资源简介

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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册、第8章
课标要求 【内容要求】（1）了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。（2）能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。（3）能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。（4）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。（5）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。（6）能用有理数估计一个无理数的大致范围。（7）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。【学业要求】了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值。
内容分析 本章主要内容：（1）平方根；（2）立方根；（3）实数及其简单运算。本章内容属于“数与代数”领域。有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深的认识。本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，编写时注意了加强知识间的相互联系，突出类比的作用，使学生更好的体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化。本章前两节“平方根”“立方根”在内容和展开方式上是基本平行的，因此，编写“立方根”时充分利用了类比的方法，通过类比“平方根”展开“立方根”的内容。这样的编写方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移。
学情分析 七年级学生在思维上正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。他们对有理数的概念和运算有了较深的认识，但对无理数这一抽象概念的理解可能存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和形象的教学手段，逐步建立起学生对实数的抽象概念。学生的学习习惯上，已经具备了一定的独立思考和自主探究能力，但在合作交流方面可能还需要进一步的引导。此外，学生的运算水平有所提高，但在推理能力和数感方面仍有待加强。
单元目标 教学目标1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会有根号表示数的算术平方根、平方根、立方根；2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根；3.了解开方和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.(二)教学重点、难点教学重点:算术平方根、平方根的概念、求法及实数的概念。教学难点:平方根与实数的概念。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架

（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数8.1平方根3课时8.2立方根2课时8.3实数及其简单运用2课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1.1平方根1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系；2.知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根.1.了解平方根的概念2.理解平方与开平方的关系3.知道平方根的性质，会用符号表示平方根4.会求非负数的平方根.任务一：以实际问题为背景，引出新课任务二：平方根的定义和计算任务三：平方根的特征与表示8.1.2算数平方根1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根；2.了解算术平方根的非负性；3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根2.了解算术平方根的非负性；3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.任务一：通过实例，引出新课任务二：算数平方根的定义及性质任务三：算数平方根的估算8.1.3用计算器求一个正数的算数平方根1.会用计算器求算术平方根.2.能用计算器探求数学规律.3.能利用算术平方根解决实际问题.1.会用计算器求算术平方根2.能用计算器探求数学规律3.能利用算术平方根解决实际问题任务一：由算盘到计算器，感受科技的进步任务二：用计算器求算数平方根任务三：算数平方根的实际应用8.2.1立方根1.了解立方根的概念.2.知道立方根的性质，知道平方根与立方根的联系与区别.3.会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根.1.了解立方根的概念2.知道立方根的性质，知道平方根与立方根的联系与区别3.会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根任务一：复习平方根的知识任务二：立方根任务三：立方根的性质任务四：立方根的表示8.2.2立方根的估算与用计算器求立方根1.了解互为相反数的两个数的立方根的关系.2.学会用计算器计算各数的立方根或立方根的近似值.1.了解互为相反数的两个数的立方根的关系2.会用计算器计算各数的立方根或立方根的近似值任务一：复习立方根的内容任务二：相反数的立方根任务三：用计算器求立方根8.3.1实数的概念及分类1.了解无理数和实数，能将实数按要求进行分类;2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.1.了解无理数的概念及相关内容2.了解实数的概念，能将实数按要求进行分类3.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，4.能比较实数的大小.任务一：回忆有理数的概念及分类，为学习实数做铺垫任务二：无理数的概念任务三：实数的概念及分类任务四：实数与数轴上点的关系8.3.2实数的性质及运算1．能求实数的相反数与绝对值.2．能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.3．能用计算器进行近似计算，会对结果取近似值.1．能求实数的相反数与绝对值2．能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用3．能用计算器进行近似计算，会对结果取近似值任务一：回顾有理数的相关概念和运算，进入实数的学习任务二：实数的相反数与绝对值任务三：实数的运算
《第8章 》实数 大单元教学设计
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（人教版）七年级
下
8.2.1立方根
实数
第8章
“八”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1.了解立方根的概念.
