资源简介

10.2.2 加减消元法 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第十章“二元一次方
程组”10.2.2 加减消元法，内容包括：理解加减消元法的概念；能用加减消元法解二元一次方程组；能
够灵活运用加减消元法解决实际问题．
2.内容解析
本节课从两个方程未知数系数相等或相反这种特殊关系出发，探究新的解法．加减消元法的依据是等
式的性质，核心仍然是消元．比较两种不同的消元方法，可以发现其不同之处仅仅是具体方法的差异，而
把“二元”化归为“一元”这一消元思想不变．本节课是在学生掌握了代入消元法解二元一次方程组的基
础上，对解方程组方法的进一步丰富和完善，也是后续学习三元一次方程组以及其他更复杂方程（组）的
重要基础.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能用加减消元法解二元一次方程组.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解加减消元法的概念；能用加减消元法解二元一次方程组；能够灵活运用加减消元法解决实际
问题.
（2）经历加减消元法解二元一次方程组的过程，体会“消元”的化归思想；在运用加减消元法时，体
会整体思想．
（3）在解决问题的过程中，培养数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，提升数学应用能力．
2.目标解析
（1）学生需要掌握运用加减消元法解二元一次方程组的具体步骤：首先观察方程组中两个方程同一未
知数的系数关系，若系数相同则两方程相减，若系数互为相反数则两方程相加；若系数既不相同也不互为
相反数，就通过等式性质对其中一个或两个方程进行变形，使同一未知数系数满足上述条件，进而实现消
元求解. 这一过程要求学生具备一定的运算能力和对等式性质的熟练运用能力.
学生要学会从实际情境中提取关键信息，分析其中的数量关系，然后合理设未知数，构建二元一次方
程组并求解，得到实际问题的答案.
（2）化归思想就体现在加减消元法解二元一次方程组的过程中，学生通过相加或相减的操作，使方程
组的一个未知数的系数变为 0，从而消除这个未知数，将其转化为一元一次方程. 一元一次方程是学生较为
熟悉、容易求解的方程类型，这一过程实现了从复杂问题到简单问题、从未知到已知的转化. 这种思想不仅
帮助学生解决了当前的方程组求解问题，更是为今后解决多元方程、高次方程等复杂问题提供了一种重要
的思维模式，让学生学会将陌生问题转化为熟悉问题求解.
在运用加减消元法的过程中，当遇到方程组中某些式子结构较为复杂，但又存在一定关联时，整体思
想就会发挥作用. 通过体会整体思想，学生能够从整体的角度观察问题，把握式子之间的内在联系，不再局
限于单个元素的运算，培养学生宏观思考问题的能力，拓宽学生的解题思路，使学生在面对各种数学问题
时能够更加灵活地选择解题方法.
（3）在运用加减消元法解决问题的过程中，数学运算素养的培养贯穿始终. 解二元一次方组的过程不
断强化学生的基本运算能力，提升运算的准确性与速度，让学生在复杂的计算中保持清晰的思路，避免出
错. 学生需要深入理解方程组中各个方程之间的关系，思考怎样选择合适的消元步骤. 在运用整体思想时，
更是要求学生从整体上把握式子之间的内在联系，有条理地进行推理和运算，从而逐步锻炼逻辑思维能力.
数学建模素养的培养则体现在将实际问题转化为数学问题的过程中. 通过运用加减消元法解决实际问
题，学生能够将所学的数学知识与现实生活紧密结合，真正学会运用数学工具去分析和解决生活中的各种
问题，从而有效提升数学应用能力，体会数学的实用性和价值.
三、教学问题诊断分析
1.运算能力不足：在对系数进行变形及方程相加减的过程中，学生容易出现计算错误. 特别是当学生遇
到含有负系数未知数的减法运算时，容易出错. 学生对减去一个负数等于加上它的相反数这一规则理解不透
彻，导致在消元过程中出现错误，影响整个方程组的求解.
应对策略：设计专门针对负系数运算的练习题，对各种含有不同系数和符号的式子进行加减运算. 在学
生练习过程中，及时纠正错误，分析错误原因，提升运算能力.
2.等式性质运用障碍：部分学生不理解等式两边同时加上或减去同一个数（或式子），等式仍然成立这
一性质在加减消元中的运用. 特别是遇到同一未知数的系数既不相同也不互为相反数的方程组时，无法根据
等式的性质对方程进行变形，导致无法消元.
应对策略：通过实例详细讲解等式性质在消元过程中的运用，逐步演示如何依据等式性质将方程进行
变形，从而利用加减法实现消元. 多让学生进行模仿练习，加深对等式性质应用的理解.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：利用等式性质对方程进行变形和加减消元.
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题 用代入法解方程组.
解：由①，得
y＝6-x． ③
把③代入②，得
2x+(6-x)＝8．
解这个方程，得
x＝2．
把 x＝2 代入③，得
y＝4．
所以这个方程组的解是 ．
（二）合作探究
探究 1 这个方程组的两个方程中，y 的系数有什么关系？利用这种关系，你能发现新的消元方法吗？
分析 这两个方程中未知数 y 的系数相等，②－①可以消去未知数 y．
解：②－①，得
x＝2．
把 x＝2 代入①，得
y＝4．
所以这个方程组的解是 ．
追问 1 ①-②可以吗？
追问 2 把 x＝2 代入②可以吗？
探究 2 联系上面的解法，想一想怎样解方程组
分析 这两个方程中未知数 y 的系数互为相反数，①+②可以消去未知数 y．
解：①+②，得
18x＝10.8，
解这个方程，得
x＝0.6.
