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9.2.2 用坐标表示平移 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第九章“平面直角坐标系”9.2.2 用坐标表示平移，内容包括：在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系.会用坐标表达图形的变化.在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化.
2.内容解析
本节课是在“相交线与平行线”一章探讨平移基本性质的基础上，进一步探讨点或图形的平移引起的点与图形顶点坐标的变化规律，从坐标的角度进一步认识平移，为后续学习利用平移探索几何性质以及综合运用平移、旋转、轴对称、相似等进行图案设计打下基础．
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：掌握点或图形的平移引起的点与图形顶点坐标的变化规律．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）在平面直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移一定距离后图形的顶点坐标，知道对应顶点坐标之间的关系.会用坐标表达图形的变化.
（2）在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形和原来图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化．
（3）体会平面直角坐标系是数与形之间的桥梁，感受代数与几何的相互转化，初步建立空间观念．
2.目标解析
（1）在理解平移基本性质的基础上，通过对具体多边形（如三角形、四边形）沿坐标轴平移的实例探究，运用坐标运算规则，得出平移后图形的顶点坐标. 这个过程可以帮助学生理解图形位置变化与坐标数值变化的紧密联系，学会用坐标语言精确描述图形的平移，为后续解决更复杂的图形变换问题奠定基础.
（2）进一步探索多边形依次沿两个坐标轴方向平移的情况，综合运用沿单一坐标轴平移的知识，理解两次平移的叠加效果，通过观察、比较、归纳等方法，发现平移后图形与原图形的平移关系，并从坐标变化的角度深入体会这种关系. 学生在这个过程中深化对图形平移本质的理解，提升对复杂几何变换的分析能力.
（3）平面直角坐标系是连接代数与几何的关键工具，学生在学习用坐标表示平移的过程中，能直观感受到坐标（数）与图形位置（形）之间的相互转化. 通过将图形的平移转化为坐标的计算，以及根据坐标变化想象图形的平移过程，有助于培养学生的空间观念，让学生从数与形结合的角度更全面地认识数学知识，提升数学思维品质.
三、教学问题诊断分析
1.部分学生难以理解图形平移与坐标变化之间的抽象联系，尤其是对于沿两个坐标轴方向依次平移的情况，他们在脑海中构建两次平移的叠加效果存在困难，导致无法准确把握坐标变化规律.
2.当问题情境较为复杂，需要学生综合运用坐标表示平移的知识解决实际问题时，部分学生可能难以提取关键信息，无法正确运用所学知识进行分析和解答.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：理解复杂平移下的坐标变化规律.
四、教学过程设计
（一）复习引入
对一个图形进行平移，图形上点的位置会发生变化．这时如果建立平面直角坐标系，就可以用坐标的变化表示平移了．
平移后，图形上点的坐标会发生什么变化？反过来，图形上点的坐标的改变会对图形的位置造成什么样的影响？
设计意图：从学生已学过的“图形的平移”入手，引入“用坐标表示平移”的内容，可以帮助学生巩固旧知，使学生认识到数学知识是相互关联的整体. 平移知识从单纯的图形变换过渡到与坐标系相结合，有助于学生构建更完整的数学知识体系. 从熟悉的直观内容引入，能帮助学生更好地理解从直观图形到抽象坐标表示的转变过程，逐步提升学生的抽象思维能力.
（二）合作探究
探究1 如图，将点A（-2，-1）向右平移5个单位长度，得到点A1， 在图上标出这个点，并写出它的坐标．
①观察坐标的变化，你能发现点A1的坐标与点A的坐标之间有什么关系吗？
答：点A1的横坐标等于点A的横坐标加5，点A1的纵坐标等于点A的纵坐标.
②把点A向上平移4个单位长度呢？
答：点A1的横坐标等于点A的横坐标，点A1的纵坐标等于点A的纵坐标加4.
③把点A向左平移2个单位长度呢？
答：点A1的横坐标等于点A的横坐标减2，点A1的纵坐标等于点A的纵坐标.
④把点A向下平移2个单位长度呢？
答：点A1的横坐标等于点A的横坐标，点A1的纵坐标等于点A的纵坐标减2.
