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3.3.1倾斜角与斜率（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第三章)
一、教学目标
1．知识与技能
（1）理解直线的倾斜角和斜率的定义；
（2）斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式，并会求直线的斜率。
2．过程与方法
引导帮助学生将直线的位置问题（几何问题）转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题（代数问题）进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法。
3．情感、态度与价值观
（1）通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路；
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步了解分类讨论思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣；
（3）通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育。
二、教学重难点
1.抽象概括直线的倾斜角和斜率概念，探究发现过两点的直线的斜率公式。
2.倾斜角概念形成，斜率概念的理解。
三、教学过程
（一）课题导入
在几何问题的研究中，我们常常直接依据几何图形中点、线、面的关系研究几何图形的性质(形——数)。今天我们将采用坐标法通过代数运算研究几何图形性质（数——形），这门科学称为解析几何。它是17世纪法国数学家笛卡尔和费马共同创立的。
本节我们从最基本的知识——直线的倾斜角与倾斜开始。
【师生互动】教师引导学生阅读
【设计意图】通过解析几何发展史的简单介绍，渗透数学文化教育，简单了解用坐标法来解决新的问题。同时使学生明确本课学习的内容。
（二）师生互动，探究新知
探究一：直线的倾斜角
问题1:在直角坐标系中，下图中的四条直线在位置上有什么联系和区别？
【师生互动】生：观察图形，相互讨论，指定学生回答，教师给与补充、纠正。但是在倾斜角定义得出时会有困难。
师：给学生鼓励、引导，师生共同得出倾斜角概念：
【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的几何要素，由此引出倾斜角的概念。
问题2:在直角坐标系中，任何一条直线与x轴都有一个相对倾斜度，可以用一个什么几何量来反映一条直线与x轴的相对倾斜程度呢？
【师生互动】在直角坐标系下，以x轴为基准，当直线与轴相交时，轴正向与直线向上方向之间所成的角，叫做直线的倾斜角。规定：当直线与轴平行或重合时，它的倾斜角为0。根据定义，倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°。
【设计意图】让学生明确倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°
问题3：练习：下列各图中标出的角α是直线的倾斜角吗？
【师生互动】学生独立完成
【设计意图】对概念的简单理解
探究二：直线的斜率
问题4：观察图中楼梯，我们发现坡越陡，坡面与地平面所成的角越大，你认为这个角的变化与图中哪个数量变化有关？坡面与地平面所成的角不变的情况下，升高量和前进量都在变化，那么你认为这个角的变化与升高量和前进量之间究竟是怎样的关系？能不能用一个数学式子来表示它们之间的关系？
【师生互动】师:引导学生在生活中举例，山坡，楼梯等，教师楼梯的教学情景。
【设计意图】基于学生的客观现实，结合已有的生活经验寻找几何要素代数化的方法。
问题5：从上面的讨论，我们发现，如果使用“倾斜角”的概念，“坡度”实际就是“倾斜角α的正切值”，由此你认为还可以用怎样的量来刻画直线的倾斜程度？
【师生互动】生：探索、交流。用数学语言表达自己的发现
【设计意图】探索描述直线的倾斜程度的代数表示，由此引出斜率概念
问题6：（1）当直线倾斜角为30o 45o 60o 90o 120o 150o时，它的斜率是什么？
（2）倾斜角为锐角、钝角的直线的斜率的取值范围分别是什么？
⑶倾斜角的大小与斜率为正或负有何关系
【师生互动】学生自己完成然后教师组织同桌间互相交流，共同得出结论。
【设计意图】加深概念理解。明确可以用斜率与倾斜角的关系
探究三：过两点的斜率公式
问题7：在直角坐标系中，经过两点 A（2，4）、B（－1，3）的直线有几条？直线AB的斜率是多少？
【师生互动】指定学生回答，如果有错误，教师组织学生纠正。
【设计意图】让学生自己推导出过两点的直线的斜率公式（特殊化）
问题8：已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直也不平行，即x1≠x2，y1≠y2，试确定直线P1P2与x轴的关系图，直线P1P2的斜率你会表示吗？
【师生互动】师生共同推导过两点的直线的斜率公式
【设计意图】探索得到过两点的直线的斜率公式（一般化）
问题9：(1)直线的倾斜角确定后，斜率k的值与点P1 ，P2的顺序是否有关
当直线P1P2平行于x轴或与x轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
⑶当直线P1P2平行于y轴或与y轴重合时，上述公式还适用吗？为什么？
【师生互动】师生：总结两点式斜率计算公式：k=（x1≠x2）。
【设计意图】通过自己的探索，完善两点式斜率公式k=（x1≠x2），检验得到公式与P1，P2两点的顺序无关
典例分析，能力提升
例1. 已知A(4, 2)，B(－8, 2)，C(0,－2)，求直线AB、AC、BC的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角.
