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10.1 二元一次方程组的概念 教学设计
一、内容和内容解析
1.内容
本节课是人教版《义务教育教科书 数学》七年级下册（以下统称“教材”）第十章“二元一次方程组”10.1 二元一次方程组的概念，内容包括：理解二元一次方程(组)及其解的概念；会检验一对数值是不是某个二元一次方程(组)的解；能针对具体问题列出二元一次方程(组)．
2.内容解析
本节课内容是方程知识体系的拓展，它丰富了方程的类型，让学生接触到更具一般性和实际应用价值的方程模型，进一步深化对方程概念的理解. 二元一次方程(组)是进一步学习多元方程(组)、一次函数等知识的基础. 同时，二元一次方程(组)是解决实际问题的有力工具，通过学习二元一次方程(组)，学生能够更好地运用数学知识解决实际问题，提高数学应用能力，增强数学学习的实用性和趣味性．
基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二元一次方程(组)及其解的概念.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）理解二元一次方程(组)及其解的概念；会检验一对数值是不是某个二元一次方程(组)的解；能针对具体问题列出二元一次方程(组).
（2）体会从实际问题抽象为数学问题的建模思想，在探究二元一次方程(组)的概念过程中，体会类比思想．
（3）在分析实际问题，列出二元一次方程(组)的过程中，培养数学抽象能力和逻辑推理能力．
2.目标解析
（1）理解二元一次方程（组）及其解的概念是本节课的基础，检验解是对概念的具体应用，能让学生直观感受方程（组）解的意义. 而根据具体问题列出方程（组），则是将所学知识用于解决实际问题，培养学生的数学应用能力，是知识的深化与拓展.
（2）建模思想帮助学生学会用数学的眼光观察现实世界，将实际问题转化为数学模型求解，提升学生分析和解决问题的能力. 类比思想通过对比一元一次方程，引导学生自主发现二元一次方程（组）的特点和规律，有助于学生构建完整的知识体系，培养学生的自主学习能力和逻辑思维能力.
（3）数学抽象能力使学生能够从具体情境中提炼出数学要素，并用数学语言表达出来. 逻辑推理能力则帮助学生依据已知条件和数学规则，推导出方程（组），培养学生思维的严谨性和条理性，为学生后续学习更复杂的数学知识奠定基础.
三、教学问题诊断分析
1.概念理解：学生容易混淆二元一次方程和二元一次方程组的概念，对解的唯一性和共同性把握不准. 在学习过程中，需要列举大量的正反实例，让学生对比分析，加深对二元一次方程和二元一次方程组概念的理解.
2.列方程（组）：在解决实际问题的过程中，学生难以准确分析数量关系，找出等量关系. 在涉及多个未知量和复杂情境的问题中，学生可能会遗漏关键信息，或者错误地建立等量关系. 在学习过程中，需要加强分析实际问题的训练，引导学生从问题中的关键语句入手，找出等量关系. 可以采用小组合作学习的方式，让学生互相交流讨论分析思路，分享解题经验. 同时，多提供一些不同类型的实际问题，如行程问题、工程问题、销售问题等，让学生在练习中逐步提高分析问题和建立方程（组）的能力.
基于以上分析，确定本节课的教学难点为：能针对具体问题列出二元一次方程(组).
四、教学过程设计
（一）情境引入
问题 新疆是我国棉花的主要产地之一．近年来，机械化采棉已经成为新疆棉采摘的主要方式．某种棉大户租用6台大、小两种型号的采棉机，1 h就完成了8 hm2棉田的采摘．如果大型采棉机1 h完成2 hm2棉田的采摘，小型采棉机1 h完成1 hm2棉田的采摘，那么这个种棉大户租用了大、小型采棉机各多少台？
分析 在这个问题中，要求的是两个未知数．如果用一元一次方程来解决，列方程时，要用一个未知数表示另一个未知数．能不能根据题意直接设两个未知数，使列方程变得容易呢？
（二）合作探究
探究1 列方程要先找到相等关系.问题中包含了哪些必须同时满足的相等关系？
若设这个种棉大户租用了x台大型采棉机，y台小型采棉机，你能用方程把这些相等关系表示出来吗？
分析 问题包含两个必须同时满足的相等关系：
大型采棉机台数＋小型采棉机台数＝总台数，
大型采棉机1 h采摘面积＋小型采棉机1 h采摘面积＝1 h采摘总面积.
