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二次函数的图像与性质典型考点 专题练
2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1．（2023·福建三明·中考）平面直角坐标系中，抛物线与直线上有三个不同的点，，，如果，那么和的关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建莆田·中考）坐标平面上有两个二次函数的图像，其顶点、皆在轴上，且有一水平线与两图像相交于、、、四点，各点位置如图所示，若，，，则的长度是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．（2024·福建南平·中考）已知垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，则的值（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·福建福州·中考）已知点、，是二次函数图象上的两个点，若当时，随的增大而减小，则 m的值可能是（ ）
A． B． C．1 D．2
5．（2023·福建泉州·中考）已知二次函数，将该二次函数在轴下方的图象沿轴翻折到轴上方，图象的其余部分不变，得到一个新的函数图象如图所示，当直线与新图象有个交点时，的值为(　　)

A． B． C．或 D．或
6．（2024·福建·中考真题）已知二次函数的图象经过，两点，则下列判断正确的是（ ）
A．可以找到一个实数，使得 B．无论实数取什么值，都有
C．可以找到一个实数，使得 D．无论实数取什么值，都有
7．（2024·福建漳州·中考）已知抛物线（m为常数，）与x轴交于点A，B（点A在点B左边），与y轴交于点C，连接，抛物线的对称轴与交于点Q，与x轴交于点E，连接，（O为原点），下列结论中错误的是（　　）
A． B．抛物线的对称轴是直线
C．若，则 D．若与相似，则m的值为
8．（2023 ·云南昭通·中考）如图是二次函数图象的一部分，函数图象经过点，是对称轴，有下列结论：
①；
②；
③；
④．
其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．（2022·福建厦门·中考）已知点，，均在抛物线上，其中．若，则m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·四川自贡·中考真题）经过两点的抛物线（为自变量）与轴有交点，则线段长为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
11．（2024·河北邯郸·中考）已知，二次函数是常数，且的图象经过，三个点中的两个点，平移该函数的图象，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标（ ）
A．有最大值为1 B．有最大值为
C．有最小值为1 D．有最小值为
12．（2024·山西·中考）已知抛物线上某些点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：
… 0 …
… p 1 p m …
有以下几个结论：
①抛物线与轴的交点坐标是；
②抛物线的对称轴为直线；
③关于x的方程的根为和；
④当时，的取值范围是．
其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
13．（2024·湖北·中考）已知点为抛物线（为常数，）上的两点，当，时（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
14．（2023 ·湖北黄石·中考）若二次函数的图象，过不同的六点、、、、、，则、、的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
15．（2023·福建泉州·中考）已知抛物线与轴交于A，两点（点A位于点的左侧），是抛物线上的一个动点，若，则所有满足条件的点的横坐标之和是________．
16．（2023·福建宁德·中考）已知抛物线的顶点为A，交y轴于点B；抛物线的顶点为C，交y轴于点D．若，且以A，B，C，D四点为顶点的四边形为矩形，则 ．
17．（2024·福建厦门·中考）已知抛物线的顶点为点，与轴分别交于点，（点在点左侧），抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为点，若四边形为正方形，则的值为 ．
18．（2024四平·中考）已知上有和两点．若点A，B都在直线的上方，且，则m的取值范围是 ．
