资源简介

(共35张PPT)
（人教版）七年级
下
8.1.2算数平方根
实数
第8章
“八”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根；
2.了解算术平方根的非负性；
3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.
新知导入
如图是一个正方形手帕，它的边长为 2 dm，那它的面积是多少？
如果这个手帕的面积是16 dm ，
那它的边长是多少？
16的平方根为±4，但实际问题中只能取正值.
4 dm2
新知讲解
任务一：算数平方根的定义及性质
我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根. 正数a 的算术平方根用来表示.
算数平方根：
规定：0的算术平方根是0. 0的算术平方根也记为.
新知讲解
1.一个正数的算术平方根有几个？
0的算术平方根有一个，是0.
2. 0的算术平方有几个？
负数没有算术平方根.
3. 负数有没有算术平方根
一个正数的算术平方根有1个
由算数平方根的定义可知，算术平方根的性质：
新知讲解
思考：是什么数？其中a可以取任何数吗？
a 的算术平方根
≥0，是非负数
a≥0，被开方数a是非负数
算术平方根的双重非负性
新知讲解
平方根与算术平方根的区别与联系
平方根 算术平方根
区别 个数
表示方法
结果
联系 关系 范围 特殊值0
一个
两个，且互为相反数
正数的算术平方根一定是正数
正数的平方根一正一负
平方根包含算术平方根，算术平方根是正的平方根
只有非负数才有平方根和算术平方根
0 的平方根和算术平方根都是 0
新知讲解
例3 求下列各数的算数平方根：
(1) 100； (2) ； (3) 0.0001.
解:(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即=10；
(2)因为()2= ，所以的算术平方根是，即=；
(3)因为0.012=0.000 1，所以0.000 1的算术平方根是0.01，即=0.01.
比较三个数的大小以及它们各自算数平方根的大小，你发现了什么？
新知讲解
思考:
从大到小
从大到小
100
0.0001
可以看出:被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这个结论对所有正数都成立.
新知讲解
求一个正数的算术平方根的方法:
先找出哪一个正数的平方等于所给的数，再用数学式子表示即可.
怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形 这个大正方形的边长是多少
新知讲解
探究:
任务二：算数平方根的估算
如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形。
设大正方形的边长为x dm，则
x2=2
由边长的实际意义可知
所以大正方形的边长为dm。
新知讲解
新知讲解
思考：小正方形的对角线的长是多少呢
小正方形的对角线的长等于大正方形的边长 dm
有多大呢？
新知讲解
探究:
因为 12=1，22=4，而 12 < 2 < 22 ，所以 1 < < 2.
因为1 < < 2，所以在1和2之间，能不能得到更精确的范围？
因为1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，而 1.42 < 2 <1.52 ，所以 1.4 < < 1.5；
因为1.412 = 1.988 1，1.422 = 2.016 4，而 1.412 < 2 < 1.422 ，
所以 1.41 < < 1.42；
因为1.4142 = 1.999 396，1.4152 = 2.002 225，而 1.4142 < 2 < 1.4152 ，所以 1.414 < < 1.415；
有多大呢？
新知讲解
探究:
如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围.事实上，
=1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数.
思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这种数吗？
实际上，很多正有理数的算术平方根 （例如，，等）都是无限不循环小数．
新知讲解
对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小.
例如：与50 最接近的两个完全平方数是49 和 64，
因为9<50<64，
所以<<.
即7<<8.
新知讲解
夹逼法按照精确度估计 (a>0)的近似值：
(1)确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若 夹在两个连续非负整数 m，n (m(2)确定的小数部分：从较小整数 m 开始，逐步加 0.1，并求其平方，采用与(1)类似的方法确定 的十分位上的数；再用同样的方法确定其他数位上的数，直到能按照精确度估计近似值为止(若要求精确到百分位，估算过程中需计算到千分位，再用四舍五入法确定百分位的值).
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.下列各数中没有算术平方根的是( )
A．0 B．－4
C．|－2| D．16
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2．下列式子中有意义的是( )
A． B．(－)2
C．－ D．
C
3.求下列各数的算术平方根：
(1) 0.002 5； (2) 81； (3) 32.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
解：(1)因为0.052＝0.002 5，所以0.002 5的算术平方根是0.05，即＝0.05；
(2)因为92＝81，所以81的算术平方根是9，即＝9；
(3)因为32＝9，9的算术平方根是3，所以32的算术平方根是3，即＝3.
4.下列说法：
①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数；
③a2的算术平方根是a；④算术平方根不可能是负数；
⑤(π－4)2的算术平方根是4－π.
其中正确的个数有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
A
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5. 若|a-1|+ +(c+4) =0,则(a+b+c) = .