【师生互动】学生回答，教师对学生的回答进行评价。在整个练习过程中，教师做好课堂巡视，加强对学生个别指导.
【设计意图】根据斜率的定义式，结合图象，熟悉倾斜角和斜率的关系。
（四）梳理归纳，总结提升
（1）在本节课中，你学到了哪些新的概念？他们之间有什么关系？
（2）怎样求出已知两点的直线的斜率？
（3）从倾斜角（形）能刻画直线的倾斜程度，到斜率（数）也能刻画直线的倾斜程度，这个过程中主要体现了什么数学思想？
【师生互动】学生思考，回答，让学生归纳出刻画直线倾斜程度的两种方法：倾斜角（形）和斜率（数）。利用确定直线的两种方法，归纳出求斜率的两个计算公式。在倾斜角和斜率相互转化的过程中体现了数形结合的数学思想。强调“坐标法”是解决解析几何问题的基本方法。
【设计意图】总结本课所学知识，培养学生归纳知识能力及反思的习惯。
（五）课后作业，巩固提高
必做题： P89习题3.1A组：2,3，4；
选做题：P90习题3.1B组：6.
【师生互动】分层次布置作业
【设计意图】分层布置作业，使学有余力的同学的创造力得到进一步发挥。
22.2.1直线的倾斜角与斜率（第二课时）
(人教A版普通高中教科书数学必修第二册第三章)
一、教学目标
1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直。
2.体验、经历用斜率研究两条直线的位置关系的过程与方法，通过两条直线斜率之间的关系解释几何含义即初步体会数形结合思想。
3.感受坐标法对沟通代数与几何、数与形之间联系的重要作用。
二、教学重难点
1.两直线平行与垂直的判定及其应用
2..探究两条直线斜率与两条直线垂直的关系
三、教学过程
1.直线平行的判定
1.1复习巩固、引发思考
一起回顾上节课所学内容（见课件）
【设计意图】利用表格回顾上节课学习内容：倾斜角、斜率、直线的斜率公式的定义及其范围，为本节课的学习奠定基础。
问题1：已知点A（2,3），B（-4,0），P(-3，1),Q(-1,2)，试判断直线AB与PQ的位置关系，并证明你的结论
问题2.如果两条直线互相平行，它们的倾斜角满足什么关系？
通过计算直线的斜率并在直角坐标系中画出二条直线，给学生时间思考问题，学生很自然发现两条直线位置与它们的斜率有着某种联系，从而引出本节课的课题。
【预设答案】直线AB与PQ平行，相等
【设计意图】两道练习，既巩固上节课所学的知识，又引出本节课所要探究的问题，让学生带着问题进入新课。培养学生大胆猜测、发现问题、解决问题的能力，激发学生运用旧知探求新知的欲望，体现由特殊到一般的认知规律。
1.2探究新知，形成结论
【活动预设】引导学生归纳概括两直线位置关系与斜率的关系
对于两条不重合的直线,设其斜率分别为。
问题3：当，满足怎样的关系？
推导过程：
问题4：反之，当，吗？
明晰：前提条件是两条直线不重合且斜率存在。
问题5:如果没有前提条件，这个结论还成立吗？
如果没有前提条件又有两种情况。
两直线可能重合时：或与重合
【设计意图】这个环节设计了3道思考题，引导学生探究、发现两直线平行与斜率的关系，为了降低难度，首先设定两条直线不重合且有斜率存在，接着讨论一般情况，体现了分类讨论、由特殊到一般的数学思想。让学生在导学案上独立完成推导过程，培养学生运用已有知识解决新问题的能力、自主探究问题的习惯及严谨的数学思维。让学生体验探究两条直线平行与斜率关系的过程，更好的理解两直线平行的条件。
1.3具体感知，理性分析
【活动预设】 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（2，-1），C（4，2），D（2，3），试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
