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第八章 实数
8.2 立方根（第一课时）
1.理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。
2.了解立方与开立方互为逆运算，会用开立方求一个数的立方根。
3.理解立方根的性质，分清一个数的平方根与立方根的联系与区别。
1.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的_______或________. 故正数a的平方根可以用 _____表示.
2.求一个数a的平方根的运算，叫做_______。根据这种互逆关系，可以求一个数的_________。
3.正数有____个平方根，它们互为______；0 的平方根是 ___；负数______平方根.
平方根
二次方根
开平方
平方根
两
相反数
0
没有
在上一节，我们通过研究平方的逆运算学方根， 本节来研究立方的逆运算．
平方
平方根
逆运算
立方
？
逆运算
思考：如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？
因为23=8，所以这个数可以是2。
除2以外，任何一个数的立方都不等于8。
因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2。
一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根.
即：x3＝a，那么x叫做a的立方根或三次方根。
2 是 8 的立方根；
23＝8
(－2)3＝－8
03＝0
－2是－8 的立方根；
0 是 0 的立方根．
正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．根据这种互逆关系，可以求一个数的立方根。
求一个数的立方根的运算，叫做开立方．
23＝( ？ )
立方运算
( ？ )3＝8
开立方运算
互逆
互逆
到了高中，我们将学习一般的开方运算．
探究：根据立方根的意义填空。
因为13 ＝1，所以1的立方根是（ ）；
因为（ ）3 ＝0.064 ,所以0.064的立方根是（ ）；
因为（ ）3 ＝－8 ，所以－8的立方根是（ ）；
因为（ ）3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）；
因为（ ）3 ＝ 0，所以0的立方根是（ ）．
你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？０的立方根是多少？
0.4
0.4
0
0
-2
-2
1
立方根的性质
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0的立方根是0.
一个数a的立方根，记作：读作：“三次根号a”，其中，a是被开方数，3是根指数。
例：表示8的立方根，
表示-8的立方根，
被开方数
根指数
根指数3，不能省略！
根指数
？
2
根指数2，可以省略！
平方根 立方根
性 质 正数
0
负数
表示方法
被开方数的范围
两个，互为相反数
一个，为正数
0
0
没有平方根
一个，为负数
可以为任何数
a≥0
想一想：你能说一说数的立方根与数的平方根有什么不同吗？
例1：判断下面的说法是否正确，若不正确，请改正。
(1)125的立方根是±5；
(2)±3是27的立方根；
(3)(-1)3的立方根是-1；
(4) 的立方根是-2 .
错误，125的立方根是5；
错误，3是27的立方根；
错误，的立方根是
正确
例2：求下列各数的立方根。
(1) (2)3； (2) 343； (3) 64； (4).
解：(1) (2)3 的立方根是2，即；
(2)因为73 =343，所以343的立方根是7，即；
(3)因为 (4)3 =64，所以64的立方根是4，即；
(4)因为()3= ，所以的立方根是，即.
【知识技能类练习】必做题：
1．有理数64的立方根是( )
A．4 B．8 C．±4 D．±8
A
【知识技能类练习】必做题：
2．如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是（ ）
A．1 B． C．1或 D．1、或0
D
【知识技能类练习】必做题：
3．求下列各数的立方根.
(1);　 (2)81×9.
解：(1)因为()3=,
所以的立方根是即=.
(2)因为81×9=93,
所以81×9的立方根是9，即=9.
