资源简介

17.1勾股定理
一、学生起点分析
八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法（包括割补法），但运用面积法和割补思想解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．
教学任务分析
（一）本节内容分析
本节课是义务教育课程人教版八年级(下)第十七章《勾股定理》第一节第1课时. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．
（二）教学目标
1.掌握勾股定理的内容；理解勾股定理的证明方法；能够使用勾股定理进行简单的几何计算.
2.通过亲身参与数学活动，获得成功的体验；在小组探究中学会合作与分享.
3.通过对勾股定理的历史介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心.
(三)教学重点难点
重点：直观得出勾股定理，并用自己语言进行描述.
难点：充分体现探索过程，学生主动探索交流.
总体设计思路
为完成上述目标，本节课在设计思路上采用“问题情景——问题解决——归纳总结——巩固练习——应用拓展——回顾思考”的六段式教学模式展开教学.
本节课通过阅读章前图所配文字及介绍勾股定理的历史引入新课，让学生认识所要解决的问题。在利用方格纸探索勾股定理的过程中让学生进行思考、讨论、交流，经过学生的观察、归纳、猜想，发现问题并鼓励学生运用自己的语言进行表达.通过练习加深学生对勾股定理认识的同时，提出勾股定理与现实生活的联系，让学生感受数学的应用价值。最后师生共同回顾总结，找出本节课的困惑，加以指导.
教学策略分析
（1）教学设计理念
本节课以沙画的形式从还原2002年在北京召开的第24届国际数学家大会事件切入，直奔主题，激发学生的民族自豪感. 以问题为载体给学生提供思考、研讨、探索的时间和空间，引导学生积极参与课堂活动，并强调同桌之间的合作和交流，强化应用意识，培养学生多方面的能力.让学生通过动脑，动手，动口自主探索，感受到“无处不在的数学”与数学之美，以提高学习的兴趣，进一步体会数学的地位与作用.
（2）教学组织形式
教学环节的设计与展开，都以问题的讨论和解决为中心，使教学过程成为学生在教师的指导下的一种研讨、探索的学习活动过程，让学生在讨论和交流中逐步发现、辨析、证明、应用勾股定理.
（3）教学方法
1、本节课采用“感知归纳法”，利用多媒体课件呈现丰富的问题情景，采用自主探究、合作交流的学习方式。教师适时引导、点拨，协助归纳总结。
2、对于运用勾股定理解决实际问题，要使学生整体把握和分析哪是直角边，哪是斜边，并引导学生总结运用勾股定理解决实际问题的过程，善于发掘学生的新见解，并及时给予肯定，捕捉学生思维中的亮点，鼓励和促进学生进行创造性思维.
教学媒体应用
勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，是直角三角形的一个重要性质．本教学设计利用计算机(几何画板软件动态显示)的优越条件，提供足够充分的典型材料——形状大小、位置发生变化的各种直角三角形，让学生观察分析，归纳概括，探索出直角三角形三边之间的关系式，并通过拼图，发现直角三角形的这个特有性质，体现了启发学生独立分析问题、发现问题、总结规律的教学方法．
教学过程
本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，引入新课；第二环节：探索发现勾股定理；第三环节：勾股定理的证明；第四环节：勾股定理的简单应用；第五环节：课堂小结；第六环节：布置作业．
第一环节：创设情境，引入新课
内容：相传2500年前，毕达哥拉斯去老朋友家做客时，发现朋友家用砖铺成的地面图案反映了直角三角形三边的某种数量关系，我们也来观察一下地面的图案，你能从中发现什么数量关系？
意图：紧扣课题，自然引入，激发起学生的求知欲.
第二环节：探索发现勾股定理
1．探究活动一
内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：
问：你能发现上图中三个正方形的面积之间有何关系吗？等腰直角三角形三边有怎样的等量关系？
学生通过观察，归纳发现：
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.
