶2两部分，则此三角形的底边长为 5 cm或 cm 6下列说法中正确的是（ ）． A. 两个全等三角形组成一个轴对称图形B. 直角三角形一定是轴对称图形 C. 轴对称图形是由两个图形组成的D. 等边三角形是有条对称轴的轴对称图形 7等腰三角形的周长为13 cm，其中一边长为3 cm，则该等腰三角形的腰长为（ ）． A. B. C. 或 D. 8线段、射线、角、等腰三角形、任意一三角形、平行四边形、国旗上的一颗五角星这些图形中，轴对称图形有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 选做题： 9.如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于点E，PF∥AC交BC于点F，点P是AD上一点，且点D到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由． 解：AD平分∠BAC．理由如下： ∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2． 又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3． 同理，∠2＝∠4． ∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． 【综合拓展类作业】 10.如图，已知EF垂直平分△ABC的边AB，交AB于点E，交BC于点F，AB＝10 cm，BC＝8 cm，AF＝6 cm，分别求AE和CF的长． 解：∵EF垂直平分AB， ∴． ∵EF垂直平分AB， ∴BF＝AF＝6 cm． ∵BC＝8 cm， ∴CF＝BC-BF＝8-6＝2(cm).
11.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC且BC＝13，求△DEC的周长． .解：∵BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∠A=90°， ∴DE=AD， 在Rt△ABD和Rt△EBD中， ， ∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL）， ∴AB=AE， ∴△DEC的周长=DE+CD+CE=AD+CD+CE=AC+CE=AB+CE=BE+CE=BC， ∵BC=13， ∴△DEC的周长是13. 12.在公路l1同侧、l2异侧有两个城镇A，B．某通讯公司要修建一座信号发射塔E，要求发射塔到两个城镇A，B的距离相等，到两条公路l1，l2的距离相等．请用尺规作图找出发射塔E位置．（保留作图痕迹，不要求写出作法．） 解：作图如下：，就是所求的位置．
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