2.知道立方根的性质，知道平方根与立方根的联系与区别.
3.会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根.
新知导入
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫作a的平方根或二次方根．
平方根
概念
特点
正数有两个平方根，它们互为相反数
负数没有平方根
新知讲解
任务一：立方根
思考：
如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？
因为23=8，所以这个数可以是2.
除2以外，任何一个数的立方都不等于8.
因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2.
新知讲解
立方根：
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.
例如，２是８的立方根．
新知讲解
开立方：
求一个数的立方根的运算，叫作开立方。
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.
27
-27
125
-125
3
-3
5
-5
立方
开立方
新知讲解
探究：
任务二：立方根的性质
根据立方根的意义填空：
因为13 =1，所以1的立方根是( )；
因为( )3 =0.064，所以0.064 的立方根是( )；
因为( )3 ＝0，所以0的立方根是( ).
因为( )3 ＝-8，所以-8 的立方根是( )；
因为( )3 ＝ ，所以 的立方根是( )；
0
1
-2
0
-2
0.4
0.4
你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？０的立方根是多少？
新知讲解
立方根的性质:
正数的立方根是正数，
负数的立方根是负数，
０的立方根是０．
新知讲解
类似于平方根，一个数 a 的立方根记为“”表示，读作“三次根号a”，其中 a 是被开方数，3是根指数.
中的根指数3不能省略.
表示8的立方根，=2；表示-8的立方根，=-2.
任务三：立方根的表示
a 是被开方数
3 是根指数
新知讲解
类似于平方根，一个数 a 的立方根记为“”表示，读作“三次根号a”，其中 a 是被开方数，3是根指数.
中的根指数3不能省略.
实际上省略了中的根指数2，因此也可以读作“二次根号a”.
新知讲解
例1 求下列各数的立方根：
（1）（-2）3； （2）343； （3）-64； （4）
解:(1)(-2)3的立方根是-2，即=-2；
(2)因为73=343，所以343的立方根是7，即=7;
(3)因为(-4)3=-64，所以-64的立方根是一4，即=-4；
(4)因为，所以的立方根是，即=.
新知讲解
平方根 立方根
区别 特点 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
联系 运算关系 0 的开方 两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
平方根与立方根的区别与联系
可以为任意数
非负数
±
都与相应的乘方运算互为逆运算
0 的平方根与立方根都是 0
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.－8的立方根是( )
A．－2 B．2 C．±2 D．不存在
A
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2．下列各数中，立方根一定是负数的是( )
A．－a B．－a2
C．－a2－1 D．－a2＋1
C
3.求下列各数的立方根:
(1)216； (2)； (3) 133； (4)0.008.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
解：(1)因为(6)3=216，所以216的立方根是6，即 =6；
(2)因为()3=，所以的立方根是，即；
3.求下列各数的立方根:
(1)216； (2)； (3) 133； (4)0.008.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
解：(3)133的立方根是13，即=13；
(4)因为( 0.2)3= 0.008，所以 0.008的立方根是 0.2，
即 = 0.2.
4.若实数m，n满足(m－12)2＋|n＋15|＝0，则n－m的立方根为( )
A．－3 B．3 C．±3 D．±
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
A
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5. 一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 .
0
6.若（x－2023）2＋ ＝0，求x＋y的立方根.
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：∵ （x－2023）2＋ ＝0，
（x－2023）2≥0， ≥0，
∴ （x－2023）2＝0， ＝0.
∴ x＝2023，y＝－2024.∴ x＋y＝－1.
∴ x＋y的立方根为－1
课堂总结
1.立方根：
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根.
2.立方根的性质:
正数的立方根是正数，
负数的立方根是负数，
０的立方根是０．
课堂总结
3.立方根的表示：
一个数 a 的立方根记为“”表示，读作“三次根号a”，其中 a 是被开方数，3是根指数.