这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝6和2x＋y＝8表示．
探究2 这两个方程有什么特点？它们与一元一次方程有什么不同？
这两个方程中，①每个方程都含有两个未知数 （x和y）；②含有未知数的式子都是整式；③含有未知数的项的次数都是1. 像这样的方程叫作二元一次方程.
把这两个方程合在一起，就组成了一个方程组．
这个方程组中，①含有两个未知数；②含有未知数的式子都是整式；③含有未知数的项的次数都是1.
一共有两个方程，像这样的方程组叫作二元一次方程组.
探究3 满足方程x＋y＝6，且符合问题的实际意义的x，y的值有哪些？把它们填入表中．
一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解．
例如，是方程x＋y＝6的一个解.
追问 表中哪对x，y的值还满足方程2x＋y＝8？
一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解．
例如，是方程组的解.
（三）典例分析
例1 对下面的问题，列出二元一次方程组，并根据问题的实际意义，找出问题的解.
（1）某村乡村振兴项目计划把28 t黄桃加工成罐头，刚开始每天加工2 t， 后在技术顾问的指导下改进加工方法，每天加工4 t，前后共用8天完成全部加工任务．这个项目改进加工方法前、后各用了多少天？
分析 问题包含两个必须同时满足的相等关系：
改进加工方法前的工作天数＋改进加工方法后的工作天数＝总天数，
改进加工方法前的工作量＋改进加工方法后的工作量＝总工作量.
设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天：
这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝8和2x＋4y＝28表示．
小组讨论 如何找出方程组的解呢？
解：设这个项目改进加工方法前用了x天，改进加工方法后用了y天，由题意得：
当x=2，y=6时，x+y=8且2x+4y=28.
答：这个项目改进加工方法前用了2天，改进加工方法后用了6天.
（2）在篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分．某队在10场比赛中得到16分，这个队的胜、负场数分别是多少？
分析 问题包含两个必须同时满足的相等关系：
胜场数＋负场数＝总场数，
胜场积分＋负场积分＝总积分.
设这个队的胜场数是x，负场数是y：
这两个相等关系可以分别用方程x＋y＝10和2x＋y＝16表示．
解：设这个队的胜场数是x，负场数是y，由题意得：
当x=6，y=4时，x+y=10且2x+y=16.
答：这个队的胜场数是6，负场数是4.
设计意图：在列方程解决实际问题时，让学生从不同角度思考问题，探索多种解题路径，这样做可以激发思维活力，培养创新思维.在合作交流方面，讨论为学生提供了交流平台，分享方法和思路时，能相互学习、拓宽视野，培养合作精神. 而且不同方法代表不同思考过程，讨论中，学生可对比分析，深化对知识的理解，掌握不同解题策略，强化知识运用能力.
（四）巩固练习
1. 下列式子中，是二元一次方程的是（A）
A．x+y＝1 B．2x﹣1＝x C．x2+y2＝4 D．y＝2x2
2. 填表，使上下每对x，y的值是方程3x+y＝5的解．
方程组的解是（C）
A. B. C. D.
4. 和都是方程ax﹣y＝b的解，则a﹣b的值是（C）
A．﹣3 B．2 C．3 D．7
5.已知 是一个二元一次方程，则a的值为（B）
A．±2 B．﹣2 C．2 D．无法确定
6.已知方程(m2﹣1)x2+(m+2)x+(m+1)y＝m+3，当m＝ -1 时，该方程是一元一次方程；当m＝ 1 时，该方程是二元一次方程．
设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略.
归纳总结
感受中考
1.（2023 无锡）下列4组数中，不是二元一次方程2x+y＝4的解的是（D）
2.（2022 雅安）已知是方程ax+by＝3的解，则代数式2a+4b﹣5的值为 1 ．
3.（2021 金华）已知是方程3x+2y＝10的一个解，则m的值是 2 .
4.（凉山州）下列方程组中是二元一次方程组的是（D）
5.（毕节）已知关于x，y的方程x2m-n-2+4ym+n+1＝6是二元一次方程，则m，n的值为（A）
6.（盐城）若一个二元一次方程的一个解为，则这个方程可能是　x+y=1 ．
设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力.
（七）小结梳理
设计意图：运用思维导图将本节课主要知识点清晰呈现，同时体现二元一次方程(组)与一元一次方程的类比关系. 以一元一次方程的研究思路为参照，让学生提前了解后续学习方向，为新课学习做好心理和知识准备，增强学习的主动性与连贯性.
（八）布置作业
1.必做题：习题10.1 第3题，第4题.
2.探究性作业：习题10.1 第5题.
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