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学 科 数学 年 级 七年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 下册、第8章
课标要求 【内容要求】（1）了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，了解实数与数轴上的点一一对应。（2）能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小。（3）能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数和绝对值。（4）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根。（5）了解乘方与开方互为逆运算，会用平方运算求百以内完全平方数的平方根，会用立方运算求千以内完全立方数（及对应的负整数）的立方根，会用计算器计算平方根和立方根。（6）能用有理数估计一个无理数的大致范围。（7）了解近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算。【学业要求】了解无理数和实数，知道实数由有理数和无理数组成，感悟数的扩充；初步认识实数与数轴上的点具有一一对应关系，能用数轴上的点表示一些具体的实数，能比较实数的大小；能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求实数的相反数、绝对值；知道平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示平方根、算术平方根、立方根；知道乘方与开方互为逆运算，会用乘方运算求百以内完全平方数的平方根和千以内完全立方数的立方根（及对应的负整数），会用计算器计算平方根和立方根；能用有理数估计一个无理数的大致范围；初步认识近似数，在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，会按问题的要求进行简单的近似计算，会对结果取近似值。
内容分析 本章主要内容：（1）平方根；（2）立方根；（3）实数及其简单运算。本章内容属于“数与代数”领域。有关数的内容，学生在七年级上册已经系统地学过有理数，对有理数的概念和运算等有了较深的认识。本章是在有理数的基础上学习实数的初步知识，本章很多内容是有理数相关内容的延续和推广，因此，编写时注意了加强知识间的相互联系，突出类比的作用，使学生更好的体会数的扩充过程中表现出来的概念、运算等的一致性和发展变化。本章前两节“平方根”“立方根”在内容和展开方式上是基本平行的，因此，编写“立方根”时充分利用了类比的方法，通过类比“平方根”展开“立方根”的内容。这样的编写方法，有助于加强知识间的相互联系，通过类比已学的知识学习新知识，使学生的学习形成正迁移。
学情分析 七年级学生在思维上正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维的过渡阶段。他们对有理数的概念和运算有了较深的认识，但对无理数这一抽象概念的理解可能存在一定的困难。因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和形象的教学手段，逐步建立起学生对实数的抽象概念。学生的学习习惯上，已经具备了一定的独立思考和自主探究能力，但在合作交流方面可能还需要进一步的引导。此外，学生的运算水平有所提高，但在推理能力和数感方面仍有待加强。
单元目标 教学目标1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会有根号表示数的算术平方根、平方根、立方根；2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求百以内整数的平方根，会用立方运算求百以内整数（对应的负整数）的立方根，会用计算器求平方根和立方根；3.了解开方和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值；4.能用有理数估计一个无理数的大致范围.(二)教学重点、难点教学重点:算术平方根、平方根的概念、求法及实数的概念。教学难点:平方根与实数的概念。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架

（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数8.1平方根3课时8.2立方根2课时8.3实数及其简单运用2课时
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务8.1.1平方根1.了解平方根的概念，并理解平方与开平方的关系；2.知道平方根的性质，会用符号表示平方根，会求非负数的平方根.1.了解平方根的概念2.理解平方与开平方的关系3.知道平方根的性质，会用符号表示平方根4.会求非负数的平方根.任务一：以实际问题为背景，引出新课任务二：平方根的定义和计算任务三：平方根的特征与表示8.1.2算数平方根1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根；2.了解算术平方根的非负性；3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.1.了解算术平方根的概念，会表示正数的算术平方根2.了解算术平方根的非负性；3.掌握算术平方根的估算，初步体会无限不循环小数.任务一：通过实例，引出新课任务二：算数平方根的定义及性质任务三：算数平方根的估算8.1.3用计算器求一个正数的算数平方根1.