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y=ax +bx+c的图象与性质 抛物线与x轴的交点问题热点考点选择题 归类练 2025年中考数学一轮复习备考
一、单选题
1．已知二次函数的图象与轴交于点，其对称轴与轴交于点，当、之间的距离最小时，下列选项中关于该二次函数的结论正确的是（ ）
A．该二次函数的最小值为 B．图象与轴的另一个交点是
C．图象的顶点位于第四象限 D．图象不经过第三象限
2．若抛物线与y轴交于点，则c的值为（ ）
A．3 B． C． D．5
3．抛物线与轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
4．抛物线与y轴的交点为（ ）
A． B． C． D．
5．二次函数与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，二次函数的图像与x轴交于，两点，其对称轴经过点，下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．
C．方程 有两个实数根
D．二次函数 的顶点坐标为
7．抛物线的对称轴为，与轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，其部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．当时，
C．
D．关于的方程有两个不等的实数根
8．如图，抛物线交x轴于点和，交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个命题是真命题的是（ ）
A．当时，
B．若，则
C．当时y有最大值
D．抛物线上有两点和，若，且，则
9．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为直线，有以下结论，其中结论正确的是（ ）
A．
B．
C．若点，，均在函数图象上，则
D．对于任意实数m，都有
10．已知抛物线（a、b、c为常数，）经过点，，其对称轴在y轴左侧，下列结论中，错误的是（ ）
A． B．方程没有实数根
C． D．
11．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，，，与y轴交点C的纵坐标在之间（不包含3和4），如图，根据图象判断以下结论中不正确的是（ ）
A．
B．
C．抛物线的顶点坐标为
D．若，则
12．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，顶点坐标为，有以下结论：①；②；③若点，，，均在函数图象上，则；④对于任意m都有；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得，则a的范围为．其中结论正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
13．如图，二次函数的图象与x轴交于两点，，其中．以下四个结论：①；②；③；④，正确的是（ ）
A．①③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
参考答案
1．A
此题考查了二次函数的图象和性质，求出点，，得到，当时，、之间的距离最小，此时，进一步即可判断各选项，得到答案．
解：当时，，
对称轴为直线，
∴点，，
∴，
当时，、之间的距离最小，此时，
即最小值为，故选项A正确，
当时，，解得，
∴图象与轴的另一个交点是，故选项B错误，
∵开口向上，与y轴交于点，顶点为，位于第三象限，故选项C不正确，
∴图象经过第三象限，故选项D错误．
故选：A
2．C
本题主要考查二次函数的图象与性质，令，求出的值即可．
解：∵，
∴当时，，
∴，
故选：C
3．D
本题考查了抛物线与坐标轴的交点问题，把代入函数解析式求出的值即可求解，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
解：当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标为，
故选：．
4．B
本题考查了二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握抛物线与y轴交点的横坐标为0是解题的关键．
求出当时y的值，即可得出抛物线与y轴的交点坐标．
解：在中，
当时，，
∴抛物线与轴交点的坐标是，
故选：B．
5．A
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由二次函数得，当时，，从而求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
解：由二次函数，当时，，
∴与轴的交点坐标是，
故选：．
6．D
本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键；
根据二次函数的图像和性质即可求解；
解：A、当时，根据函数图象可得：；
故该选项错误；
B、∵对称轴经过点，
∴，
故该选项错误；
C、二次函数的图像与x轴交于，两点，
将，代入中，
可得：，
解得：，
函数解析式为：
将代入，
可得：，
即，
，，，
，故方程没有实数根，
该选项错误；
D、，故二次函数 的顶点坐标为，
该选项正确；
故选：D
7．C
由抛物线的对称轴是直线，据此即可判断结论C；根据轴对称的性质及中点坐标公式，可求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，据此即可判断结论A；由一元二次方程根与系数的关系可得，解得，进而可得抛物线开口向下，利用图象法解一元二次不等式，据此即可判断结论B；代入、、的值将方程变形为，利用因式分解法解一元二次方程，据此即可判断结论D；综上，即可得出答案．
解：∵抛物线的对称轴是直线，
∴对称轴为直线，
∴，故结论C错误；
∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为，与y轴交于点，，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，，
∴抛物线与x轴有两个不同交点，的两个根为，，
∴，，
解得：，
∴抛物线开口向下，
∴当时，，故结论A，结论B正确；
∵，
∴方程变形为，
∵，，
∴，
∴方程变形为，