－1　
【综合拓展类作业】
课堂练习
6．(1)通过计算下列各式的值探究问题．
①＝ 0；＝ 0；＝ 0．
探究：对于任意非负有理数a，＝ 0；
②＝ 0；＝ 0．
探究：对于任意负有理数a，＝ 0．
综上，对于任意有理数a，＝ 0；
4
16
0
a
1
2
－a
|a|
【综合拓展类作业】
课堂练习
(2)应用(1)所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：－－＋|a＋b|＝ .
－a－3b
课堂总结
1.算数平方根：
正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根. 正数a 的算术平方根用来表示.
2.算数平方根的性质：
一个正数的算术平方根有1个；
0的算术平方根有一个，是0；
负数没有算术平方根.
3.算数平方根的估算：夹逼法则
板书设计
1.算数平方根的定义及性质：
2.算数平方根的估算：
课题：8.1.2算数平方根
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.下列说法正确的是( )
A.5 是25 的算术平方根
B. ±4 是16 的算术平方根
C.－6 是(－6)2 的算术平方根
D. 0.01 是0.1 的算术平方根
A
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．(1)(－4)2的算术平方根是 ；
(2) 的算术平方根是 .
4
3　
作业布置
3.求下列各式的值：
(1)；　(2)；　(3).
【知识技能类作业】必做题：
解：(1)∵92＝81，∴＝9.
(2)∵( )2＝，∴＝.
(3) ＝0.5.
4.设＝a，则下列结论正确的是(　 　)
A．a＝441 B．a＝4412
C．a＝－21 D．a＝21
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
D
5.一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（　　）
A．a＋1　　 B．a＋1　　
C. 　 D.
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
B
6.排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为162 m2，它的长与宽分别是多少？
【综合拓展类作业】
作业布置
解:设长方形的宽为x m，则长为2x m.
根据题意，得2x·x=162，
2x2=162，
x2=81，
由边长的实际意义可知，x==9，
则长方形的长为18 m，宽为9 m.
Thanks!
2
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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册、第8章
课标要求 【内容要求】（1）了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。（2）能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。（3）能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。（4）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。（5）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。（6）能用有理数估计一个无理数的大致范围。（7）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。【学业要求】了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值。
内容分析 本章主要内容：（1）平方根；（2）立方根；（3）实数及其简单运算。本章内容属于“数与代数”领域。有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深的认识。本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，编写时注意了加强知识间的相互联系，突出类比的作用，使学生更好的体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化。本章前两节“平方根”“立方根”在内容和展开方式上是基本平行的，因此，编写“立方根”时充分利用了类比的方法，通过类比“平方根”展开“立方根”的内容。这样的编写方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移。
学情分析 七年级学生在思维上正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。他们对有理数的概念和运算有了较深的认识，但对无理数这一抽象概念的理解可能存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和形象的教学手段，逐步建立起学生对实数的抽象概念。学生的学习习惯上，已经具备了一定的独立思考和自主探究能力，但在合作交流方面可能还需要进一步的引导。此外，学生的运算水平有所提高，但在推理能力和数感方面仍有待加强。
单元目标 教学目标1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会有根号表示数的算术平方根、平方根、立方根；2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根；3.了解开方和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.(二)教学重点、难点教学重点:算术平方根、平方根的概念、求法及实数的概念。教学难点:平方根与实数的概念。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架