会用计算器求算术平方根.2.能用计算器探求数学规律.3.能利用算术平方根解决实际问题.1.会用计算器求算术平方根2.能用计算器探求数学规律3.能利用算术平方根解决实际问题任务一：由算盘到计算器，感受科技的进步任务二：用计算器求算数平方根任务三：算数平方根的实际应用8.2.1立方根1.了解立方根的概念.2.知道立方根的性质，知道平方根与立方根的联系与区别.3.会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根.1.了解立方根的概念2.知道立方根的性质，知道平方根与立方根的联系与区别3.会用根号表示一个数的立方根，能用开立方运算求某些数的立方根任务一：复习平方根的知识任务二：立方根任务三：立方根的性质任务四：立方根的表示8.2.2立方根的估算与用计算器求立方根1.了解互为相反数的两个数的立方根的关系.2.学会用计算器计算各数的立方根或立方根的近似值.1.了解互为相反数的两个数的立方根的关系2.会用计算器计算各数的立方根或立方根的近似值任务一：复习立方根的内容任务二：相反数的立方根任务三：用计算器求立方根8.3.1实数的概念及分类1.了解无理数和实数，能将实数按要求进行分类;2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小.1.了解无理数的概念及相关内容2.了解实数的概念，能将实数按要求进行分类3.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，4.能比较实数的大小.任务一：回忆有理数的概念及分类，为学习实数做铺垫任务二：无理数的概念任务三：实数的概念及分类任务四：实数与数轴上点的关系8.3.2实数的性质及运算1．能求实数的相反数与绝对值.2．能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.3．能用计算器进行近似计算，会对结果取近似值.1．能求实数的相反数与绝对值2．能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用3．能用计算器进行近似计算，会对结果取近似值任务一：回顾有理数的相关概念和运算，进入实数的学习任务二：实数的相反数与绝对值任务三：实数的运算
《第8章 》实数 大单元教学设计
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（人教版）七年级
下
8.3.2实数的性质及运算
实数
第8章
“八”
教学目标
01
新知导入
02
新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
作业布置
06
目录
07
内容总览
教学目标
1．能求实数的相反数与绝对值.
2．能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用.
3．能用计算器进行近似计算，会对结果取近似值.
新知导入
(1) 2的相反数是_______；-2的相反数是_______；
(2) |3|=_______；|-3|=_______。
-2
2
3
3
思考：无理数也有相反数和绝对值吗？怎么表示呢？
新知讲解
任务一：实数的相反数与绝对值
思考:
(1)相反数是_____，-π的相反数是_____，0的相反数是_____；
(2)||=_____，|-π|=_____，|0|=_____.
π
0
π
0
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数。
新知讲解
一般地，对于实数，同样有
数a的相反数是-a.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
即设a表示任意一个实数，则
|a|=
　一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离．
新知讲解
实数的常用性质：
相反数：若a与b互为相反数，则a+b=0.
倒数：若a与b互为倒数，则ab=1.
绝对值：任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0.
互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|.
平方根：非负数都有平方根.
立方根：任意实数都有立方根.
新知讲解
例1 (1)分别写出 -，π - 3.14 的相反数；
(2)指出-，分别是什么数的相反数；
解:(1)因为-(-)=， -(π-3.14)=3.14-π，
所以-，π-3.14的相反数分别为，3.14-π.
(2)因为-()=-，-(-1)=1-，
所以-，1-分别是， -1的相反数.
新知讲解
例1 (3)求的绝对值；
(4)已知一个数的绝对值是，求这个数.
解:(3)因为==4，
所以||=|4|=4.
(4)因为||= ，||= ，
所以绝对值为的数是或.
新知讲解
实数之间不仅可以进行加、减、乘、除 （除数不为０）、乘方运算，而且正数及０可以进行开平方运算， 任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
任务二：实数的运算
随着数的范围进一步扩充，负数也将可以进行开方运算。
新知讲解
例2 计算：
(1)(+ )-； (2)+.
解:(1)(+ )-
= +()(加法结合律)
= +0
= ；
(2)+
= ((分配律)
=5.
在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入.
新知讲解
新知讲解
例3 计算(结果保留小数点后两位):
(1) - ； (2)π·.