中的根指数3不能省略.
板书设计
1.立方根：
2.立方根的性质：
3.立方根的表示：
课题：8.2.1立方根
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.下列说法正确的是（　　）
A. 一个正数有两个立方根，它们的和为0
B. 负数没有立方根
C. 如果一个数没有平方根，那么它一定没有立方根
D. 一个数的立方根与这个数同号
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．一个正数 a 的两个平方根是 2b-1和 b+4，则 a+b 的立方根为 .
2
作业布置
3.求下列各数的立方根：
(1)0； (2)2 ； (3)－9； (4)－0.125.
【知识技能类作业】必做题：
解：(1) ＝0.
(2)＝＝.
(3) ＝.
(4)＝－0.5.
4.若x－1是125的立方根，则x－7的立方根是 .
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
-1
5.若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为( )
A．0 B．±10
C．0或10 D．0或－10
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
D
6.已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算数平方根．
【综合拓展类作业】
作业布置
解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4. ∴x＝6.
∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27.
把x＝6代入，解得y＝8，
∴x2＋y2＝62＋82＝100.
∴x2＋y2的算数平方根为10.
Thanks!
2
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分课时教学设计
《8.2.1立方根》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容为立方根的概念、性质及表示。本节课是在前面学习了立方运算，平方根和算术平方根的基础上安排的，之前平方根和算术平方根学习为这节课奠定了方法基础和知识基础，立方根的学习也是学习实数的准备知识，提供了知识积累。
学习者分析 在学方根的概念和性质”掌握的较好的情况下，来探讨本节课的内容是知识的延续和创新，学生积极主动地投入实验、讨论、交流、建构中，自主探索、动手操作、协作交流，全班学生具有较扎实的知识和创新能力，通过自学、小组讨论大部分学生能够达到教学目标，部分学生基础差、白学能力有限，因此要提供赏识性评价教学策略，给予个别关照、心理暗示以及适当的精神激励，克服自卑心理，让他们逐步树立自尊心与自信心，从而完成自己的学习任务。
教学目标 1.了解立方根的概念. 2.知道立方根的性质，知道平方根与立方根的联系与区别. 3.会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根.
教学重点 了解立方根的概念及特征，会用根号表示一个数的立方根.
教学难点 了解开立方与立方是互逆运算，会用开立方运算求一个数的立方根.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 学生活动1： 学生进行思考，积极举手回答.活动意图说明： 通过复习平方根，为引入立方根的概念进行铺垫,有利于学生快速进入后续学习.环节二：立方根教师活动2： 思考: 如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？ 因为23=8，所以这个数可以是2. 除2以外，任何一个数的立方都不等于8. 因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2. 立方根： 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根. 例如，２是８的立方根． 开立方： 求一个数的立方根的运算，叫作开立方。 正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算.学生活动2： 学生分组讨论. 学生归纳立方根的概念。 学生了解开立方与立方也互为逆运算。 活动意图说明： 引入立方根的概念，在学生类比学习的过程中，体会类比数学思想，并且发展推理能力和有条理的语言表达能力，培养学生自行解决问题的能力和意识.环节三：立方根的性质教师活动3： 探究： 根据立方根的意义填空： 因为13 =1，所以1的立方根是( 1 )； 因为( 0.4 )3 =0.064，所以0.064 的立方根是( 0.4 )； 因为( -2 )3 ＝-8，所以-8 的立方根是( -2 )； 因为( )3 ＝，所以的立方根是( )； 因为( 0 )3 ＝0，所以0的立方根是( 0 ). 