【知识技能类练习】选做题：
4．求下列各式中的的值：
(1) (2)
解：（1）因为
所以
∴
（2）移项，得
系数化为1，得
因为
所以
【综合拓展类练习】
5．请根据如图所示的对话内容解答下列问题．
(1)求大正方体木块的棱长
(2)求截得的每个小正
方体木块的棱长．
解：（1）因为103=1000，
所以大正方体木块的棱长
（2）设截得的每个小正方体木块的棱长，根据题意得：
解得：，
答：截得的每个小正方体木块的棱长．
立方根
立方根的性质
立方根的概念
立方根的表示方法
【知识技能类作业】必做题：
B
1． 的值是( )
A.1 B.-1 C.3 D.-3
【知识技能类作业】必做题：
2．对于说法错误的是（ 　）
A．表示的立方根 B．结果等于
C．与的结果相等 D．没有意义
D
【知识技能类作业】必做题：
B
3．若一个数的立方根是-6,则该数为( )
A.- B.-216 C.± D.±216
【知识技能类作业】选做题：
4．求下列各式中的x的值．
（1）； （2）．
解：（1），
，
；
（2），
，
，
．
【综合拓展类作业】
5．如图是一张面积为的正方形纸片．
(1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案）
(2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
20cm
解：（2）正方体的边长为：，
平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分），
所用纸片面积为。中小学教育资源及组卷应用平台
同步探究学案
课题 8.2 立方根（第一课时） 单元 第八章 学科 数学 年级 七年级
学习 目标 1.理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。 2.了解立方与开立方互为逆运算，会用开立方求一个数的立方根。 3.理解立方根的性质，分清一个数的平方根与立方根的联系与区别。
重点 理解立方根的定义并且会用根号表示一个数的立方根。
难点 理解立方根的性质，分清一个数的平方根与立方根的联系与区别。
探究过程
导入新课 【引入思考】 1.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的_______或________. 故正数a的平方根可以用 _____表示. 2.求一个数a的平方根的运算，叫做_______。根据这种互逆关系，可以求一个数的_________。 3.正数有____个平方根，它们互为______；0 的平方根是 ___；负数______平方根.
新知探究 本节课来研究： 本节我们借助立方的逆运算，研究立方根。 思考：如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？ 答：因为（ ）3=8，所以这个数可以是______。 除2以外，任何一个数的______都不等于8。 因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是______。 归纳1：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝____，那么这个数_____叫做a的立方根或________. 即：x3＝a，那么x叫做_____的______或三次方根。 例如：23＝8，2 是_____的立方根； (－2)3＝－8，_____是－8 的立方根； 03＝0，______是 0 的立方根． 归纳2：求一个数的立方根的运算，叫做_______．正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为_______．根据这种互逆关系，可以求一个数的_______。 注：到了高中，我们将学习一般的开方运算． 探究：根据立方根的意义填空。 因为13 ＝1，所以1的立方根是（ ）； 因为（ ）3 ＝0.064 ,所以0.064的立方根是（ ）； 因为（ ）3 ＝－8 ，所以－8的立方根是（ ）； 因为（ ）3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）； 因为（ ）3 ＝ 0，所以0的立方根是（ ）． 你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？０的立方根是多少？ 归纳：立方根的性质 正数的立方根是____数；负数的立方根是____数；0的立方根是____. 一个数a的立方根，记作：读作：“三次根号a”，其中，a是_______，3是_____。根指数3，不能省略！ 例如：表示8的立方根， 表示_____的立方根， 强调：的根指数是____，根指数2，可以省略！ 填表： 平方根立方根性 质正数0负数表示方法被开方数的范围
例1：判断下面的说法是否正确，若不正确，请改正。 (1)125的立方根是±5； (2)±3是27的立方根； (3)(-1)3的立方根是-1； (4) 的立方根是-2 . 例2：求下列各数的立方根。 (1) (2)3； (2) 343； (3) 64； (4).