把 x＝0.6 代入①，得
3×0.6+10y＝2.8，
y＝0.1．
所以这个方程组的解是 ．
当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数互为相反数或相等时，把这两个方程的两边分别相
加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得二元一次方程组的解．这种解二元一
次方程组的方法叫作加减消元法，简称加减法．
（三）典例分析
例 5 用加减法解方程组.
分析 这两个方程中未知数 y 的系数互为相反数，①+②可以消去未知数 y．
解：①+②，得
5x＝15，
x＝3.
把 x＝3 代入①，得
3×3+ ＝0，
y＝-18．
所以这个方程组的解是 ．
追问 把 x＝3 代入②， 可以解得 y 吗？
例 6 用加减法解方程组.
分析 观察这两个方程中未知数 y 的系数之间的关系，将①×2 可以使两个方程中 y 的系数互为相反数，
就可以用加减法求解了．
解：①×2，得
6x-4y＝8. ③
②+③，得
13x＝26，
x＝2.
把 x＝2 代入①，得
3×2-2y＝4，
y＝1．
所以这个方程组的解是 ．
例 7 我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道题：
今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两．问牛、羊各直金几何？
意思是：假设 5 头牛、2 只羊，共值金 10 两；2 头牛、5 只羊，共值金 8 两．那么每头牛、每只羊分别
值金多少两？你能解答这个问题吗？
分析 由于每头牛和每只羊的价格分别相等，所以根据 “5 头牛、2 只羊， 共值金 10 两；2 头牛、5 只
羊，共值金 8 两”可列得方程组.
解：设每头牛和每只羊分别值金 x 两和 y 两．根据问题中的相等关系，列得方程组
①×2，得
10x＋4y＝20． ③
②×5，得
10x＋25y＝40． ④
④－③，得
21y＝20，
y＝ .
把 y＝ 代入①，得
x＝ ．
所以这个方程组的解是 ．
答：每头牛和每只羊分别值金 两和 两．
设计意图：这样的例题设置具有很强的逻辑性和教学意义，能全方位助力学生学习。首先，同一未知
数系数相同或相反的例题，能让学生快速掌握加减消元法的基本操作，建立初步认知；接着，系数既不相
同也不互为相反数的情况，能引导学生进一步思考，学会运用等式性质对系数进行变形，深化对加减消元
法的理解与运用，提升运算能力.
而设置利用二元一次方程组解决中国古代趣味题目的应用题，有着多重价值. 从兴趣激发角度，古代
趣味题目自带文化底蕴和趣味性，能有效吸引学生注意力，提升他们对数学学习的兴趣；从知识应用层面，
能让学生将所学知识与实际问题紧密相连，锻炼其分析问题、建立数学模型以及解决问题的能力，明白数
学知识在生活中的广泛应用；从文化传承角度，学生在解题过程中能感受古代数学的魅力，增强对传统文
化的认同感和自豪感，实现数学教学与文化教育的有机融合.
（四）巩固练习
1. 用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（A）
A．①+② B．①﹣② C．①+②×5 D．①×5﹣②
2. 用加减法解下列方程组：
3.利用加减消元法解方程组 ，下列做法正确的是（C）
A．要消去 y，可以将①×5+②×2
B．要消去 x，可以将①×5+②×2
C．要消去 y，可以将①×5+②×3
D．要消去 x，可以将①×（﹣5）+②×2
4.用加减法解下列方程组：
5.周末，王芳到菜市场帮妈妈买鲈鱼和茄子．已知鲈鱼每千克 35 元，茄子每千克 6 元，王芳买的茄子比
鲈鱼多 0.5 kg，共花费 44 元．她买了鲈鱼和茄子各多少千克？
解：设她买了 x kg 鲈鱼，y kg 茄子.根据问题中的相等关系，列得方程组
解得
答：她买了 1 千克鲈鱼，1.5 千克茄子．
6.选择你认为简便的方法解下面的方程组：
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知
的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
（五）归纳总结
（六）感受中考
1.（2021 益阳）解方程组 时，若将①﹣②可得（D）
A．﹣2y＝﹣1 B．﹣2y＝1 C．4y＝1 D．4y＝﹣1
2.（2023 河南）方程组 的解为 ．
解： ，
①+②，得 4x+4y＝12，
∴x+y＝3③．
①﹣③，得 2x＝2，
∴x＝1．
②﹣①，得 2y＝4，
∴y＝2．
∴原方程组的解为 ．
故答案为： ．
3.（2020 浙江）用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法中无法消元的是（D）
A．①×2﹣② B．②×（﹣3）﹣① C．①×（﹣2）+② D．①﹣②×3
4.（2024 广西）解方程组： ．
解： ，
①+②，得 2x＝4，解得 x＝2；
①﹣②，得 4y＝2，解得 y ；
∴方程组的解为 ．
（解法不唯一）
5.（2024 苏州）解方程组： ．
解： ，
①﹣②得：4y＝4，即 y＝1，
将 y＝1 代入①得：x＝3，
则方程组的解为 ．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检
验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题 10.2 第 3，5，6 题.
2.探究性作业：
（1）习题 10.2 第 7 题.
（2）选择你认为简便的方法解习题 10.1 的第 4 题 （“鸡兔同笼”问题）
五、教学反思

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