解:(1) - ≈2.236-2.646=-0.41；
(2)π·≈ 3.142×1.442≈4.53.
在近似计算时，计算过程中有时也使用“去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入。
新知讲解
在进行实数运算的过程中，要做到：
一“看”——看算式的结构特点，能否运用运算律或公式；
二“用”——运用运算律或公式；
三“查”——检查过程和结果是否正确.
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
1.－|－|的值为( )
A． B．－ C．± D．2
B
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个数中，绝对值最大的是 .
a
3.求下列各数的相反数和绝对值：
(1)－；　 (2)；　 (3)－2； 　(4).
【知识技能类作业】必做题：
课堂练习
解：(1)－的相反数是 ，绝对值是 ，
(2)的相反数是－，绝对值是 .
(3) －2的相反数是2－，绝对值是2－.
(4) 的相反数是－，绝对值是 .
4.已知数轴上表示 ，π的点分别为A，B，A是BC的中点，则点C表示的数是（　　）
A. －π B. π－ C. 2 －π D. π－2
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
C
【知识技能类作业】选做题：
课堂练习
5. 已知a是小于3＋ 的整数，且｜2－a｜＝a－2，则a的所有可能值是 .
2，3，4，5　
6.先阅读然后解答提出的问题：
设a，b是有理数，且满足a＋b＝3－2，求ba的值．
解：由题意得(a－3)＋(b＋2)＝0，因为a，b都是有理数，所以a－3，b＋2也是有理数，由于是无理数，所以a－3＝0，b＋2＝0，所以a＝3，b＝－2，所以ba＝(－2)3＝－8.
问题：设x，y都是有理数，且满足x2－2y＋y＝30＋3，求x＋y的值．
【综合拓展类作业】
课堂练习
【综合拓展类作业】
课堂练习
解：∵x2－2y＋y＝30＋3，
∴(x2－2y－30)＋(y－3)＝0，
∴x2－2y－30＝0，y－3＝0，
解得x＝±6，y＝3，
当x＝6，y＝3时，x＋y＝6＋3＝9，
当x＝－6，y＝3时，x＋y＝(－6)＋3＝－3，
即x＋y的值是9或－3.
课堂总结
1.实数的相反数与绝对值：
一般地，对于实数，同样有
数a的相反数是-a.
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
2.实数的运算:
在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
板书设计
1.实数的相反数与绝对值：
2.实数的运算:
课题：8.3.2实数的性质及运算
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
1.－ 的相反数是( )
A．－ B．－ C．± D.
D
【知识技能类作业】必做题：
作业布置
2．下列各式运算结果为有理数的是( )
A．2－3 B．＋
C．()3 D．0×
D　
作业布置
3.求下列各式的值：
（1） － ÷ ＋ ；
（2） ＋ ＋ ；
【知识技能类作业】必做题：
解：（1）原式=
（2）原式=－3
4.若 取1.442，则计算 －3－98 的结果是( )
A．－100 B．－144.2
C．144.2 D．－0.014 42
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
B
5. 定义一种运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝（a－1）2＋b2，那么（1＋ ）※ ＝ .
【知识技能类作业】选做题：
作业布置
5
6.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，其中，c为8的立方根，求 ＋｜b－a｜＋ －｜2b｜的值.
【综合拓展类作业】
作业布置
解：∵ c为8的立方根，
∴ c＝2.由图，易得a＜0，b－a＜0，b－c＜0，2b＜0，
∴ 原式＝｜a｜＋｜b－a｜＋｜b－c｜－｜2b｜＝－a＋a－b＋c－b＋2b＝c＝2
Thanks!
2
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分课时教学设计
《8.3.2实数的性质及运算》教学设计
课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课的内容为实数的性质及运算。本节课是在前面学习了有理数的混合运算和实数的概念和分类的基础上安排的,之前有理数的混合运算为这节课奠定了方法基础和知识基础.教材通过类比有理数的运算设置唤醒学生探究交流的激情，让学生在类比、探索、交流的过程中感悟实数的运算法则，同时让学生在学习知识技能的同时，注意数学思想方法和良好学习习惯的养成，使学生体验数学的“实践第一”和数学来源于实践，又服务于实践的思想.