2．探究活动二
内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？
（1）观察下面两幅图：
（2）填表：
A的面积（单位面积） B的面积（单位面积） C的面积（单位面积）
左图
右图
（3）你是怎样得到正方形C的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）
　　　　 图1　　　　　　　　　 图2　　　　　　　　　　
学生的方法可能有：
方法一：如图1，将正方形C分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形， ．
方法二：如图2，在正方形C外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，．
（4）分析填表的数据，你发现了什么？
学生通过分析数据，归纳出：
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．
意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.
3．议一议
内容：（1）你能用直角三角形的边长，，来表示上图中正方形的面积吗？
（2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？
命题1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，
分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.
第三环节：勾股定理的证明
内容：历史上所有的文明古国对勾股定理都有研究.下面我们看看历史上我国的数学家对勾股定理的研究，并通过小组合作完成课本拼图法证明勾股定理.
师生活动：教师展示下图，并介绍：这个图案是3世纪三国时期的赵爽在
注解《周髀算经》时给出的，人们称它为赵爽弦图.赵爽根据此图指出：四个全等的直角三角形可以如图围成一个大正方形，中间的部分是一个小正方形,让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧.
要点归纳：勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2.
公式变形：
意图：通过拼图活动，调动学生思维的积极性，为学生提供从事数学活动的机会，发展学生的形象思维；使学生对定理的理解更加深刻，体会数学中的数形结合思想.
第四环节：勾股定理的简单应用
内容：
1、设Rt△ABC中，边BC、AC、AB所对的边分别为a、b、c.已知a=6,b=8.
（1）若∠C=90°，则c=_____.
（2）若∠B=90°，则c=_____.
2、若直角三角形中，有两条边长是3和4，则第三条边长为_______.
意图：考查学生能否清晰地辨别勾股定理的表述方式.
3、图中已知数据表示面积，求表示面积的x=____，y=____。
4、如图，图中所有三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A,B,C,D的边长分别 2，4，3，5，求最大正方形E的面积为_____.
意图：学生应掌握三个正方形的面积关系并进一步体会以直角三角形三边为边长的正方形的面积关系.
第五环节：课堂小结
内容：
教师提问：
1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流．
在学生自由发言的基础上，师生共同总结：
1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，
分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．
2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用；（2）“割、补、拼、接”法.
3．思想：（1） 特殊—一般—特殊；（2） 数形结合思想．
意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．
七、学业评价设计
1. 求图中字母表示的正方形的面积.
2. 直角三角形的两条直角边长分别为 5，12，则斜边长为 .
3. 直角三角形的两条直角边长分别为6，8，则斜边上的高为 .
4. 在等腰三角形ABC中，AB = AC = 17，BC = 16. 求等腰三角形ABC的面积？
5．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足？
意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1-2是为了巩固基础知识而设计；作业3-4是为了检测学生应用勾股定理进行计算的能力；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进一步认识勾股定理的前提条件．
八、教学反思
本节课顺利完成既定教学目标，学生课后检测成绩好.
主要亮点：
1.通过教师自制教具，在课堂上给学生进行演示实验，并对实验现象提出猜想，即使学生容易接受，又符合科学探究的方法．
2.利用图形的拼接对勾股定理进行证明，重视数形结合的思想方法渗透，重视数学三种语言之间的互译，让学生明白其中的互相关系．
3.以小组合作学习的方式探究定理证明与运用，充分调动每个学生的学习积极性，使他们学会与人合作，与人交流，并能与人分享．
4.对问题的设置与变式得当且有目的性，讲授严谨清晰，不乏幽默感，板书工整合理．
不知之处：
1.新课标下“数学教学活动是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程”的教学，本节课在小组验证勾股定理时，组内交往互动不足。
2.受课堂时间的限制，留给学生思考和研究的时间不足，还有小部分学生是在其他学生和教师的带领下被动跟随，如果能再多给学生一些思考的时间，教学效果会更好.
3.在对学生评价方面的引导用语还不够丰富，有提升空间．
证明：∵S大正方形＝________，
S小正方形＝________,
S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
∴________=________+__________.

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