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10.2.1代入消元法 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第十章“二元一次方程组”10.2.1代入消元法，内容包括：掌握消元法，能用代入消元法解二元一次方程组；能利用二元一次方程组解决实际问题．
2.内容解析
本节课承接上节课中的棉花采摘问题，展开对二元一次方程组的解法的探究．对依据同一实际问题列出的二元一次方程组与一元一次方程进行对比，发现它们之间的关系，体现从未知向已知的转化．在学习代入消元法之前，学生已掌握了一元一次方程的解法，这为理解消元思想奠定了基础. 代入消元法是消元法的一种基础形式，后续学生将学习另一种重要的消元法 —— 加减消元法. 掌握代入消元法后，学生能更好地理解消元的本质，从而更容易理解和掌握加减消元法. 两种消元法共同构成了解二元一次方程组的主要方法体系，为解决更复杂的方程组问题提供了手段.
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：能用代入消元法解二元一次方程组.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）掌握消元法，能用代入消元法解二元一次方程组；能利用二元一次方程组解决实际问题.
（2）经历代入消元法解二元一次方程组的过程，体会“消元”的化归思想；在利用二元一次方程组解决实际问题的过程中，体会数学建模思想．
（3）在解决问题的过程中，培养数学运算、逻辑推理、数学建模等核心素养，提升数学应用能力．
2.目标解析
（1）学生需要理解消元法的核心概念，即把含有两个未知数的方程组转化为只含有一个未知数的方程来求解. 学生要掌握代入消元法的具体步骤，包括观察方程组中哪个方程的某个未知数系数较简单，便于用含另一个未知数的代数式表示；将表示好的代数式代入另一个方程，实现消元；求解得到的一元一次方程；将求得的值代回原方程求出另一个未知数的值. 学生要明白每一步操作的目的和依据.
学生要学会从实际情境中提取关键信息，分析其中的数量关系，然后合理设未知数，构建二元一次方程组并求解，得到实际问题的答案.
（2）在学习过程中，学生深刻体会到把不熟悉的二元问题转化为熟悉的一元问题来解决的化归思想，理解数学中这种将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化的重要思维方式，从而提升解决问题的策略性思维.
当学生面对实际问题时，他们需要从这些具体情境中抽象出数学问题，用数学语言（如设未知数、列方程）表达数量关系，构建二元一次方程组模型，然后通过求解模型得到结果，并将结果返回到实际情境中进行检验和解释. 这一系列过程让学生完整经历数学建模的流程，体会到数学建模是连接数学知识与实际应用的重要桥梁，增强将实际问题数学化的意识和能力.
（3）在运用代入消元法解二元一次方程组的大量练习中，学生频繁进行代数式的运算，这有助于培养学生运算的准确性、熟练性和灵活性，提高学生对代数式运算的掌控能力，使其在面对复杂运算时能够高效、无误地得出结果.
在推导代入消元法的步骤以及阐述方程组变形依据时，学生需要依据等式的基本性质等数学规则进行有条理的思考和推理. 在解决实际问题的过程中，同样需要逻辑推理. 这一系列活动培养了学生严谨的思维习惯，提升了学生从已知条件出发，依据数学定理和规则进行合理推理，得出正确结论的逻辑论证能力.
在解决各类实际问题的过程中，学生不断强化数学建模意识. 他们从实际情境中提炼数学问题，构建方程组模型，求解模型并将结果应用回实际情境，这一完整过程培养了学生运用数学知识解决实际问题的能力.
三、教学问题诊断分析
1.对消元思想理解困难：学生初次接触消元思想，难以理解为何要将二元转化为一元. 方程组中两个方程相互关联，这种复杂关系会使学生困惑，不明白消元是简化问题求解的关键. 应对策略：课堂上多引导学生讨论消元步骤的目的，加深理解. 设计针对性练习，重点训练代入过程中的计算，对学生常见的错误进行集中展示和剖析，让学生明白错误的原因.
2.实际问题建模能力不足：从实际问题抽象出二元一次方程组，对学生来说是一大挑战. 他们难以准确分析问题中的数量关系，以及如何根据条件列出方程. 应对策略：将实际问题的建模过程分解为读题、找关键信息、设未知数、列方程等步骤. 多提供不同类型的实际问题案例，带领学生逐步分析，总结常见的数量关系模型，提高建模能力.
代入消元法的核心在于 “消元”，即将二元一次方程组通过代入的方式转化为学生熟悉的一元一次方程来求解. 消元思想贯穿整个方程组的求解过程，学生需从思想层面理解将未知数个数减少以简化求解的理念，这对七年级学生的抽象思维能力要求较高.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：深入理解“消元”思想在解二元一次方程组中的作用.