你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？０的立方根是多少？ 立方根的性质: 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数， ０的立方根是０．学生活动3： 学生小组合作进行探究. 学生通过探究，总结出立方根的性质。活动意图说明： 学生通过探究，总结发现立方根的性质，培养学生主动探究，总结归纳的能力。环节四：立方根的表示教师活动4： 类似于平方根，一个数 a 的立方根记为“”表示，读作“三次根号a”，其中 a 是被开方数，3是根指数. 中的根指数3不能省略. 表示8的立方根，=2；表示-8的立方根，=-2. 实际上省略了中的根指数2，因此也可以读作“二次根号a”. 例1 求下列各数的立方根： （-2）3；（2）343；（3）-64；（4） 解:(1)(-2)3的立方根是-2，即=-2； (2)因为73=343，所以343的立方根是7，即=7; (3)因为(-4)3=-64，所以-64的立方根是一4，即=-4； (4)因为，所以的立方根是，即=. 平方根与立方根的区别与联系 学生活动4： 学生掌握立方根的表示。 学生独立完成例题，并展示答案。 学生与教师一起总结平方根与立方根的区别与联系。 活动意图说明： 学生掌握立方根的表示，会求立方根，独立完成例题，检验学生对概念的掌握程度、理解能力与运用能力。
板书设计 课题：8.2.1立方根 1.立方根： 2.立方根的性质： 3.立方根的表示：
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.－8的立方根是( A ) A．－2 B．2 C．±2 D．不存在 2.下列各数中，立方根一定是负数的是( C ) A．－a B．－a2 C．－a2－1 D．－a2＋1 3.求下列各数的立方根: (1)216； (2)； (3) 133； (4)0.008. 解：(1)因为(6)3=216，所以216的立方根是6，即 =6； (2)因为()3=，所以的立方根是，即； (3)133的立方根是13，即=13； (4)因为( 0.2)3= 0.008，所以 0.008的立方根是 0.2， 即 = 0.2. 选做题： 4.若实数m，n满足(m－12)2＋|n＋15|＝0，则n－m的立方根为( A ) A．－3 B．3 C．±3 D．± 5.一个数的平方根和立方根都等于它本身，这个数是 0 . 【综合拓展类作业】 6.若（x－2023）2＋ ＝0，求x＋y的立方根. 解：∵ （x－2023）2＋ ＝0， （x－2023）2≥0， ≥0， ∴ （x－2023）2＝0， ＝0. ∴ x＝2023，y＝－2024.∴ x＋y＝－1. ∴ x＋y的立方根为－1
课堂总结 1.立方根： 一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x叫作a的立方根或三次方根. 2.立方根的性质: 正数的立方根是正数， 负数的立方根是负数， ０的立方根是０． 3.立方根的表示： 一个数 a 的立方根记为“”表示，读作“三次根号a”，其中 a 是被开方数，3是根指数. 中的根指数3不能省略.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列说法正确的是（　D　） A. 一个正数有两个立方根，它们的和为0 B. 负数没有立方根 C. 如果一个数没有平方根，那么它一定没有立方根 D. 一个数的立方根与这个数同号 2.一个正数 a 的两个平方根是 2b-1和 b+4，则 a+b 的立方根为 2 . 3. 求下列各数的立方根： (1)0； (2)2 ； (3)－9； (4)－0.125. 解：(1) ＝0. (2)＝＝. (3) ＝. (4)＝－0.5. 选做题： 4.若x－1是125的立方根，则x－7的立方根是 -1 . 5．若a2＝(－5)2，b3＝(－5)3，则a＋b的值为( D ) A．0 B．±10 C．0或10 D．0或－10 【综合拓展类作业】 6.已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7的立方根是3，求x2＋y2的算数平方根． 解：∵x－2的平方根是±2，∴x－2＝4. ∴x＝6. ∵2x＋y＋7的立方根是3，∴2x＋y＋7＝27. 把x＝6代入，解得y＝8， ∴x2＋y2＝62＋82＝100. ∴x2＋y2的算数平方根为10.
教学反思 本节课的教学注重类比学习，通过类比平方根的知识学习立方根的知识，既能巩固之前所学，又能加深对新知识的理解，使学生更容易掌握.这种学习方式是研究数学问题的方法之一，对学生今后的学习也有较大的帮助.
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