19．（2023·江苏无锡·中考真题）二次函数的图像与x轴交于点、，与轴交于点，过点的直线将分成两部分，这两部分是三角形或梯形，且面积相等，则的值为 ．
20．（2023·湖北武汉·中考）已知函数（为常数）的图象经过点．下列结论：①；②当时，；③若，则函数图象与轴有两个公共点；④若，则当时，随的增大而增大，其中正确的结论是 （填写序号）．
参考答案
1．C
根据题意可知，，，为直线与抛物线和直线的交点．
设，在抛物线上，在直线上．
根据题意，得
．
移项，得
．
可得
．
根据题意，得
．
可得
．
则
．
可得
．
故选：C．
2．B
本题考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由，，的长度以及根据二次函数的对称性可以知道，和，和，和横坐标的差，从而推出和的横坐标之差，得到的长度．
由、、、四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同
，，，
，
又
．
故选：B．
3．C
本题主要考查了二次函数的图象与性质，求出抛物线关于直线对称，即可作答．
∵，
∴抛物线关于对称，
∵垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，
∴，
故选：C．
4．D
解：∵点、，是二次函数图象上的两个点，
∴对称轴为直线，开口向上，
∵当时，随的增大而减小，
∴该二次函数图象的对称轴为直线或在其右侧，
∴
解得：，
只有2符合题意，
故选：D．
5．D
，令，则或，则点，二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：，联立，消去整理得：，令，求得，结合图象即可求解．
如图所示，直线在图示位置时，直线与新图象有个交点，
，令，则或，则点，
将点的坐标代入并解得：，
二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，对应的函数表达式为：，
联立，消去整理得：，
，
解得：，
当或时，直线与这个新图象有三个交点，
故选：D．
6．C
解：二次函数解析式为，
二次函数开口向上，且对称轴为，顶点坐标为，
当时，，
当时，，
，
当时，，
，
故A、B错误，不符合题意；
当时，，
由二次函数对称性可知，，
当时，，由二次函数对称性可知，，不一定大于，
故C正确符合题意；D错误，不符合题意；
故选：C．
7．C
对于抛物线，令，得到，，得到点A，B的坐标，从而判断选项A；根据抛物线的对称性及点A，B的坐标，可得抛物线的对称轴，从而判断选项B；对于抛物线，令，得到点C坐标，采用待定系数法求出直线的解析式，进而求得点Q的坐标，根据两点间的距离公式求出，的长，由求出m的值，判断选项C；由与相似得到或，分别求解得到m的值，判断选项D．
对于抛物线，令，则，
解得：，，
∵，且点A在点B左边，
∴，，
∴，，
∴．A选项正确．
∵抛物线与x轴交于点，，
∴对称轴为．B选项正确．
把代入中，得，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线过点，，
∴，解得，
∴线的解析式为，
∴把代入，得，
∴
∵，
∴，
当时，，
解得：．故C选项错误；
∵抛物线的对称轴与x轴交于点E，
∴，
∵，，
∴，，，．
∵与相似，
∴或，
当时，，
解得：或（不合题意，舍去）；
当时，，该方程无解．
故若与相似，则m的值为．D选项正确．
故选：C
8．D
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，即，所以①正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
∴当时，，
即，所以②正确；
由图形可知，当时，，
即，所以③正确；
∵，抛物线与x轴的一个交点坐标为
∴，
当时，，所以④正确；
所以正确的结论有个，
故选：D．
9．B
先证得点M(m，y3 )是该抛物线的顶点，根据点，，均在抛物线上，可知该抛物线开口向下对称轴是直线x =m，从而可以求得m的取值范围，本题得以解决
抛物线的对称轴为：，
又，
，
在对称轴上，
当时，是最小值，这与相矛盾，
此情况不存在，
当时，
，
对称轴在，点之间且靠近点，则．
即．
故选B．
10．B
解：∵抛物线的对称轴为直线
∵抛物线经过两点
∴，
即，
∴，
∵抛物线与轴有交点，
∴，
即，
即，即，
∴，，
∴，
∴，
故选：B．
11．B
解：∵在直线上，
∴点A或点B是抛物线的顶点，
∵点B、C的横坐标相同，
∴抛物线不会同时经过B、C两点，
∴该抛物线经过点A、C，
