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9.2.1用坐标表示地理位置 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第九章“平面直角坐标系”9.2.1用坐标表示地理位置，内容包括：在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. 在平面上，能运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置．
2.内容解析
本节课是七年级下册平面直角坐标系章节的重要内容，此前学生已掌握平面直角坐标系的基本构成. 本节课在此基础上，聚焦于如何将平面直角坐标系应用于实际生活，用坐标表示地理位置，是对平面直角坐标系知识的深化与拓展，为后续学习函数图像、几何图形在坐标系中的变换等知识奠定基础，在数学知识体系中起到承上启下的关键作用. 运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置，丰富了确定位置的手段，体现数学在解决实际位置问题上的多样性.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：在平面直角坐标系中利用坐标表示地理位置．
二、目标和目标解析
1.目标
（1）在实际问题中，能建立适当的平面直角坐标系，描述物体的位置. 在平面上，能运用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.
（2）能够将实际问题中的地理位置关系转化为平面直角坐标系中的坐标问题，培养运用数形结合思想分析和解决问题的能力.在运用方位角和距离刻画相对位置的过程中，体会类比思想.
（3）在建立坐标系描述地理位置和运用方位角、距离刻画相对位置的过程中，培养数学抽象、几何直观、空间观念和推理能力等核心素养.
2.目标解析
（1）学生通过实际问题的探究，掌握建立平面直角坐标系来描述物体位置的方法，包括原点、坐标轴方向和单位长度的合理选取. 同时，学生要理解方位角和距离的概念，并能熟练运用它们来刻画两个物体的相对位置.
（2）在解决实际问题过程中，学生需要将实际地理位置关系抽象为数学中的坐标关系，这一过程培养学生运用数形结合思想，将几何问题转化为代数问题求解. 而在运用方位角和距离刻画相对位置时，学生通过对比不同方法（如与直角坐标系方法对比），体会类比思想，从而更深入理解不同位置确定方法的特点和适用场景.
（3）建立坐标系描述地理位置，学生从具体的现实情境中抽象出数学模型，锻炼数学抽象能力. 在理解方位角和距离确定位置的过程中，借助图形进行思考，培养几何直观和空间观念. 在探究如何根据已知条件确定物体位置的过程中，提升推理能力.
三、教学问题诊断分析
1.建立合适坐标系：实际问题情境复杂多样，学生难以根据具体情况合理选择原点、坐标轴方向和单位长度. 如何权衡利弊做出最优选择对学生是个挑战，需要学生综合考虑数据计算的简便性、位置表示的直观性等因素.
2.方位角和距离综合运用：方位角的理解和测量本身就有一定难度，学生易混淆不同方向的角度描述；同时，在结合距离确定相对位置时，需要学生具备较强的空间想象能力和逻辑思维能力，这对于七年级学生来说是一个较大的挑战，学生很难在脑海中清晰构建出物体间的空间位置关系.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：会结合具体情境灵活运用多种方式确定物体的位置．
（一）情境引入
不管是出差办事，还是出去旅游，人们都愿意带上一幅地图，它给人们出行带来了很大方便.如图，这是北京市地图的一部分，你知道怎样用坐标表示地理位置吗？
（二）合作探究
探究1 根据以下条件画一幅示意图，画出天安门、国家体育场、中国人民抗日战争纪念馆、北京朝阳火车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置．
国家体育场：在天安门以北约9 km处．
中国人民抗日战争纪念馆：在天安门以西约14.5 km ，再往南约6 km处．
北京朝阳火车站：在天安门以东约9.5 km，再往北约4 km处．
首钢滑雪大跳台：在天安门以西约21 km处．
颐和园：在天安门以西约11 km，再往北约10 km处．
解：选天安门所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定一个单位长度代表1 km长．依题目所给条件，点(0，0)就是天安门的位置，点(0，9)就是国家体育场的位置，点(-14.5，-6)就是中国人民抗日战争纪念馆的位置．
追问：请你在图上画出北京朝阳火车站、首钢滑雪大跳台、颐和园的位置，并标明它们的坐标．
归纳：利用平面直角坐标系绘制区域内一些地点分布平面图的过程如下：
（1）建立平面直角坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；
（2）根据具体问题，确定单位长度；
（3）在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称．
追问：还有其他方法可以表示平面内点的位置吗？
探究2 如图，一艘船在A处遇险后向相距35 n mile位于B处的救生船报警，如何用方向和距离描述救生船相对于遇险船的位置？救生船接到报警后准备前往救援，如何用方向和距离描述遇险船相对于救生船的位置？
解：救生船在遇险船北偏东60°的方向上，与遇险船的距离是35 n mile．用北偏东60°，35 n mile就可以确定救生船相对于遇险船的位置．
反过来，遇险船在救生船南偏西60°的方向上，与救生船的距离是35 n mile．用南偏西60°，35 n mile就可以确定遇险船相对于救生船的位置．
一般地，可以建立平面直角坐标系，用坐标表示平面内的地理位置，还可以用表示方向的角和距离表示平面内物体的位置．
设计意图：北京的这些建筑承载着丰富的历史文化内涵和现代城市发展的印记，如颐和园是皇家园林的代表，首钢滑雪大跳台体现了工业遗址与现代体育的融合，让学生在学习数学知识的同时感受文化魅力，明白数学知识在生活中的实际应用价值.