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．有理数64的立方根是( ) A．4 B．8 C．±4 D．±8 2．如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是（ ） A．1 B． C．1或 D．1、或0 3．求下列各数的立方根. (1);　 (2)81×9. 选做题： 4．求下列各式中的的值： (1) (2) 【综合拓展类练习】 5．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长 (2)求截得的每个小正 方体木块的棱长．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1． 的值是( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 2．对于说法错误的是（ 　） A．表示的立方根 B．结果等于 C．与的结果相等 D．没有意义 3．若一个数的立方根是-6,则该数为( ) A.- B.-216 C.± D.±216 选做题： 4．求下列各式中的x的值． （1）； （2）． 【综合拓展类作业】 5．如图是一张面积为的正方形纸片． (1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案） (2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积．
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分课时教学设计
第四课时《8.2 立方根（第一课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课主要学习立方根的概念和性质，是在学习了立方运算、平方根和算术平方根的基础上进行的，之前立方、平方根和算术平方根的学习为这节课奠定了方法基础和知识基础，立方根的学习也为学习实数提供了知识积累。
学习者分析 在学方根概念的基础上学习立方根的概念，学生比较容易接受，因此教学重点放在立方根具有唯一性(实数范围内)的讨论上，在学生对数的立方根概念及个数的唯一性有了一定理解的基础上，再提出数的立方根与数的平方根有什么区别，学生就容易解决问题.在学方根的基础上，学生经历用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.通过对立方根性质的探究，在探究中培养学生的逆向思维能力和分类讨论的意识。
教学目标 1.理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。 2.了解立方与开立方互为逆运算，会用开立方求一个数的立方根。 3.理解立方根的性质，分清一个数的平方根与立方根的联系与区别。 4.渗透类比的思维方式，培养学生的类比推理能力。
教学重点 理解立方根的定义并且会用根号表示一个数的立方根。
教学难点 理解立方根的性质，分清一个数的平方根与立方根的联系与区别。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.理解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根。 2.了解立方与开立方互为逆运算，会用开立方求一个数的立方根。 3.理解立方根的性质，分清一个数的平方根与立方根的联系与区别。学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题： 1.一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的_______或________. 故正数a的平方根可以用 _____表示. 答案：平方根，二次方根， 2.求一个数a的平方根的运算，叫做_______。根据这种互逆关系，可以求一个数的_________。 答案：开平方，平方根 3.正数有____个平方根，它们互为______；0 的平方根是 ___；负数______平方根. 答案：两，相反数，0，没有 引言：在上一节，我们通过研究平方的逆运算学方根， 本节来研究立方的逆运算．学生活动2： 学生积极主动回答老师出示的问题活动意图说明： 通过回顾平方根的相关知识，加深对平方根的理解，为类比得出立方根的概念做好铺垫。环节三：新知讲解教师活动3： 思考：如果一个数的立方等于8，那么这个数是多少？ 预设：因为23=8，所以这个数可以是2。 除2以外，任何一个数的立方都不等于8。 因此，如果一个数的立方等于8，那么这个数是2。 归纳：一般地，如果一个数x的立方等于a，即x3＝a，那么这个数x叫做a的立方根或三次方根. 即：x3＝a，那么x叫做a的立方根或三次方根。 例：23＝8，2 是 8 的立方根； (－2)3＝－8，－2是－8 的立方根； 03＝0，0 是 0 的立方根． 类比：求一个数的立方根的运算，叫做开立方． 说明：到了高中，我们将学习一般的开方运算． 