（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数8.1平方根3课时8.2立方根2课时8.3实数及其简单运用2课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1.1平方根1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系；2.知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根.1.了解平方根的概念2.理解平方与开平方的关系3.知道平方根的性质，会用符号表示平方根4.会求非负数的平方根.任务一：以实际问题为背景，引出新课任务二：平方根的定义和计算任务三：平方根的特征与表示8.1.2算数平方根1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根；2.了解算术平方根的非负性；3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根2.了解算术平方根的非负性；3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.任务一：通过实例，引出新课任务二：算数平方根的定义及性质任务三：算数平方根的估算8.1.3用计算器求一个正数的算数平方根1.会用计算器求算术平方根.2.能用计算器探求数学规律.3.能利用算术平方根解决实际问题.1.会用计算器求算术平方根2.能用计算器探求数学规律3.能利用算术平方根解决实际问题任务一：由算盘到计算器，感受科技的进步任务二：用计算器求算数平方根任务三：算数平方根的实际应用8.2.1立方根1.了解立方根的概念.2.知道立方根的性质，知道平方根与立方根的联系与区别.3.会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根.1.了解立方根的概念2.知道立方根的性质，知道平方根与立方根的联系与区别3.会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根任务一：复习平方根的知识任务二：立方根任务三：立方根的性质任务四：立方根的表示8.2.2立方根的估算与用计算器求立方根1.了解互为相反数的两个数的立方根的关系.2.学会用计算器计算各数的立方根或立方根的近似值.1.了解互为相反数的两个数的立方根的关系2.会用计算器计算各数的立方根或立方根的近似值任务一：复习立方根的内容任务二：相反数的立方根任务三：用计算器求立方根8.3.1实数的概念及分类1.了解无理数和实数，能将实数按要求进行分类;2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.1.了解无理数的概念及相关内容2.了解实数的概念，能将实数按要求进行分类3.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，4.能比较实数的大小.任务一：回忆有理数的概念及分类，为学习实数做铺垫任务二：无理数的概念任务三：实数的概念及分类任务四：实数与数轴上点的关系8.3.2实数的性质及运算1．能求实数的相反数与绝对值.2．能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.3．能用计算器进行近似计算，会对结果取近似值.1．能求实数的相反数与绝对值2．能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用3．能用计算器进行近似计算，会对结果取近似值任务一：回顾有理数的相关概念和运算，进入实数的学习任务二：实数的相反数与绝对值任务三：实数的运算
《第8章 》实数 大单元教学设计
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分课时教学设计
《8.1.2算数平方根》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容为算数平方根。本节课是在学生学方根的基础上来学习算术平方根，之前的平方根的学习为本节课学习奠定了一定的知识基础，更利于学生理解算术平方根的概念，它不仅是对前面所学知识的巩固，也为后面估算算术平方根，求算术平方根的整数和小数部分的学习奠定了基础.教材通过对平方根概念的复习引入，直接给出算术平方根的定义，再由具体例子讲解便于学生理解与掌握算术平方根的概念，并运用概念，会求一个数的算术平方根。
学习者分析 在本课学习之前，学生们已经掌握了一些完全平方数，对乘方运算也有一定的认识，熟练地掌握了求一个数的平方根能很自然快速掌握求一个数的算术平方根，并对0的算术平方根作出规定，容易理解算术平方根的双重非负性，但是对于用非负性解决问题存在问题，在实际问题中双重非负性条件的隐蔽性，学生容易忽略，通过做题归纳初中阶段所有的非负性，便于学生掌握知识。
教学目标 1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根； 2.了解算术平方根的非负性； 3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.
教学重点 算术平方根的概念、用夹逼法求一个数的算术平方根的近似值.
教学难点 用夹逼法估算一个无限不循环小数的大小.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 如图是一个正方形手帕，它的边长为 2 dm，那它的面积是多少？ 4 dm2 如果这个手帕的面积是16 dm ，那它的边长是多少？ 16的平方根为±4，但实际问题中只能取正值.学生活动1： 学生动脑思考，积极举手回答.活动意图说明： 借助实例让学生感受算数平方根的产生是实际生活的需要，也是数学运算的需要.环节二：算数平方根的定义及性质教师活动2： 算数平方根： 我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根叫作a的算术平方根. 正数a 的算术平方根用来表示. 规定：0的算术平方根是0. 0的算术平方根也记为. 由算数平方根的定义可知，算术平方根的性质： 1.一个正数的算术平方根有几个？ 一个正数的算术平方根有1个 2. 0的算术平方有几个？ 0的算术平方根有一个，是0. 3. 负数有没有算术平方根 负数没有算术平方根. 思考：是什么数？其中a可以取任何数吗？ 算术平方根的双重非负性 平方根与算术平方根的区别与联系 例3 求下列各数的算数平方根： (1) 100； (2) ； (3) 0.0001. 解:(1)因为102=100，所以100的算术平方根是10，即=10； (2)因为()2= ，所以的算术平方根是，即=； (3)因为0.012=0.000 1，所以0.000 1的算术平方根是0.01，即=0.01. 