资源简介

2.5.1直线与圆的位置关系（第二课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册)
一、教学目标
1.掌握利用直线与圆位置关系解决实际问题的一般方法；
2. 掌握用坐标法研究几何问题的基本思想及其解题过程；
3.激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值。
二、教学重难点
1.利用直线与圆的位置关系解决实际问题的一般方法和思想；
2.学生的数学抽象、数学转化能力与数学建模能力的培养。
三、教学过程
（一）复习回顾
1.直线与圆的位置关系的判断方法：直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置关系及判断：
2. 直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有： ()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
3.过某点的圆的切线方程问题：
（1）若点P(x0，y0)在圆上，利用切线和圆心与点P的连线垂直求解切线方程；
(2)求过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线，常利用几何方法求解，即：圆心到切线的距离等于半径，设切线方程，利用待定系数法求解。
易错提示：直线方程的点斜式无法表示斜率不存在的直线
【设计意图】以提问的方式，帮助学生复习前面所学知识，同时ppt动态演示复习内容，给学生以直观的感受和提醒，为本节课内容做好铺垫。
（二）问题引入新课
台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为多少？
【设计意图】通过现实生活中的实例，让学生体会到数学源于生活并可以指导生活，感受数学的魅力
（三）讲授新课
例3.如图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图.圆拱跨度AB=20m,拱高OP=4m,建造时每间隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0.01m).
问题1.如何建立适当的平面直角坐标系？（大家分组讨论，给出方案）
（教师展示学生方案，引导学生回忆建立平面直角坐标系应该遵循的原则，选择最合适的坐标系。）
学生：（回忆回答建立直角坐标系的原则）
①若曲线是轴对称图形，则可选它的对称轴为坐标轴.
②常选特殊点作为直角坐标系的原点.
③尽量使已知点位于坐标轴上.
建立适当的直角坐标系，会简化运算过程.
【设计意图】进一步巩固建立适当的坐标系的方法技巧
师生活动：选择最适合的坐标系后在平民啊直角坐标系下解决代数问题：
预设答案：
解：建立如图所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，
O为坐标原点，圆心在y轴上，由题意，点P,B的坐标分别为
（0,4),(10,0),设圆心坐标是(0,b),圆的半径是r，那么圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2 .
因为P,B两点都在圆上，所以它们的坐标(0,4),(10,0)都满足方程x2+(y-b)2=r2.于是，得
到方程组 解得b=－10.5, r2=14.52所以,圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52
答：支柱的高度约为3.86 m.
【设计意图】学习利用直线与圆的位置关系解决实际问题的解答过程
问题2.如果不建立平面直角坐标系，你能解决这个个问题吗？
预设答案：
追问1：这两种方法有什么特点？
追问2：坐标法的基本步骤有哪些？（回到解答过程中去寻找答案）
预设答案：
第一步： 建系，转化；第二步：解答；第三步： “翻译”
【设计意图】及时归纳总结，力争达到举一反三的效果
例4一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处.如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
(师生活动：教师引导学生按照上例总结归纳的步骤一步步解答例4)
预设答案：解：以小岛的中心为原点O,东西方向为x轴，建立如图所示的直角坐标系，为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为(0,3),轮船所在位置的坐标为(4,0).
则暗礁所在圆形区域边缘对应圆O的方为 ,其圆心坐标（0，0），半径为2；轮船航线所在直线l方程为
联立直线与圆的方程：
方程组无解。所以直线l与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险。
追问：还有没有其他方法解决这个问题？
师生活动：教师引导学生给出不同的解法并分析不同解法的特点
预设答案：
【设计意图】通过例4 的解答进一步熟悉、巩固坐标法解决实际问题的步骤
师生活动：解决导入时的问题：台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间为多少？
预设答案：以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
则台风中心经过以B(40,0)为圆心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，
MN:y=x, 圆B：，
利用弦长公式可求得|MN|＝20，即B处于危险区时，台风中心在线段MN上，所以时间为1 h.
【设计意图】1.巩固练习坐标法；2.前后呼应
（四）课堂小结
解决直线与圆的实际应用题的步骤：
第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；
第二步：通过代数运算，解决代数问题；
第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
（五）课后作业
课本95页练习
赵州桥的跨度是37.4 m，圆拱高约为7.2 m.求这座圆拱桥的拱圆方程.
在一个平面上，机器人从与点C(5,-3)的距离为9的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变.它在行进过程中到过点A(-10,0)与B(0,12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少？
某圆拱桥的水面跨度20m，拱高4m。现有一船，宽10m,水面以上高3m,这条船能否从桥下通过？
42.5.1直线与圆的位置关系（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)
一、教学目标
1. 掌握直线与圆的三种位置关系及判定方法（几何法和代数法），能够解决一些简单的直线与圆位置关系相关的问题；
2. 经历观察、探索、总结和运用直线与圆位置关系的判断方法的过程，培养直观想象、运算求解、总结概括的思维能力；
3. 学会用代数方法解决几何问题，体会数形结合、函数与方程、化归等数学思想.
二、教学重难点
1. 教学重点：直线与圆的三种位置关系及其判定方法.
2. 教学难点：用代数方法探求直线与圆的位置关系的过程.