学生对这些建筑在城市中的大致位置有一定的空间印象，通过将它们放入平面直角坐标系中，可以更直观地看到坐标与实际位置的对应关系，有助于学生建立起平面直角坐标系的概念，理解坐标是如何用来确定位置的，增强学生的空间感知能力.
（三）典例分析
例1 某海警舰艇编队在巡航时，舰艇观察员观测到一座东西向的海岛， 海岛的西端位于舰艇的北偏西60°，1.38 n mile处，东端位于舰艇北偏东45°方向．请你根据以上信息，估算这座海岛东西向的长度．（1 n mile=1.852 km）．
解：如图，根据题目信息，画出表示舰艇和海岛相对位置的示意图．量得AB≈4.0 cm，BC≈5.5 cm．
由于AB的长度代表实际距离1.38 n mile（约2.56 km），可知图中1 cm代表实际距离约0.64 km，所以海岛东西向的实际长度约为0.64×5.5≈3.5（km）．
例1图 例2图
例2 长征是中国共产党和中国革命事业从挫折走向胜利的伟大转折点．如图是红一方面军长征路线图，如果表示会宁会师的点的坐标为(2，2)，表示吴起镇会师的点的坐标为(3，3)，则表示瑞金的点的坐标为（C）
（6，3） B．（3，5） C．（6，﹣3） D．（5，﹣3）
设计意图：通过具体例子将抽象的坐标表示地理位置的概念与实际情境相结合，使学生更深入地理解坐标、方位角、距离等概念的内涵和相互关系.还可以强化方法掌握，提升应用能力，积累解题经验，培养迁移能力和检验学习效果，促进自我反思.
（四）巩固练习
1. 如图，（1）如果点B，C的坐标分别为B（-1，-2）和C（1，-1），写出A，D，E，F，G各点的坐标；
（2）请你在图中再建立一个平面直角坐标系，并写出各点的坐标．
解：（1）如左图，根据B、C的坐标，画出平面直角坐标系．
则点A，D，E，F，G的坐标分别是(-3，-1)，(-3，2)，(4，1)，(1，3)，(-1，3).
（2）如右图，以点A为原点，AC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
则点A，B，C，D，E，F，G的坐标分别是(0，0)，(2，-1)，(4，0)，(0，3)，(7，2)，(4，4)，(2，4).
追问：你还有其他方法吗？
2. 李明家在学校以东1000 m，再往北1500 m处；张华家在学校以西2000 m， 再往南500 m处；王芳家在学校以南1500 m处．建立适当的平面直角坐标系， 画出学校和这三位同学家的位置，并用坐标表示出来．
解：选学校所在位置为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，规定小正方形的边长代表500 m长．
依题目所给条件，点(0，0)就是学校的位置，点(1000，1500)就是李明家的位置，点(-2000，-500)就是张华家的位置，点(0，-1500)就是王芳家的位置．
第2题图 第3题图
3. 如图是三艘舰艇的位置示意图，试用方向和距离描述A，B处的两艘舰艇相对于C处舰艇的位置．
解：量得AC≈3.0 cm，BC≈1.5 cm．
根据比例尺求得：AC代表实际距离30 km，BC代表实际距离15 km．
A处舰艇在C处舰艇的正东方向上，与C处舰艇的距离是30 km．用正东，30 km就可以确定A处舰艇相对于C处舰艇的位置．
B处舰艇在C处舰艇的北偏东40°的方向上，与C处舰艇的距离是15 km．用北偏东40°，15 km就可以确定B处舰艇相对于C处舰艇的位置．
4. 如图，雷达探测器在一次探测中发现五个目标．若目标A、B的位置分别记为（5，345°）、（4，60°），则目标D的位置记为（B）
A．（3，210°） B．（3，225°） C．（3，45°） D．（2，225°）
5. 如图是李明绘制的他所在社区的平面示意图，若学校所在位置的坐标是（1，4），儿童公园所在位置的坐标为（﹣3，﹣2），则位于（2，0）的建筑是（A）
A．汽车站 B．医院 C．李明家 D．水果店
第4题图 第5题图 第6题图
6. 如图，建立平面直角坐标系标注一片叶子标本，若表示叶柄 “底部”的点A的坐标为 （-1，-2），表示叶片 “顶部”的点B的坐标为 （2，6），请你写出图中点C，D，E，F的坐标．
解：如图，根据题意绘制出平面直角坐标系.当取1个单位长度代表小正方形的边长时，则C，D，E，F的坐标分别是(3，-2)，(5，2)，(-3，5)，(-4，1).