指出：正如开平方与平方互为逆运算一样，开立方与立方也互为逆运算．根据这种互逆关系，可以求一个数的立方根。 探究：根据立方根的意义填空。 因为13 ＝1，所以1的立方根是（ ）； 答案：1 因为（ ）3 ＝0.064 ,所以0.064的立方根是（ ）； 答案：0.4，0.4 因为（ ）3 ＝－8 ，所以－8的立方根是（ ）； 答案：-2，-2 因为（ ）3 ＝ ，所以 的立方根是（ ）； 答案：， 因为（ ）3 ＝ 0，所以0的立方根是（ ）． 答案：0，0 你能发现正数的立方根有什么特点吗？负数呢？０的立方根是多少？ 归纳：立方根的性质 正数的立方根是正数； 负数的立方根是负数； 0的立方根是0. 讲解：一个数a的立方根，记作：读作：“三次根号a”，其中，a是被开方数，3是根指数。根指数3，不能省略！ 例：表示8的立方根， 表示-8的立方根， 强调：的根指数是2，根指数2，可以省略！ 想一想：你能说一说数的立方根与数的平方根有什么不同吗？ 平方根立方根性 质正数0负数表示方法被开方数的范围
答案：两个，互为相反数；一个，为正数 0；0 没有平方根；一个，为负数 ； a≥0；可以为任何数 例1：判断下面的说法是否正确，若不正确，请改正。 (1)125的立方根是±5； (2)±3是27的立方根； (3)(-1)3的立方根是-1； (4) 的立方根是-2 . 解：（1）错误，125的立方根是5； （2）错误，3是27的立方根； （3）正确 （4）错误，的立方根是 例2：求下列各数的立方根。 (1) (2)3； (2) 343； (3) 64； (4). 解：(1) (2)3 的立方根是2，即； (2)因为73 =343，所以343的立方根是7，即； (3)因为 (4)3 =64，所以64的立方根是4，即； (4)因为()3= ，所以的立方根是，即.学生活动3： 学生回答问题后听老师讲解立方根的概念和开立方运算，然后先独立思考，再小组合作完成探究，并班内交流，最后认真听老师的点评和讲解 活动意图说明： 通过具体实例，感受立方根，在此基础上引导学生得到立方根的概念，开立方运算，利用立方和开立方的互逆关系求立方根来进一步探究立方根的性质并与平方根做对比，提高学生对立方根与平方根的认识环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：8.2 立方根（第一课时） 一、立方根的概念 二、立方根的性质 三、立方根的表示方法 四、平方根与立方根的不同教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．有理数64的立方根是( ) A．4 B．8 C．±4 D．±8 答案：A 2．如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是（ ） A．1 B． C．1或 D．1、或0 答案：D 3．求下列各数的立方根. (1);　 (2)81×9. 解：(1)因为()3=, 所以的立方根是即=. (2)因为81×9=93, 所以81×9的立方根是9，即=9. 选做题： 4．求下列各式中的的值： (1) (2) 解：（1）因为 所以 ∴ （2）移项，得 系数化为1，得 因为 所以 【综合拓展类练习】 5．请根据如图所示的对话内容解答下列问题． (1)求大正方体木块的棱长 (2)求截得的每个小正 方体木块的棱长． 解：（1）因为103=1000， 所以大正方体木块的棱长 （2）设截得的每个小正方体木块的棱长，根据题意得： 解得：， 答：截得的每个小正方体木块的棱长．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1． 的值是( ) A.1 B.-1 C.3 D.-3 答案：B 2．对于说法错误的是（ 　） A．表示的立方根 B．结果等于 C．与的结果相等 D．没有意义 答案：D 3．若一个数的立方根是-6,则该数为( ) A.- B.-216 C.± D.±216 答案：B 选做题： 4．求下列各式中的x的值． （1）； （2）． 解：（1）， ， ； （2）， ， ， ． 【综合拓展类作业】 5．如图是一张面积为的正方形纸片． (1)正方形纸片的边长为______；（直接写出答案） (2)若用此正方形纸片制作一个体积为的无盖正方体，请在这张正方形纸片上画出无盖正方体的平面展开图的示意图，并求出该正方体所用纸片的面积． 解：（1）20cm （2）正方体的边长为：， 平面展开图如图所示（阴影部分为剪去的部分）， 所用纸片面积为。
教学反思 在本节课的教学中，我以学生为主体，采用了启发式教学法，通过设计一系列层次分明的问题链，引导学生自主探索和合作交流。学生在互动学习中，不仅理解了立方根的概念，还学会了用根号表示立方根，并通过立方运算求立方根。同时，学生也掌握了开立方与立方互为逆运算的关系，以及立方根的性质，并能区分立方根与平方根的不同。这一过程不仅锻炼了学生的逻辑推理能力，还培养了他们的独立思考能力。
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