学习者分析 在本课学习之前，学生们已经掌握了有理数的运算顺序和运算法则，但把知识迁移到对无理数的运算仍有难度，尤其对于合并同类二次根式是后面的知识，所以在此处讲解时应注意引导学生通过分配律的逆应用来理解，这类无理数的计算.
教学目标 1．能求实数的相反数与绝对值. 2．能进行实数的简单运算，了解有理数的运算法则在实数范围内仍然适用. 3．能用计算器进行近似计算，会对结果取近似值.
教学重点 实数的运算.
教学难点 了解有理数的运算法则和运算性质在实数范围内仍适用，能利用化简对实数进行简单的四则运算.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： (1) 2的相反数是__-2___；-2的相反数是__2___； (2) |3|=_3__；|-3|=_3__。 思考：无理数也有相反数和绝对值吗？怎么表示呢？学生活动1： 学生进行思考，积极举手回答.活动意图说明： 通过回顾有理数的相关概念和运算引导学生进入实数的学习.环节二：实数的相反数与绝对值教师活动2： 思考: (1)相反数是__-___，-π的相反数是__π_，0的相反数是__0___； (2)||=___，|-π|=__π__，|0|=__0___. 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适用于实数。 一般地，对于实数，同样有 数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 即设a表示任意一个实数，则 一个实数的绝对值就是它在数轴上的对应点与原点的距离． 实数的常用性质： 相反数：若a与b互为相反数，则a+b=0. 倒数：若a与b互为倒数，则ab=1. 绝对值：任何实数的绝对值都是非负数，即|a|≥0. 互为相反数的两个数的绝对值相等，即|a|=|-a|. 平方根：非负数都有平方根. 立方根：任意实数都有立方根. 例1 (1)分别写出 -，π - 3.14 的相反数； 指出-，分别是什么数的相反数； (3)求的绝对值； (4)已知一个数的绝对值是，求这个数. 解:(1)因为-(-)=， -(π-3.14)=3.14-π， 所以-，π-3.14的相反数分别为，3.14-π. (2)因为-()=-，-(-1)=1-， 所以-，1-分别是， -1的相反数. (3)因为==4， 所以||=|4|=4. (4)因为||= ，||= ， 所以绝对值为的数是或.学生活动2： 学生小组合作完成。 学生与教师一起进行总结。 学生独立完成例题，并展示答案。 活动意图说明： 类比有理数的绝对值，相反数引入，利于激发学生的学习兴趣和好奇心.学生通过计算，观察，类比，总结，归纳实数的性质和运算法则，有利于学生充分理解和牢固掌握实数的性质和运算法则.通过小组讨论，培养合作精神，让学生在探索问题的过程中，体验解决问题的方法和乐趣，增强学习兴趣.环节三：实数的运算教师活动3： 实数之间不仅可以进行加、减、乘、除 （除数不为０）、乘方运算，而且正数及０可以进行开平方运算， 任意一个实数可以进行开立方运算．在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用． 随着数的范围进一步扩充，负数也将可以进行开方运算。 例2 计算： (1)(+ )-； (2)+. 解:(1)(+ )- = +()(加法结合律) = +0 = ； (2)+ = ((分配律) =5. 在实数运算中，当遇到无理数并且需要求出计算结果的近似值时，一般先用近似有限小数(例如，比计算结果要求的精确度多取一位)去代替无理数，再进行计算，最后对计算结果四舍五入. 例3 计算(结果保留小数点后两位): (1) - ； (2)π·. 解:(1) - ≈2.236-2.646=-0.41； (2)π·≈ 3.142×1.442≈4.53. 在近似计算时，计算过程中有时也使用“去尾法”，即用近似有限小数去代替无理数时，直接舍去要保留数位的下一位数字，最后对计算结果四舍五入。 在进行实数运算的过程中，要做到： 一“看”——看算式的结构特点，能否运用运算律或公式； 二“用”——运用运算律或公式； 三“查”——检查过程和结果是否正确.学生活动3： 学生知道在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用． . 学生独立完成例题，并展示答案。 学生完成例题，理解并掌握“去尾法”。 活动意图说明： 学生能根据有理数的运算对实数进行运算，构建关于实数运算的知识体系，既有利于学生知识学习也利于方法的迁移，让学生从做题中感受实数的运算，从而更深刻地体会到有理数的运算法则及运算性质仍然成立.
