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18.2.2菱形培优训练人教版2024—2025学年八年级下册
一、知识梳理 班级： 姓名：
1.如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A．∠ADB＝∠CDB B．AC＝BD
C．AC⊥BD D．AB＝AD
第1题图 第2题图 第3题图 第4题图
2.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ ）
A．AB＝AC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．BE平分∠ABC
3.如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB，CD上，且AM＝CN，MN与AC交于点O，连接BO．若∠DAC＝28°，则∠OBC的度数为 ．
4.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AD，CD边的中点，连接EF，若EF＝，BD＝2，则菱形ABCD的面积为 ．
5.如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8，E为AB的中点，
若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为 ．
二、典型例题
例1.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，DH⊥AB于H，连接OH，求证：∠DHO=∠DCO．
例2.在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．
（1）求证：△AEF≌△DEB；
（2）证明四边形ADCF是菱形；
（3）若AC=3，AB=4，求菱形ADCF的面积．
例3.如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合．
（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；
（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．
例4.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．
三、巩固练习
1.下列说法正确的是（ ）
A．对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线互相平分的四边形是菱形
C．菱形的对角线相等且互相平分 D．菱形的对角线互相垂直且平分
2．如图，在平行四边形ABCD中，AC平分∠DAB，AB=2，则平行四边形ABCD的周长为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．12
第2题图 第3题图 第4题图
3．如图，已知四边形ABCD的四边都相等，等边△AEF的顶点E、F分别在BC、CD上，且AE=AB，则∠C=（ ）
A．100° B．105° C．110° D．120°
4．如图，将两条宽度都为3的纸条重叠在一起，使∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积为 ．
5．一个平行四边形的一条边长为3，两条对角线的长分别为4和2，则它的面积为 ．
6．如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2= ．
第6题图 第7题图
7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BC交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD=DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①OG=AB； ②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S四边形CDGF＞S△ABF； ④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
8．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥DC，AB=DC，E，F，M，N分别是AD，BC，BD，AC的中点．猜想EF与MN的关系，并证明．
9．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．
（1）求证：BD=DF；
（2）求证：四边形BDFG为菱形；
（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．
10．已知：∠1=∠2，3=∠4，过点P作PD∥BC交直线AB于点D，交直线AC于点H，PK∥AC交直线BC于点K，请你解答下列问题：
（1）如图1，求证：BD=DH﹣PK；
（2）如图2、3，DH、PK、BD又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不需要证明；
（3）在（1）（2）的条件下，若DB=10，CH=4，则DH= ．
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