三、教学过程
1. 创设情境
【实际情境】（展示日出的动图）古诗里描写道：“日出江花红胜火，春来江水绿如蓝”，它生动地描绘了日出的绚丽景象。大家有没有想过，在日出的过程中，其实也蕴含了有趣的数学知识。
问题1：如果我们把太阳近似看作一个圆，海天交线看做一条直线，请大家观察一下，在日出的过程，体现了直线与圆的哪些位置关系？
【预设的答案】直线与圆相交，相切，相离。
【设计意图】直线与圆的位置关系在现实生活中有非常多的实例，通过日出的图象来引入本节课的内容，直观且自然，让学生体会到数学是源于实际生活的.
2. 知识回顾
问题2：（呈现直线与圆的三种位置关系的图象）对于这三种位置关系，图象呈现出什么样的几何特征呢？在初中，我们是怎么判断直线与圆的位置关系的？
【预设的答案】通过直线与圆的公共点个数来判断，直线与圆相交时有两个公共点，相切时有一个公共点，相离时没有公共点。
问题3：除了公共点个数的不同，我们还能直观地看到，从相交到相离，圆和直线的“距离”在“变远”，如何从这个角度来刻画直线与圆的位置关系呢？
【预设的答案】比较圆心到直线的距离d与半径r之间的大小关系，当dr时直线与圆相离。
问题4：这两种判定方法都是从几何特征来认识直线与圆的位置关系，前面我们学习了直线和圆的方程，已知直线和圆的方程，如何判断直线与圆的位置关系呢？下面，我们将通过具体例子来进行研究。
【设计意图】通过回顾初中时判定直线与圆位置关系的方法，调动学生原有的知识经验，在定性描述的基础上，结合直线和圆的方法，让学生思考如何定量刻画，从而引出本节课的主要内容。
3. 探究典例，总结方法
例1：已知直线和圆心为C的圆，判断直线l与圆C的位置关系；如果相交，求直线l被圆C所截得的弦长.
【活动预设】探究直线与圆位置关系的判定方法，引导学生将问题进行转化，转化为判断它们的方程组成的方程组有无实数解、有几个实数解的问题。
【预设的答案】
解法1：联立直线l与圆C的方程，得
消去y，得，解得
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
把分别代入方程①，得
所以直线l与圆C的两个交点是，
因此
解法2：圆C的方程可化为，因此圆心C的坐标为，半径为，圆心C到直线l的距离
所以，直线l与圆C相交，有两个公共点.
由垂径定理，得
【活动预设】引导学生总结直线与圆位置关系的判定方法以及求直线与圆相交时弦长的方法。
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 2个 1个 0个
判 断方法 几何法：设圆心到直线的距离为d＝ dr
代数法：由 消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ Δ>0 Δ＝0 Δ<0
求直线与圆相交时弦长的两种方法：
(1)几何法：如图①，直线l与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有2＋d2＝r2，即|AB|＝2.
(2)代数法：如图②所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝
【设计意图】通过对例1的探究，学会将几何问题代数化，总结出利用方程来判断直线与圆位置关系的两种方法，体会数形结合、转化与化归的数学思想。
例2：过点作圆的切下l，求切线l的方程.
【活动预设】探究过某一点求圆的切线方程的问题，先探究点在圆外的情况，再设计两个变式探究点在圆上、点在圆内的情况。
【预设的答案】
解法1：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为，即
由圆心到切线l的距离等于圆的半径1，得
解得或
因此，所求切线l的方程为或
解法2：设切线l的斜率为k，则切线l的方程为
因为直线l与圆相切，所以方程组只有一组解
消元，得 ①
因为方程①只有一个解，所以
解得或
因此，所求切线l的方程为或
变式1：过圆x2＋y2－2x－4y＝0上一点P(3,3)的切线方程为(　　)
A．2x－y＋9＝0 B．2x＋y－9＝0
C．2x＋y＋9＝0 D．2x－y－9＝0
【预设的答案】B
变式2：已知圆C: x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则(　　)
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离 D．以上三个选项均有可能
【预设的答案】A
【活动预设】引导学生总结出求过某一点的圆的切线方程的方法。
（1）点(x0，y0)在圆上．
①先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．
②如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
（2）点(x0，y0) 在圆外．
①设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，由圆心到直线的距离等于半径建立方程，可求得k，也就得切线方程．
②当用此法只求出一个方程时，另一个方程应为x＝x0，因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况．
③过圆外一点的切线有两条．
【设计意图】通过对例2的探究，掌握求过圆外一点的圆的切线方程的两种方法，再通过变式将问题进行拓展，总结出点在圆外、点在圆上和点在圆内的情况。
4. 课堂练习
练习：已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l.
（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
（2）当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．
【预设的答案】
解：（1）圆C的圆心为(2,3)，半径r＝2.
当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，此时圆C与直线l相切；
当斜率存在时，设直线l的方程为kx－y－4k－1＝0，
则＝2，解得k＝－，
所以此时直线l的方程为3x＋4y－8＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0.
（2）当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，
圆心到直线l的距离d＝＝，
故所求弦长为2＝2＝2.
【设计意图】通过课堂练习，运用本节课所学知识来解决一些简单的与直线与圆位置关系相关的问题（求切线方程、求弦长），检测学生对知识的理解，巩固所学内容。
5. 课堂小结
【活动预设】引导学生总结本节课所学内容，结合图象进行理解。
（1）判断直线与圆的位置关系（几何法、代数法）
（2）求直线与圆相交时的弦长（几何法、代数法）
（3）求过某一点的圆的切线方程（点在圆上、点在圆外）
【设计意图】数形结合，总结本节课所学内容，形成知识框架。
四、课外作业
教材P98页“习题2.5”（复习巩固）
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