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2.1.1 平方根与算术平方根
——新授课
一、教材分析
本节主要学习平方根与算术平方根的概念，涉及非负数开平方的运算规则及其应用。算术平方根是平方根的特殊形式（仅取非负根），两者共同构成后续学习二次根式、方程及函数的基础。且本节内容位于“实数”章节的起始部分，是衔接有理数与无理数的重要纽带，为后续学习根式运算、勾股定理等提供理论支撑。
二、学情分析
1.知识储备：已掌握平方运算，但对逆向运算（开平方）的理解较薄弱，易混淆“平方根”与“算术平方根”的概念。对非负数范围的认知不足，可能误认为负数存在平方根。
2.能力水平：具备初步的代数运算能力，但符号处理易出错。且抽象思维能力较弱，需借助具体实例理解抽象概念。
3.学习心理：对公式记忆和符号运算存在畏难情绪，需通过生活化情境激发兴趣，且需要教师通过分层练习和直观化教学逐步建立信心。
三、教学目标
1.理解平方根与算术平方根的概念，明确两者的区别与联系。
2.掌握算术平方根的符号表示（）及非负性（a≥0，≥0）。
3.能正确求出一个非负数的算术平方根及平方根，并解决简单实际问题。
4.经历从具体实例（如正方形面积）到抽象概念的归纳过程，培养观察与概括能力。
5.感受数学符号的简洁性与逻辑美，激发探索兴趣。
四、重点难点
重点:平方根与算术平方根的定义及其符号化表达。
难点:平方根的双值性与算术平方根的单值性。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、问题导入
【问题】小明将一个长为2、宽为1的长方形纸片，按图所示方法剪拼成了一个正方形.观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？
正方形的面积是2，边长的平方是2.
问题：你知道边长怎么表示吗？
这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数.
二、探究新知
【抽象】如果有一个数r，使得r2=a，那么r叫作a的一个平方根，也叫作二次方根.
若r2=a，则r是a的一个平方根.
例如，由于22=4，因此2是4的一个平方根.
又因为(-2)2=4，所以-2也是4的一个平方根.
【探究】4的平方根除了2和-2以外，还有其他的数吗？
∵边长大于2的正方形的面积一定大于4，
∴比2大的数都不是4的平方根.
∵边长小于2的正方形的面积一定小于4，
∴比2小的正数都不是4的平方根.
又∵(-b)2=b2
∴大于-2或小于-2的负数都不是4的平方根.
又∵0显然不是4的平方根.
∴4的平方根有且只有两个：2与-2.
【定义】如果r是正数a的一个平方根，那么a的平方根有且只有两个：r与-r.
正数a的正平方根叫作a的算术平方根，记作，读作“根号a”；
正数a的负平方根记作，读作“负根号a”.
这样，正数a的两个平方根可以用“±”来表示，读作“正、负根号a”.
注意：1.一个正数有两个平方根，且它们互为相反数 . 一个正数只有一个算术平方根.
2.算术平方根具有双重非负性：
①根号内的数a是非负数，即a≥0.
②算术平方根是非负数，即 ≥0.
【思考】0的平方根是多少？负数有平方根吗？
∵02= 0,
又∵非零数的平方不等于0，
∴0的平方根就是0本身.
∵同号两数相乘得正数，且02= 0，
∴不存在一个数的平方是负数，
∴负数没有平方根.
0的平方根也叫作0的算术平方根，记作0，即02=0.
【牛刀小试】判断下列语句是否正确：
1.3是9的平方根；
2.9的平方根是3；
3.4是-16的平方根；
4.0的平方根是0；
5.算术平方根等于本身的数只有0.
注意：1.0的平方根就是0本身。
2.负数没有平方根。
3.算术平方根等于本身的数只有0和1。
【定义】求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数.
开平方与平方互为逆运算.
二、例题探究
例1 分别求下列各数的平方根：(1)36; (2) ； (3)1.21.
解：(1)由于(±6)2=36，因此36的平方根是6与-6，即
.
(2)由于(±)2=，因此的平方根是与，即
.
(3)由于(±1.1)2=1.21，因此1.21的平方根是1.1与-1.1，即
.
例2分别求下列各数的算术平方根：
（1）100； （2）1.96； （3）.
解： (1)由于102=100，因此=10;
(2)由于1.42=1.96，因此=1.4;
(3)由于2= ，因此= ;
正数越大，它的算术平方根也越大。
【议一议】下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？
(1) ； (2) (-5)2.
解：(1)∵=81，（±9）2=81，
∴的平方根是9与-9，即
(2)∵(-5)2=25，（±5）2=25，
∴(-5)2的平方根是5与-5，即
三、课堂练习
1. 25的平方根是 (　 )
A.25　　　 B.-5　　　 C.5　　　 D.±5
2. (-2)2的平方根是 (　 )
A.2　　　 B.-2　　　 C.±2　　　 D.
3.化简的结果是 （　　）
A. 9 B. -3 C. ±3 D. 3
4.下列说法正确的有 （　　）
①-2是-4的一个平方根；②a2的平方根是a；③2是4的一个平方根；④4的平方根是-2.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
5.若13是m的一个平方根， 则m的另一个平方根是 （　　）
A. 13 B. -13 C. ±13 D. 69
6.求下列各数的平方根:
(1)121. 　　　 (2)0.01. 　　　 (3)2.　　　 (4)(-13)2.
7.一个正数b的两个不同的平方根分别是2a-1与-a+2,求a和b的值.
四、课堂小结
这节课你收获了什么，在运用过程中需注意什么？
五、作业布置
课堂作业：P31 T1-3
家庭作业：《学法》P24 A组（基础一般），A、B、C组（基础较好）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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