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24.1.2垂直于弦的直径专题练习人教版2024—2025学年九年级上册
【情景引入】按下面的步骤做一做：
第一步，在一张纸上任意画一个⊙O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；
第二步，得到一条折痕CD；
第三步，在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点M是两条折痕的交点，即垂足；
第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1．
图1 图2
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧 为什么？
【总结归纳】
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧；
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
【例题讲解】
作弦心距+用勾股定理
思考：如图，为的直径，弦于点，已知，，则的半径为　　 ．
例1.如图，是的直径，，点是的中点，过点的直线与交于、两点．若，求弦的长．
例2.如图，所在圆的圆心是点O，过O作OC⊥AB于点D，若CD=4 m，弦AB=16 m，求此圆的半径．
例3.如图，已知，请你利用尺规作图的方法作出的中点，说出你的作法．
例4．如图，某条河上有一座圆弧形拱桥ACB，桥下面水面宽度AB为7．2米，桥的最高处点C离水面的高度2．4米．现在有一艘宽3米，船舱顶部为方形并高出水面2米的货船要经过这里，问：这艘船是否能够通过这座拱桥？说明理由．
例5．银川市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶部距离为10 cm，问修理人员应准备内径多大的管道
弧中点→连半径，得垂径
思考： 如图，是的弦，是的中点，你能得到那些结论
例1.如图，⊙P中，点B为优弧AF的中点，点C在劣弧AF上，CE⊥PC交AF于E，求证：EC=ED
例2.如图，为直径，为弧的中点，于，若，，求的半径．
例3.如图，，，，是半径为1的上按逆时针方向排列的四个动点，，当时，求的取值范围；
【巩固练习】
1.在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.
2.在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm.
3.已知：在⊙中，弦，点到的距离等于的一半，求：的度数和圆的半径.
4.如图，已知在⊙中，弦，且，垂足为，于，于.
（1）求证：四边形是正方形.
（2）若，，求圆心到弦和的距离.
5.如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.
6.已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长．
7.在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.
8.如图所示，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知，AE＝6cm，EB＝2cm，∠CEA＝300，求CD的长。
9.如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝900，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，求AB和AD的长。
【当堂检测】
一、填空题
1.过⊙O内一点P的最长弦为10cm，最短的弦为6cm，则OP的长为 .
2.在⊙中，弦长为，圆心到弦的距离为，则⊙半径长为
3．半径是的圆中，圆心到长的弦的距离是
4. 圆的两互相平行的弦长分别和，又两弦之间距离为，则圆的半径长是
5. 在半径为的圆内有两条互相平行的弦，弦长分别为、，则这两条弦之间的距离为________
6．如图，有一圆弧形桥拱，拱形的半径，桥拱的距度m，则拱高m.
7．一水平放置的圆柱型水管的横截面如图所示，如果水管横截面的半径是13cm，水面宽，则水管中水深是_______cm.

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