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24.1.4圆周角知识梳理及培优练习人教版2024—2025学年九年级上册
【知识梳理】
1.圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角 ， ， 。
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，
即：①；②；
③；④ 弧弧
2.圆周角定理
圆周角定理： 。
即：∵和是弧所对的圆心角和圆周角
∴
3.圆周角定理的推论：
推论1： 所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；
推论2：半圆或直径所对的圆周角是 ；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是 。
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
4.圆内接四边形
圆的内接四边形定理：
一、经典考题赏析
例1.如图，内接于，AB=BC，,AD为的直径，AD=6，那么BD=
变式题组：
1.如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O是小正方形的顶点，的半径为1，P是上的点，且位于右上方的小正方形内，则= 。
2.如图，已知点E是上的点，B、C分别是劣弧AD上的三等分点，，则的度数为 。
3.如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是、，则的度数为 。
例2.如图，A、B、C、D为的四等分点，动点P从圆心O出发，沿O—C—D—O路线作匀速运动。设运动时间为，，则下列图象中表示y与t之间函数关系最恰当的是（ ）
变式题组：
4.如图所示，在内有折线OABC，其中OA=8,AB=12,,则BC的长为（ ）
A.19 B.16 C.18 D.20
5.如图，AB是的直径，点C、D在上，，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
6.如图，AB为的直径，CD为的弦，，则 。
例3.如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（　　）
变式题组：
1.如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD= 度．
2.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD交BD于点E，⊙O的半径为4，
∠BAD=60°，∠BCA=15°，则AE=
例4.如图，AB为的直径，C为弧BD的中点，,垂足为E，BD交CE于点F。
（1）求证：CF=BF
（2）若AD=2，的半径是3，求BC的长。
变式题组：
7.如图，在中，cm.
（1）求BAC的度数；（2）求的周长
8.如图，是的外接圆，与的平分线相交于点I，延长AI交于点D，连接BD、CD。
求证：
9.如图，已知点A、B、C、D顺次在上，AB=BD，于M，
求证：
二、演练巩固，反馈提高
1.如图，是的外接圆，已知，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
2.如图，的半径为1，AB为的一条弦，且，则弦AB所对圆周角的度数为（ ）
A. B. C.或 D.或
3.如图，是正三角形ABC的外接圆，点P在劣弧AB上，，则的度数为 。
4.如图，是正方形ABCD的外接圆,点P在上，等于（ ）
A. B. C. D．
5.如图的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则AC、BD所夹的锐角= 。
6.中，，为锐角，CD为AB边上的高，I为的内切圆的圆心，则的度数是（ ）
A. B． C． D.
7.如图，内接于，连接OA、OB，若,则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，是的内接三角形，点D是的中点，已知，。则的度数是 .
9.如图，A、D是上的两个点，BC是直径，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
10.如图，如图，MN是半径为1的的直径，点A在上，，B为的中点，P是直径MN上一动点，则的最小值是（ ）
A. B. C.1 D.2
11.如图，点A、B、C是上的三点，。
（1）求证：AC平分;
（2）过点O作于点E，交AC于点P。若AB=2，，求PE的长。

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