【引导分析】任取两点确定一条直线，两条直线会有一个公共点，有公共点的两条直线斜率相等时，两直线重合。也可能会有学生利用两点确定一次函数关系式，再验证另外一个点也在这条直线上。
【设计意图】利用结论：斜率相等，两直线平行或重合，证明三点共线，这是证明三点共线的常用方法，培养学生解决问题能力。
2.直线垂直的判定
2.1深层探究、形成新知
【活动预设】设两条垂直直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2，且α1<α2，其斜率分别为k1，k2。
【公式：】
设两条垂直直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2，且α1<α2，其斜率分别为k1，k2。 【公式：】
问题1：当，k1，k2满足什么关系呢？
推导过程：
问题2：反之，当，吗？
结论：直线l1、l2的斜率存在时， 。
问题3:如果没有前提条件，这个结论还成立吗？
【引导分析】可提醒学生仿照的推导过程，寻找思路。也可适时引导学生，要想找斜率之间的关系，斜率是倾斜角的正切，可以先找倾斜角之间的关系。
【设计意图】这个环节设计了3道思考题，引导学生探究、发现两直线平行与斜率的关系，这是本节课的难点，证明过程中设计到诱导公式：，可能部分学生对诱导公式记得不太清晰，为了降低难度，设定两条直线的斜率都存在，并且直接给出了诱导公式。体现了从特殊到一般的认知规律，充分渗透了数形结合的数学思想。最后利用几何画板动画演示，让学生再从形上观察，这样更加直观形象，便于学生记忆。更好的突破本节课的教学难点，便于学生理解两直线垂直的条件。
2.2初步应用，理解概念
判断正误:
(1)若两条直线的斜率相等,则这两条直线一定平行。 ( )
(2)若两条直线平行,则它们的斜率一定相等。 ( )
(3)若两条不重合的直线的斜率都不存在，则它们平行 ( )
(4)若两条直线的斜率之积为-1, 这两条直线一定垂直 ( )
(5)若两条直线垂直, 则它们的斜率之积一定为–1。 ( )
(6)若两条直线中，一条没有斜率，另一条的斜率为零，它们的位置关系也是垂直。 ( )
【设计意图】给出一组判断题，让学生辨析，加深对所学结论的理解，提醒学生在运用结论时注意前提条件。培养学生思维的严谨性，也更好的体现了图形语言、符号语言、文字语言之间的转换。
2.3初步运用 理解结论
例1 已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三点，试判断△ABC的形状并说明理由.
由学生独立完成，其中一人上黑板板演，教师巡视并给予必要的指导。
【设计意图】让学生体会数形结合思想，画图初步猜测三角形的形状是直 角三角形，并判断哪两条边为直角边，然后进一步利用直角边的斜率乘积为-1进而验证。培养学生应用新知独立解决数学问题的能力。体会用代数方法解决几何问题的思想方法。感受数形结合的思想。
3.归纳小结，文化渗透
知识点见课件
【设计意图】（1）梳理本节课对于直线位置关系与其斜率的关系的认知；
（2）进行数学文化渗透，鼓励学生积极攀登知识高峰，进一步体会学习直线位置概念性与其斜率的逻辑关系
四、课外作业
已知A(2,3)，B(-4,0)，P(-3,1)，Q(-1,2)，求证：四边形ABPQ是梯形。
【设计意图】应用所学的知识解决数学问题，规范解题过程，体会用代数方法解决几何问题的思想方法，培养学生应用所学的知识独立解决数学问题的能力。变式训练是对学生思维的扩展，判断四边形是梯形，首先要结合图形找到一组平行的对边，然后利用代数方法进一步验证一组对边斜率相等，另外一组对边斜率不相等，很好的体现了数形结合的思想。
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