板书设计 课题：8.3.2实数的性质及运算 1.实数的相反数与绝对值： 2.实数的运算:
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.－|－|的值为( B ) A． B．－ C．± D．2 2．实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个数中，绝对值最大的是 a . 3.求下列各数的相反数和绝对值： (1)－；　 (2)；　 (3)－2； 　(4). 解：(1)－的相反数是 ，绝对值是 ， (2)的相反数是－，绝对值是 . (3) －2的相反数是2－，绝对值是2－. (4) 的相反数是－，绝对值是 . 选做题： 4.已知数轴上表示 ，π的点分别为A，B，A是BC的中点，则点C表示的数是（　C　） A. －π B. π－ C. 2 －π D. π－2 5.已知a是小于3＋的整数，且｜2－a｜＝a－2，则a的所有可能值是 2，3，4，5 . 【综合拓展类作业】 6.先阅读然后解答提出的问题： 设a，b是有理数，且满足a＋b＝3－2，求ba的值． 解：由题意得(a－3)＋(b＋2)＝0，因为a，b都是有理数，所以a－3，b＋2也是有理数，由于是无理数，所以a－3＝0，b＋2＝0，所以a＝3，b＝－2，所以ba＝(－2)3＝－8. 问题：设x，y都是有理数，且满足x2－2y＋y＝30＋3，求x＋y的值． 解：∵x2－2y＋y＝30＋3， ∴(x2－2y－30)＋(y－3)＝0， ∴x2－2y－30＝0，y－3＝0， 解得x＝±6，y＝3， 当x＝6，y＝3时，x＋y＝6＋3＝9， 当x＝－6，y＝3时，x＋y＝(－6)＋3＝－3， 即x＋y的值是9或－3.
课堂总结 1.实数的相反数与绝对值： 一般地，对于实数，同样有 数a的相反数是-a. 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 2.实数的运算: 在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.－ 的相反数是( D ) A．－ B．－ C．± D. 2.下列各式运算结果为有理数的是( D ) A．2－3 B．＋ C．()3 D．0× 3.求下列各式的值： （1） － ÷ ＋ ； （2） ＋ ＋ ； 解：（1）原式= （2）原式=－3 选做题： 4.若 取1.442，则计算 －3－98 的结果是( B ) A．－100 B．－144.2 C．144.2 D．－0.014 42 5．定义一种运算：对于任意实数a，b，都有a※b＝（a－1）2＋b2，那么（1＋ ） ※ ＝ 5 . 【综合拓展类作业】 6.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，其中，c为8的立方根，求 ＋｜b－a｜＋ －｜2b｜的值. 解：∵ c为8的立方根， ∴ c＝2.由图，易得a＜0，b－a＜0，b－c＜0，2b＜0， ∴ 原式＝｜a｜＋｜b－a｜＋｜b－c｜－｜2b｜＝－a＋a－b＋c－b＋2b＝c＝2
教学反思 本节课以练习为主，讲解为辅，先提出问题，在学习的过程中边学边练，借助复习旧知类比学习新知，最后再解决问题，帮助学生形成知识的迁移，使学生体会“数由有理数扩充到实数的过程中体现出来的一致性”，为学好实数的运算打下基础.教学中，让学生通过具体的运算感知运算法则和运算律，培养学生严谨务实、一丝不苟的学习态度.在涉及用计算器求近似值时，一定要注意题目中的精确度.
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