思考: 比较三个数的大小以及它们各自算数平方根的大小，你发现了什么？ 可以看出:被开方数越大，对应的算术平方根就越大，这个结论对所有正数都成立. 求一个正数的算术平方根的方法: 先找出哪一个正数的平方等于所给的数，再用数学式子表示即可.学生活动2： 学生理解算数平方根的含义，知道算数平方根的表示。 学生在教师的引导下总结出算术平方根的性质。 学生掌握算术平方根的双重非负性。 学生总结平方根与算术平方根的区别与联系 学生独立完成例题，并展示答案。 学生小组讨论，得出结论：被开方数越大，对应的算术平方根就越大。 学生与教师一起总结求一个正数的算术平方根的方法。活动意图说明： 引入算术平方根的概念，进一步巩固开平方运算的能力.理清平方根与算术平方根之间的区别与联系.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣。环节三：算数平方根的估算教师活动3： 探究: 怎样用两个面积为1 dm2的小正方形拼成一个面积为2 dm2的大正方形 这个大正方形的边长是多少 如图，把两个小正方形分别沿对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，就得到一个面积为2dm2的大正方形。 设大正方形的边长为x dm，则 x2=2 由边长的实际意义可知 所以大正方形的边长为dm。 思考：小正方形的对角线的长是多少呢 小正方形的对角线的长等于大正方形的边长： dm 探究:有多大呢？ 因为 12=1，22=4，而 12 < 2 < 22 ，所以 1 < < 2. 因为1 < < 2，所以在1和2之间，能不能得到更精确的范围？ 因为1.42 = 1.96，1.52 = 2.25，而 1.42 < 2 <1.52 ，所以 1.4 < < 1.5； 因为1.412 = 1.988 1，1.422 = 2.016 4，而 1.412 < 2 < 1.422， 所以 1.41 << 1.42； 因为1.4142 = 1.999 396，1.4152 = 2.002 225，而 1.4142 < 2 < 1.4152，所以 1.414 << 1.415； 如此进行下去，可以得到的更精确的估计范围.事实上， =1.414 213 562 373…，它是一个无限不循环小数. 思考：无限不循环小数是指小数位数无限，且小数部分不循环的小数. 你以前见过这种数吗？ 实际上，很多正有理数的算术平方根 （例如，，等）都是无限不循环小数． 对算术平方根进行估算时，通常利用与被开方数比较接近的两个完全平方数的算术平方根来估计这个被开方数的算术平方根的大小. 例如：与50 最接近的两个完全平方数是49 和 64， 因为9<50<64， 所以<<. 即7<<8. 夹逼法按照精确度估计 (a>0)的近似值： (1)确定的整数部分：根据算术平方根的定义，若夹在两个连续非负整数 m，n (m板书设计 课题：8.1.2算数平方根 1.算数平方根的定义及性质： 2.算数平方根的估算：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列各数中没有算术平方根的是( B ) A．0 B．－4 C．|－2| D．16 2.下列式子中有意义的是( C ) A． B．(－)2 C．－ D． 3.求下列各数的算术平方根： (1) 0.002 5； (2) 81； (3) 32. 解：(1)因为0.052＝0.002 5，所以0.002 5的算术平方根是0.05，即＝0.05； (2)因为92＝81，所以81的算术平方根是9，即＝9； (3)因为32＝9，9的算术平方根是3，所以32的算术平方根是3，即＝3. 选做题： 4.下列说法： ①任何数都有算术平方根；②一个数的算术平方根一定是正数； ③a2的算术平方根是a；④算术平方根不可能是负数； ⑤(π－4)2的算术平方根是4－π. 其中正确的个数有( A ) A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5. 若|a-1|+ +(c+4) =0,则(a+b+c)2025= -1 . 【综合拓展类作业】 6.(1)通过计算下列各式的值探究问题． ①＝ 4 0；＝ 16 0；＝ 0 0． 探究：对于任意非负有理数a，＝ a 0； ②＝ 1 0；＝ 2 0． 探究：对于任意负有理数a，＝ -a 0． 综上，对于任意有理数a，＝ |a| 0； (2)应用(1)所得结论解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，化简：－－＋|a＋b|＝ －a－3b .
课堂总结 1.算数平方根： 正数a有两个平方根，其中正的平方根√a叫作a的算术平方根. 正数a 的算术平方根用√a来表示. 2.算数平方根的性质： 一个正数的算术平方根有1个； 0的算术平方根有一个，是0； 负数没有算术平方根. 3.算数平方根的估算：夹逼法则
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法正确的是( A ) A.5 是25 的算术平方根 B. ±4 是16 的算术平方根 C.－6 是(－6)2 的算术平方根 D. 0.01 是0.1 的算术平方根 2.(1)(－4)2的算术平方根是 4 ； (2)的算术平方根是 3 . 3.求下列各式的值： (1)；　(2)；　(3). 解：(1)∵92＝81，∴＝9. (2)∵( )2＝，∴＝. (3) ＝0.5. 选做题： 4.设＝a，则下列结论正确的是(　D 　) A．a＝441 B．a＝4412 C．a＝－21 D．a＝21 5．一个自然数的算术平方根为a，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（　B　） A．a＋1　　 B．a＋1　　 C. 　 D. 【综合拓展类作业】 排球比赛场地呈长方形，长是宽的2倍，面积为162 m2，它的长与宽分别是多少？ 解:设长方形的宽为x m，则长为2x m. 根据题意，得2x·x=162， 2x2=162， x2=81， 由边长的实际意义可知，x==9， 则长方形的长为18 m，宽为9 m.
教学反思 本节课先介绍算术平方根的概念，并总结算术平方根的双重非负性，然后和学生一起探究用夹逼法估算一个数的算术平方根的近似值的方法，让学生从被动学习到主动探究，激发学生的学习热情，培养学生自主学习数学的能力.通过独立思考与小组讨论相结合的方式解决新问题，让学生体会研究数学问题的新方法.
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