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23.1图形的旋转知识梳理及培优训练人教版2024—2025学年九年级上册
【知识梳理】作旋转后的图形的一般步骤
（1）明确三个条件：旋转中心，旋转方向，旋转角度；
（2）确定关键点，作出关键点旋转后的对应点；
（3）顺次连结。
★点的旋转：
举例：画出点P绕点O顺（或逆）时针旋转30°（或45°、 60° ）后的对应点.
★线段的旋转：
举例：画出线段AB绕点A（或点B、点O）顺（或逆）时针旋转30° （或45°、 60° ）后的图形.
★三角形的旋转：
举例：画出△ABC绕点C逆（或顺）时针旋转90°（或180 ° ）后的图形.
★其它图形的旋转：
【例题讲解】
★以等边三角形为背景的旋转问题
例1： 如图，△BCM中，∠BMC＝120°，以BC为边向三角形外作等边△ABC，把△ABM绕着点A按逆时针方向旋转60°到△CAN的位置.若BM＝2，MC＝3.
求：①∠ AMB的度数；②求AM的长.
例2.如图，已知△ABC为等边三角形，M为三角形外任意一点，证明：AM≤BM+CM.
例3.已知：如图，P为等边三角形ABC内一点，PA=3，PB=4，PC=5,求∠ABP的度数.
★以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转问题
例1：已知，△ABC中, AD⊥BC于D, 且AD=BD,O是AD上一点，OD=CD,连结BO并延长交AC于E.求证：AC=OB
例2：如图，在边长为1的正方形ABCD中，∠EDF=45°，求△DEF的周长.
例3：如图，D为等腰直角三角形ABC的斜边BC上一点，求证：
★以一般等腰三角形为背景的旋转问题
例1:(1)如图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，求证：BQ=CP.
(2)将点P移到等腰三角形ABC之外，(1)中的条件不变， “BQ=CP”还 成立吗？
例2：在等腰△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内一点，
∠ADB＝ ∠ADC，求证： ∠DBC＝ ∠DCB.
【归纳小结】
（一）正三角形类型
在正ΔABC中，P为ΔABC内一点，将ΔABP绕A点按逆时针方向旋转600，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图（1-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（1-1-b）中的一个ΔP'CP中，此时ΔP'AP也为正三角形。
练习1.如图：（1-1）：设P是等边ΔABC内的一点，PA=3， PB=4，PC=5，∠APB的度数是________.
（二）正方形类型
在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ΔABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图（2-1-a）中的PA、PB、PC三条线段集中于图（2-1-b）中的ΔCPP'中，此时ΔBPP' 为等腰直角三角形。
练习2.如图（2-1）：P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离 分别为PA=1，PB=2，PC=3。求此正方形ABCD面积。
（三）等腰直角三角形类型
在等腰直角三角形ΔABC中， ∠C=Rt∠ , P为ΔABC内一点，将ΔAPC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变化，在图（3-1-b）中的一个ΔP' CP为等腰直角三角形。

练习3．如图，在ΔABC中，∠ ACB =900，BC=AC，P为ΔABC内一点，且PA=3，PB=1，PC=2。求∠ BPC的度数。
【能力提升】
如图等边△ABC内有一点O，试说明：OA+OB>OC．

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