探究2 再找几个点，对它们进行平移，观察各组对应点的坐标之间的关系，你能从中发现什么规律？
一般地，在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右（或左）平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)（或(x－a，y)）；将点(x，y)向上（或下）平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)（或(x，y－b)）．
探究3 如左图，正方形ABCD四个顶点的坐标分别是A（-2，4），B（-2，3），C（-1，3），D（-1，4），将正方形ABCD先向下平移7个单位长度，再向右平移8个单位长度，两次平移后四个顶点相应地变为点E，F，G，H （如右图），它们的坐标分别是什么？如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和前面得到的正方形位置相同吗？
解：可以求出点E，F，G，H 的坐标分别是(6，-3)，(6，-4)， (7，-4)，(7，-3)．如果直接平移正方形ABCD，使点A移到点E，它和前面得到的正方形位置相同.
一般地，将一个图形依次沿两个坐标轴方向平移所得到的图形，可以通过将原来的图形作一次平移得到．
探究4 如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别是A(4，3)，B(3，1)，C(1，2)．
（1）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，纵坐标不变，分别得到点A1，B1，C1，依次连接A1，B1，C1各点，所得三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
答：三角形A1B1C1与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A1B1C1可以看作将三角形ABC向左平移6个单位长度得到．
（2）将三角形ABC三个顶点的纵坐标都减去5，横坐标不变，分别得到点A2，B2，C2，依次连接A2，B2，C2各点，所得三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
答：三角形A2B2C2与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A2B2C2可以看作将三角形ABC向下平移5个单位长度得到．
（3）将三角形ABC三个顶点的横坐标都减去6，同时纵坐标都减去5，分别得到点A3，B3，C3，依次连接A3，B3，C3各点，所得三角形A3B3C3与三角形ABC的大小、形状和位置有什么关系？
答：三角形A3B3C3与三角形ABC的大小、形状完全相同，三角形A3B3C3可以看作将三角形ABC先向左平移6个单位长度，再向下平移5个单位长度得到．
一般地，在平面直角坐标系中，如果把一个图形各个点的横坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形可以看作把原图形向右（或左）平移a个单位长度得到；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个正数a，相应的新图形可以看作把原图形向上（或下）平移a个单位长度得到．
设计意图：在“用坐标表示平移”这节课中，从“根据图形平移探索坐标变化规律”和“根据坐标变化探索图形平移规律”两个方面进行探究，能让学生对坐标与图形平移的关系有更全面、深入的认识，避免片面理解.通过正反探究，学生能更好地把握坐标与平移之间相互决定、相互影响的本质关系，理解坐标变化是图形平移在代数层面的反映，图形平移是坐标变化在几何层面的表现.
（三）典例分析
例1 （1）将点A(-2，1)向上平移4个单位长度到点B，则点B的坐标为(-2，5)；
（2）将点A(-2，1)向左平移1个单位长度到点C，则点C的坐标为(-3，1)；
（3）将点A(-2，1)先向右平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度到点D，则点D的坐标为(3，-2)；
（4）如何沿坐标轴方向平移点A(-2，1)得到点E(-5，-3)？
解：将点A(-2，1)先向下平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，即可得到点E(-5，-3).
例2 （1）如图，长方形A′B′C′D′可以由长方形ABCD经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？
（2）点P（-3，1）是长方形ABCD上一点，写出点P的对应点P′的坐标．
解：（1）将长方形ABCD先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，可以得到长方形A′B′C′D′．把长方形ABCD各个点的横坐标都加3，纵坐标都加2，就得到了它们在长方形A′B′C′D′上对应点的坐标．
（2）由于点P是长方形ABCD上一点，将点P的横坐标加3，纵坐标加2，就得到对应点P′的坐标 （0，3）．
对一个图形进行平移，这个图形上所有点的坐标都要发生相应的变化；反过来，从图形上的点的坐标的某种变化，也可以看出对这个图形进行了怎样的平移．
例3 如图，将三角形ABC平移，得到三角形A1B1C1，其中任意一点P（x0，y0）平移后的对应点为P1（x0+5，y0+3）．写出三角形ABC的一种沿坐标轴方向的平移方式，以及点A1，B1，C1的坐标．
解：由平移前后的对应点P和P1的坐标关系可知，将三角形ABC先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度，可以得到三角形A1B1C1．同时，还可以得到点A，B，C的对应点A1，B1，C1的坐标分别为(3，6)，(1，2)，(7，3)．
设计意图：针对合作探究的正反两个方面分别配备例题进行讲解，可以深化学生对知识的理解，强化学生对规律的认知，对学生的解题能力有一定的提升作用.