把，代入得：
，
解得：，
∴二次函数解析式为，
∵其顶点始终在直线上，
∴抛物线向左、向下平移的距离相同，
设平移后的抛物线为，
令，则，
∵，
∴平移后所得抛物线与轴交点的纵坐标有最大值为，
故选：B．
12．C
解：由表格可知该抛物线的对称轴为，故②正确；
根据对称轴可得当时，与时的值相同，均为，所以抛物线与轴的交点坐标是，故①正确；
∵与轴的交点坐标是，
∴，
由表格可知该抛物线过，
∴，解得，
∴抛物线方程为：，
令，解得或，
∴的根为和，故③正确；
∵，中，
∴该抛物线开口向下，
∴当时，的取值范围是或，故④错误；
综上①②③是正确的，
∴正确的个数有3个，
故选：C．
13．D
解：由（a为常数，）知，其开口向上，对称轴为，
当时，，且，,则，
A．当时，，则点A、B均为对称轴的右侧，故，
故A错误，不符合题意；
B．若，则点A、B在对称轴异侧或左侧，
当A、B在对称轴异侧时，则，解得：；
当A、B在对称轴左侧时，则，解得：，
综上，，故B错误，不符合题意；
C．当时，则，此时，
∴，
故C错误，不符合题意；
D．当时，，，
则点A、B在对称轴异侧或右侧，
当A、B在对称轴异侧时，则，解得：；
当A、B在对称轴右侧时，则，
综上，，则正确；故D正确，符合题意；
故选：D．
14．C
解：根据题意，把点、、代入，则，
消去c，得，整理得
∴抛物线的对称轴为直线，
∴关于对称轴的对称的点坐标为
∵
∴由函数的图象与性质可知，当时，y随着x的增大而减小
∴
故选C．
15．6
解：设，，
∵抛物线与轴交于A，两点（点A位于点的左侧），
∴，，
∴，
设，则．
∵，
∴，
解得，
当时，，解得或；
当时，，解得或．
∴符合题意的点的坐标为或或或，共有4个不同的点，
∴所有满足条件的点横坐标之和为6．
故答案为：6.
16．
解：由题意可得，
当时，，当时，，
∴，，
当时，，当时，，
∴，，，
∴该四边形是、作对角线，
∵四边形为矩形，，
∴，即：，
化简得：，
解得，（不符合题意，舍去），
故答案为：．
17．/0.5
本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图象与几何变换，正方形的性质，关键是解方程求出，，，坐标．
根据抛物线：求出顶点的坐标，再令，解方程求出，坐标，得出，再根据抛物线与抛物线关于轴对称，求出顶点的坐标，然后根据正方形得到列出关于的方程，解方程求出的值．
解：抛物线的顶点为点，
，
抛物线与轴分别交于点，（点在点左侧），
，抛物线开口向上，
当时，，
整理得：，
解得，
点在点左侧，
，，
，
抛物线与抛物线关于轴对称，顶点为，
，
，
∵四边形是正方形，
∴，
则，
，
经检验，是方程的解，也符合题意，
故答案为：．
18．
根据题意列出不等式组求解即可．
解：把点代入得：，
把点代入得：，
∵点A，B都在直线的上方，且，
∴，整理得：，
令，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：或0，
画出的函数图象如图所示，
由图可知：当时，，
当或时，，
综上：m的取值范围．
19．或或
解：由，令，解得：，令，解得：，
∴，，，
设直线解析式为，
∴
解得：
∴直线解析式为，当时，，则直线与y轴交于，
∵，
∴，
∴点必在内部．
1）、当分成两个三角形时，直线必过三角形一个顶点，平分面积，必为中线
设直线的解析式为
∴
解得：
则直线的解析式为
①如图1，直线过中点，，
中点坐标为，代入直线求得，不成立；

②如图2，直线过中点，直线解析式为，中点坐标为，待入直线求得；
③如图3，直线过中点，中点坐标为，
直线与轴平行，必不成立；
2）、当分成三角形和梯形时，过点的直线必与一边平行，所以必有型相似，因为平分面积，所以相似比为．
④如图4，直线，
∴
∴，
∴，
解得；

⑤如图5，直线，，则
∴，又，
∴，
∵，
∴不成立；
⑥如图6，直线，同理可得，
∴，，，
∴，解得；
综上所述，或或．
20．①②③④
∵抛物线与x轴的交点为，
∴，000
∴，故①正确，
由①可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确，
令，则，
，
∵
∴，
∴若，则函数图象与轴有两个公共点，即选项③正确，
设，是方程的两个实数根，则，
当时，则，
∵点抛物线与x轴的一个交点，
∴令，则，
∵，
∴，
∵
∴抛物线开口向下，
∴若，则当时，随的增大而增大，即选项④正确．
故答案为：①②③④．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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