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2.1.2 无理数
——新授课
一、教材分析
本节主要学习算术平方根的估算方法（如夹逼法），并引入无理数的概念。本节内容位于“实数”章节中，是衔接有理数与无理数的关键环节，为后续学习实数分类、根式运算及几何应用（如勾股定理）奠定基础。
二、学情分析
1.知识储备：
已掌握算术平方根的基本概念，但对非完全平方数的估算方法（如夹逼法）缺乏经验，且学生对“无限不循环小数”的理解较抽象，可能误认为所有小数都是分数。
2.能力水平：具备初步的代数计算能力，但估算技巧不足，难以灵活调整估算精度。
3.学习心理：对估算的繁琐步骤易失去耐心，对抽象概念（如无理数）感到困惑。
三、教学目标
1.掌握算术平方根的估算方法（夹逼法），能估算非完全平方数的近似值。
2.理解无理数的定义，能判断常见数是否属于无理数。
3.会用计算器求算术平方根。
4.感受数学估算的严谨性与灵活性，激发探索兴趣。
四、重点难点
重点:算术平方根的估算方法和理解“无限不循环小数”的本质特征。
难点:根据精度要求调整估算范围和从“无限不循环”特征理解无理数与有理数的区别别。
五、教学方法
讲授法、练习法、问答法
六、教学过程
一、问题导入
【问题】已知该正方形的面积为2，它的边长为多少？
∵=2，
∴该正方形的边长为。
思考：是一个什么样的数呢？你能求出它的一个大致范围吗？
二、探究新知
【思考】观察下列结果：
12 = 1， 22 = 4；
1.42 = 1.96 1.52 = 2.25
1.412 = 1.9881 1.422 = 2.0164
1 .414 =1.999396， 1.415 =2.002225;
1.4142 =1.99996164， 1.4143 =2.00024449;
… …
(1)分别根据上述结果,估计2的算术平方根的大致范围;
(2)若将写成一个小数,则它是一个怎样的小数
解：（1）由于12<2，2<22，所以1<<2.
由于1.42<2<1.52，所以1.4<<1.5.
同理可得，1.41<<1.42，
1.414<<1.415，1.4142<<1.4143.
（2）若将 写成一个小数，则由(1)可以猜测它应该比 1.4142 大，比 1.4143 小，且是一个小数点后面的位数不断增加的小数.
【定义】事实上， = 1.414213562··· ，是一个无限不循环小数，不可写成分数的形式，从而它不是一个有理数.像这样，若一个数是一个无限不循环小数或可以表示成一个无限不循环小数，则把这个数叫作无理数.
无理数分为正无理数和负无理数.
【议一议】下面的说法正确吗 如果不正确，请说明理由.
(1) 无限小数都是有理数； (2) 无理数都是无限小数；
(3) 带根号的数都是无理数； (4) 无理数都是带根号的数.
解：(1) 不正确. 如π，是一个无限不循环小数，属于无理数；
(2)正确.无理数都是无限不循环小数，无限循环小数是有理数；
(3)不正确.如=2 属于有理数.
(4)不正确.如π是无理数，它不带根号.
无理数的三种常见形式：
1.开方开不尽的数，如，，，。
2.含有π的一类数，如2π，π+1，。
3.以无限不循环小数的形式出现的具有特定结构的数，如0.1010010001（相邻两个1之间0的个数逐次加1）
【牛刀小试】在3.14,,4π,,,0.12345…中,无理数有(　 )
A.2个　　　 B.3个　　　 C.4个　　　 D.5个
【思考】怎么用小数近似地表示一个无理数呢？
例如π= 3.141592653…，用四舍五入法，分别取到小数点后面第二位，第三位，…，得到π≈3.14，π≈3.142，…，我们称 3.14，3.142 分别是π的精确到小数点后面第二位，第三位的近似值.
3.14，3.142 ，3.1416，... 都是 π 的近似值，称它们为近似数.
二、例题探究
例3 用计算器求下列各式的值.
(1) ; (2) （精确到小数点后面第三位）
解：(1) 依次按键：
显示：32
所以=32
(2) 依次按键：
显示：2.828427125
所以≈2.828.
【做一做】成立吗？ 若不成立，请举例说明.
解：不成立，如所以.
归纳：
三、课堂练习
1.下列整数中，与最接近的是 （　　）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2.设 n 为正整数，且 n＜＜n＋1，则 n 的值为( 　)
A．5 B．6 C．7 D．8
3.下面各正方形的边长是无理数的是 （　　）
A. 面积为25的正方形 B. 面积为的正方形
C. 面积为27的正方形 D. 面积为1.44的正方形
4.判断题:
(1) 有限小数是有理数. ( )
(2) 无限小数都是无理数. ( )
(3) 无理数都是无限小数. ( )
(4) 有理数是有限小数. ( )
5.已知x,y满足关系式+|y2-1|=0.
(1)求x,y的值.
(2)判断是有理数还是无理数,并说明理由.
四、课堂小结
这节课你收获了什么，常见的无理数的三种形式是什么？
五、作业布置
课堂作业：P32 T1
家庭作业：《学法》P26 A组（基础一般），A、B、C组（基础较好）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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