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人教A版高一下册数学必修第二册7.1.2复数的几何意义教学设计
课题 7.1.2复数的几何意义
课型 概念课 课时 1
学习目标 1.理解复数的代数表示和几何意义； 2.掌握用向量的模表示复数模的方法，理解共轭复数的概念； 3.通过运用复数的几何意义求模及轨迹形状问题，提升直观想象素养； 4.通过构造平面向量将复数问题转化为图形问题解决，提升数学建模素养．
学习重点 复数的几何意义
学习难点 复数的向量表示
学情分析 本节课是在学生学习了复数的概念之后,对复数概念的进一步理解和深化. 复数z=a+bi (a, b∈R)本质是一对有序实数对(a, b)，因此利用复平面表示复数，可以直接得复数的两种几何意义.但在理解认识上，学生不易接受二维”的复数与点和向量的一对应关系。
核心知识 复平面 复数的向量表示 复数的模
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
一、情境引入 我们知道，在引入了新数“i”之后，我们对数的认知也扩充到了复数，复数都可以表示为z=a+bi（a，b∈R）的形式，其中，当b=0时，z为实数，也就是说，实数是复数中的一部分．我们又知道，实数从形的角度来说，它与数轴上的点一一对应，那么一个自然的问题就是：复数从几何角度又有什么意义呢？ 二、新知探究 问题1：根据复数相等的定义，任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序数对（a，b）唯一确定；反之也对．由此你能想到复数的几何表示方法吗？ 回答：因为任何一个复数z=a+bi都可以由一个有序数对（a，b）唯一确定，并且任给一个复数也可以唯一确定一个有序实数对，所以复数z=a+bi与有序实数对（a，b）是一一对应的．而有序实数对（a，b）与平面直角坐标系中的点是一一对应的，所以复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应关系．如图，点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z=a+bi可用点Z（a，b）表示． 设计意图：通过类比，找出复数与有序实数对、坐标点的一一对应关系，从而找到复数的几何意义． 　这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴． 例如，复数2+3i可用点（2，3）表示，复数1-i可用点（1，-1）表示；点（-2,1）表示复数-2+i，点（-3,-2）表示复数-3-2i． 追问：你能说一说两条坐标轴上的点都代表什么数吗？ 答案：实轴上点的坐标都（a，0）的形式，所表示的复数虚部为0，都是实数，即实轴上的点都表示实数．虚轴上的点，除原点外，其他坐标都是（0，b）（b≠0）这样的形式，所表示的复数实部为0，虚部不为0，为纯虚数，所以虚轴上的点除原点外都表示纯虚数． 例如，复平面内的原点（0，0）表示实数0，实轴上的点（2，0）表示实数2，虚轴上的点（0，-1）表示纯虚数-i，点（-2，3）表示复数-2+3i等． 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．由此可知，复数集C中的数与复平面内的点建立了一一对应关系．这就是复数的一种几何意义． 设计意图：理解复数集合意义中的一一对应关系，认识复平面． 问题2：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，你能用平面向量来表示复数吗？ 答案：如图，设复平面内的点Z表示复数z=a+bi，连接OZ，显然向量由点Z唯一确定；反过来，点Z也可以由向量唯一确定．因此，复数集C中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了如下一一对应关系（实数0与零向量对应），即： 这是复数的另一种几何意义． 为了方便，我们常把复数z=a+bi说成点Z或说成向量，并且规定，相等的向量表示同一复数． 问题3：实数的绝对值和向量的模的几何意义分别是什么？通过类比，你能说出复数的模的几何意义吗？ 答案：数轴上表示数a的点到原点的距离，就叫做这个数a的绝对值．而向量的大小称为向量的长度，也称为向量的模． 类比可以得到，复数z=a+bi（a，b∈R）的模：（a，b∈R）， 从几何上来看复数z=a+bi（a，b∈R）的模表示点（a，b）到原点的距离． 设计意图：通过在复平面中寻找两个复数对应的点和向量，理解复数的几何意义，体会数形结合的思想． 三、典例应用 例1 设复数=4+3i，=4-3i． (1)在复平面内画出复数，对应的点和向量； (2)求复数，的模，并比较它们的模的大小． 解：(1)如图，复数，对应的点分别为，对应的向量分别为，， (2)， ． 所以． 问题4：点，有怎样的关系？ 答案：点，的实部相等，虚部互为相反数． 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．复数z=a+bi，那么=a-bi． 追问：若，是共轭复数，那么在复平面内它们所对应的点有怎样的关系？ 答案：若，是共轭复数，在复平面内它们所对应的点关于实轴对称． 例2 设，在复平面内对应的点为Z，那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形？ (1)|z|=1；(2)1<|z|<2． 解：(1)由|z|=1得，向量的模等于1，所以满足条件|z|=1的点Z的集合是以原点O为圆心，以1为半径的圆． (2)不等式1<|z|<2可化为不等式， 不等式|z|<2的解集是圆||z|=2的内部所有的点组成的集合，不等式的解集是圆外部所有的点组成的集合，这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条件1<|z|<2的点Z的集合，容易看出，所求的集合是以原点O为圆心，以1及2为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界． 设计意图：加深对复数几何意义的理解． 四、梳理小结
板书设计 1.复平面 2.复数的几何意义 3.复数的模 4.例题板书
作业设计 （精准作业）7.1.2复数的几何意义
教学反思 拓展的例题不足； 2、学生主体性体现不到位.
　

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