7. 一长方形零件的尺寸 （单位：mm）如图所示，建立适当的平面直角坐标系， 用坐标表示点A，B，C，D，E，F，G的位置．
解：以点B为原点，BC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．
当取1个单位长度代表1 mm时，则点A，B，C，D，E，F，G 的坐标分别是(0，24)，(0，0)，(38，0)，(38，24)，(10，18)，(10，22)，(10，24).
如图，机械手要将一个工件从图中A处移动到B处，但是这个工件不能碰到图中的红色障碍，试用坐标写出一条机械手在移动中可能要走过的路线．
解：(-4，-2)→(-7，-2)→(-7，7)→(-3，7)→(-3，4).
追问：你还有其他方法吗？
第7题图 第8题图
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
思考 你认为利用平面直角坐标系描述地理位置时应注意哪些问题？
答：（1）注意选择适当的位置为坐标原点，这里所说的适当，通常是比较明显的地点或是所要绘制的区域内较居中的位置．
（2）坐标轴的方向通常是以正北为纵轴的正方向，这样可以使东西南北的方向与地理位置的方向一致．
（3）要注意标明适当的单位长度．
（4）有时，由于地点比较集中，坐标平面又较小，各地点的名称在图上可以用代号标出，在图外另附名称．
感受中考
1.（2024 甘孜州）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为（1，90°），（2，240°），则点C的位置可以表示为 （3，30°） ．
2. （2023 贵州）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是（﹣2，7），则龙洞堡机场的坐标是 （9，﹣4）．
第1题图 第2题图
3. （2022 柳州）如图，这是一个利用平面直角坐标系画出的某学校的示意图，如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，并且综合楼和食堂的坐标分别是（4，1）和（5，4），则教学楼的坐标是（D）
A．（1，1） B．（1，2） C．（2，1） D．（2，2）
4. （2022 兰州）如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是 （﹣4，1） ．
第3题图 第4题图
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
视频播放：坐标系简介
设计意图：在本节课小结阶段加入多种坐标系的视频讲解，一方面可以拓宽知识视野，让学生知晓除了本节课重点学面直角坐标系外，还有极坐标系、空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系等多种坐标系，使学生认识到数学中坐标系的多样性和丰富性，拓宽知识边界，激发学生对数学知识的探索欲望.
另一方面可以建立知识联系，通过视频展示不同坐标系的特点和应用场景，学生可将平面直角坐标系与其他坐标系进行对比，更清晰地理解平面直角坐标系的特点和适用范围，明白各种坐标系之间既有区别又有联系，进一步巩固对平面直角坐标系的认识.
空间直角坐标系等是高中数学的重要内容，提前介绍能为学生后续学习高中数学知识埋下伏笔，让学生有初步的认知和心理准备，降低未来学习的难度. 不同坐标系的原理和表示方法各有不同，学生在理解这些内容的过程中，需要进行抽象思考和逻辑推理，有助于提升抽象思维能力，学会从不同角度思考和解决问题. 空间直角坐标系、柱坐标系和球坐标系都涉及到空间概念，视频讲解能帮助学生直观地感受空间中物体位置的表示方法，增强学生的空间想象能力.
（八）布置作业
1.必做题：习题9.2 第2题，第3题.
2.探究性作业：习题9.2 第10题.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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