解得：，，故结论D正确；
8．D
本题考查了判断命题真假，二次函数的图象性质．解题关键是熟练掌握二次函数的图象性质．
利用抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对A进行判断；先求出抛物线的对称轴，然后利用抛物线的对称性可对B进行判断；根据顶点式判定当时，y的最大值对C进行判断；先求出抛物线的对称轴方程，然后比较点P和Q到对称轴的距离大小，则根据二次函数的大小可对D进行判断．
解：A、由图象可得，当时，；当时，，所以原命题是假命题，故此选项不符合题意；
B、抛物线的对称轴为直线，当时，则，即，所以原命题是假命题，故此选项不符合题意；
C、抛物线的图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，所以当时y有最大值，所以原命题是假命题，故此选项不符合题意；
D、抛物线的对称轴为直线，当时，则点P、Q在对称轴的两旁，又因为，所以点Q离对称轴较远，所以，所以命题是真命题，故此选项符合题意；
故选：D．
9．D
本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练运用二次函数的图象与性质是解题关键．该二次函数的图象的对称轴为，则，由图象可知，，即可判断A；根据图象可知，当时，，即可判断B；根据抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，即可判断C，根据时函数取得最小值，即可判断D，即可求解．
解：A、∵根据题意，该二次函数的图象的对称轴为，
∴，
∴，
由图象可知，，
∴，
∴，故A不正确；
B、根据图象可知，当时，，故B不正确；
C、∵抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，值越大，
又∵，
∴，故C不正确；
D、∵时函数取得最小值，
∴，
∴，故D正确
故选：D．
10．B
根据抛物线的开口向下，对称轴，抛物线与坐标轴的交点，函数的增减性，利用数形结合思想，计算判断即可．
本题考查了抛物线的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
解：∵抛物线的对称轴在y轴的左侧，
∴对称轴为直线，
∵抛物线（a、b、c为常数，）经过点，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
当时，，解得，此时无解；
当时，，解得，此时取值范围为，
∴，，
∴，
故A，C选项都正确；
∵抛物线开口向下，与x轴的一个交点坐标为，且在对称轴的右侧，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∵，且当时，，
∴，
∴，
故D选项正确；
∵，
∴方程，
∵抛物线开口向下，且经过点，
∴抛物线分布在四个象限中，
∴当时，与抛物线一定有两个不同的交点，
∴方程有实数根，
故B选项错误．
故选：B．
11．C
本题考查的是二次函数的图象与性质，先求解抛物线为，可得，，再进一步结合抛物线的开口方向，对称轴方程，与y轴交点C的纵坐标在之间，再逐一分析判断即可.
解：∵抛物线与x轴交于A，B两点，，，
设抛物线的解析式为，
∴，，
∴，由图象知，
∴，
∴，故选项A正确；
当时，，
∴点C的坐标为，
∵点C的纵坐标在之间，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，故选项B正确；
∵，
∴抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线的顶点为，
∵，，
∴，，
∴，
∴顶点坐标为，故选项C不正确；
∵，
∴，
∴对于函数，当时的函数值大于当时的函数值，
∵，抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
∴，
∴，
∴，故选项D正确，
故选：C．
12．B
本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据抛物线开口方向可判断a的取值范围，由对称轴的位置及a的符号可判断b的符合，由抛物线与y轴交点位置可判断c的符号，从而可判断①错误；由图象过 及对称轴可判断②正确；由抛物线开口向上，离对称轴水平距离越大，y越大，可判断③正确；根据函数开口向上，在对称轴处有最小值，即可判断④正确；由M，N到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于时，在x轴下方的抛物线上存在点P，使得，即，得可判断⑤正确．
解：∵函数开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，，
∵顶点坐标为，即对称轴为直线，
，
，
，故①错误；
由图可知，当时，，
，即，故②正确；
抛物线开口向上，
∴离对称轴距离越大，y越大，
又∵，，，
∴；故③正确；
∵函数开口向上，
∴在对称轴处函数有最小值，
∴，即故④正确；
由题意可知：M，N到对称轴的距离为，
当抛物线的顶点到x轴的距离刚好等于时，此时顶点与M、N两个点恰好构成等腰直角三角形，
∴当抛物线的顶点到x轴的距离大于等于时在x轴下方的抛物线上存在点P，使得，
∴，
把代入解析式得，
∴，
，
，
解得：，故⑤正确；
故选：B．
13．C
本题主要考查了二次函数图象与其系数的关系，二次函数的性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，根据抛物线的开口方向、对称轴的位置、与y轴的交点可依次确定a、b、c的符号，进而可判断①；根据当时，，即即可判断②；根据当，，整理即可判断③；根据抛物线经过，可得，再由对称轴的位置可得，利用不等式变形即可判断④．
解：①∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴在轴的右侧，
∴，
∴，
∵抛物线与轴的交点在轴上方，
∴，
∴，故①正确；
②由图可知：当时，，即，
∴，故②错误；
③∵由题意可得：，，
∴，即，
又∵，当时，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，故③正确；
④∵抛物线经过，
∴将代入得：，
∴，
∵，当时，，
∴
∴，
∵，故④正确，
∴正确的有①③④，
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