（四）巩固练习
1. 如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标分别是 （C）．
A.（2，2），（3，4），（1，7） B.（-2，2），（4，3），（1，7）
C.（-2，2），（3，4），（1，7） D.（2，-2），（3，3），（1，7）
2. 如图，图形Ⅱ可以由图形Ⅰ经过怎样的平移得到？对应点的坐标有什么变化？
解：（1）将图形Ⅰ先向左平移3个单位长度，再向下平移6个单位长度，即可得到图形Ⅱ.
（2）将图形Ⅰ先向右平移6个单位长度，再向上平移8个单位长度，即可得到图形Ⅱ.
3. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，-2），B（3，0），先将线段AB向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，得到线段CD；再将线段CD向左平移3个单位长度， 向下平移2个单位长度，得到线段EF．画出平移后的线段CD和EF，并写出点C，D，E，F的坐标．
解：如图，线段CD、EF即为所求作的图形.
点C，D，E，F的坐标分别为(-2，1)，(1，3)，(-5，-1)，(-2，1).
4. 如图，将四边形ABCD平移后，顶点C（2， 3）的坐标变成了（2，0），这时点A（2，7），B（1，5），D（3，5）的坐标分别变成了什么？画出四边形ABCD平移后得到的图形．
解：点A，B，D的坐标分别变成了(2，4)，(1，2)，(3，2).
如图，四边形A1B1C1D1就是四边形ABCD平移后得到的图形.
5. 如图，平行四边形AOCB四个顶点的坐标分别是A（2，2），O（0，0），C（4， 0），B（6，2）．将这四个顶点的横坐标都减去3，同时纵坐标都加1，分别得到点A′，O′，C′，B′．请在图中画出四边形A′O′C′B′，它与平行四边形AOCB有什么关系？
解：如图，四边形A′O′C′B′即为所求作的图形.
四边形A′O′C′B′与平行四边形AOCB的大小、形状完全相同，四边形A′O′C′B′可以看作将平行四边形AOCB先向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．
6. 在制作动画片时，经常要用到图形的平移．如图，小鹿从点A到B，再到C，到D，这几个过程中，分别进行了怎样的平移？
解：从点A出发：
先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，到达点B；
再向右平移3个单位长度，到达点C；
再向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，到达点D.
7. 三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（-3，2），B（1，1），C（-1， -2）．若将三角形ABC平移，使点A平移到点（1，-2）处，写出三角形ABC沿坐标轴方向平移的一种方式，以及点B和点C的对应点的坐标．
解：∵平移后点A的横坐标增加了4，纵坐标减小了4，
∴平移方式是：
将三角形ABC先向右平移4个单位长度，再向下平移4个单位长度．
则点B和点C的对应点的坐标分别为(5，-3)，(3，-6).
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
感受中考
1.（2024 长沙）在平面直角坐标系中，将点P（3，5）向上平移2个单位长度后得到点P′的坐标为（D）
A．（1，5） B．（5，5） C．（3，3） D．（3，7）
2.（2024 海南）平面直角坐标系中，将点A向右平移3个单位长度得到点A′（2，1），则点A的坐标是（C）
A．（5，1） B．（2，4） C．（﹣1，1） D．（2，﹣2）
3. （2023 绍兴）在平面直角坐标系中，将点（m，n）先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，最后所得点的坐标是（D）
A．（m﹣2，n﹣1） B．（m﹣2，n+1） C．（m+2，n﹣1） D．（m+2，n+1）
4. （2023 杭州）在直角坐标系中，把点A（m，2）先向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到点B．若点B的横坐标和纵坐标相等，则m＝（C）
A．2 B．3 C．4 D．5
5. （2023 黄石）如图，已知点A（1，0），B（4，m），若将线段AB平移至CD，其中点C（﹣2，1），D（a，n），则m﹣n的值为（B）
A．﹣3 B．﹣1 C．1 D．3
6. （2023 滨州）如图，在平面直角坐标系中，△ABO的三个顶点坐标分别为A（6，3），B（6，0），O（0，0），若将△ABO向左平移3个单位长度得到△CDE，则点A的对应点C的坐标是（3，3）．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
设计意图：思维导图的可视化特点更符合大脑的记忆规律，能够给学生留下更深刻的视觉印象，便于学生更好的记忆和回顾知识.通过图形和线条的连接，学生可以更直观地看到知识的脉络，从而对本节课的知识结构有更全面、更深入的理解.
（八）布置作业
1.必做题：习题9.2 第4题，第5题.
2.探究性作业：习题9.2 第11题.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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