四、教学过程设计
（一）复习引入
问题 新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8 hm2棉田的采摘．如果大型采棉机1 h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
解：设租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，根据题意列方程组得：
追问 你能用一元一次方程解决这个问题吗？
解：设租用了x台大型采棉机，根据题意列方程得：
2x+(6 x)＝8
解得：x＝2，
所以：6 x＝4.
答：租用了2台大型采棉机，4台小型采棉机.
（二）合作探究
探究1 你能由所列出的二元一次方程组得到所列的一元一次方程吗？
这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫作消元思想．
步骤 用代入法解方程组.
解：由①，得
y＝6 x． ③
把③代入②，得
2x+(6 x)＝8．
解这个方程，得
x＝2．
把x＝2代入③，得
y＝4．
所以这个方程组的解是
把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种解二元一次方程组的方法叫作代入消元法，简称代入法．
（三）典例分析
例1 用代入法解方程组.
分析 方程①中x的系数是1，用含y的式子表示x，再代入方程②，比较简便．
解：由①，得
x＝y+3． ③
把③代入②，得
3（y+3）-8y＝14．
解这个方程，得
y＝-1．
把y＝-1代入③，得
x＝2．
所以这个方程组的解是
追问1 把③代入①可以吗？
追问2 把y＝-1代入①或②可以吗？
例2 用代入法解方程组.
分析 方程②中y的系数是-1，用含x的式子表示y，再代入方程①， 比较简便.
解：由②，得
y＝2x-16． ③
把③代入①，得
3x-5（2x-16）＝3．
解这个方程，得
x＝11.
把x＝11代入③，得
y＝6．
所以这个方程组的解是
例3 用代入法解方程组.
分析 方程①中x的系数的绝对值较小，可以考虑在方程①中用含y的式子表示x，再代入方程②.
解：由①，得
把③代入②，得
解这个方程，得
y＝3.
把y＝3代入③，得
x＝2．
所以这个方程组的解是
追问 解这个方程组时，可以先消去y吗？
例4 快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．某快递员星期一的送件数和揽件数分别为120件和45件，报酬为270元；他星期二的送件数和揽件数分别为90件和25件，报酬为185元．如果这名快递员每送一件和每揽一件货物的报酬分别相同，他每送一件和每揽一件的报酬各是多少元？
分析：由题意可知，
送120件的报酬+揽45件的报酬＝270，
送90件的报酬+揽25件的报酬＝185．
由此可以列出方程组，通过解方程组解决问题.
解：设这名快递员每送一件的报酬是x元，每揽一件的报酬是y元． 根据这名快递员星期一和星期二取得的报酬满足的相等关系，列得方程组
解得：
答：这名快递员每送一件的报酬是1.5元，每揽一件的报酬是2元．
设计意图：分层次设置系数不同的方程组例题，能贴合学生认知规律，促使学生深化对消元思想的理解，逐步提升其代入消元法的运用能力.应用题则是强化知识的实际应用，培养学生的核心素养.
（四）巩固练习
1. 用代入法解方程组先消去未知数（B）最简便．
A．x B．y C．两个中的任何一个都一样 D．无法确定
2. 把下列方程改写成用含x的式子表示y的形式：
解：（1）y＝-3x+1． （2）y＝2x-3．
3.解二元一次方程组，用代入消元法消去x，得到的方程是（D）
A．2y＝﹣2 B．2y＝﹣36 C．12y＝﹣2 D．12y＝﹣36
4.用代入法解下列方程组：
5.用代入法解下列方程组：
6.一种商品分装在大、小两种包装盒内，3大盒、4小盒共装108瓶，2大盒、3小盒共装76瓶．大、小包装盒每盒各装多少瓶？
解：设大、小包装盒每盒分别装x瓶，y瓶，根据题意，列得方程组
解得
答：大、小包装盒每盒分别装20瓶，12瓶.
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
.
感受中考
1.（2023 河南）方程组的解为 　　．
2.（2022 株洲）对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去y可以得到（B）
A．x+2x﹣1＝7 B．x+2x﹣2＝7 C．x+x﹣1＝7 D．x+2x+2＝7
3.（2024 苏州）解方程组：．
解：由①，得
y＝-2x+7． ③
把③代入②，得
2x-3（-2x+7）＝3．
解这个方程，得
x＝3.
把x＝3代入③，得
y＝1．
所以这个方程组的解是
．
4.（2024 宿迁）若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于x、y的方程组的解是 　　．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
（八）布置作业
1.必做题：习题10.2 第1，2，4题.
2.探究性作业：习题10.2 第8，9题.
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