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3.2.1 双曲线及其标准方程（第一课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)
一、教学目标
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；
2．掌握根据条件求双曲线方程的基本方法；
3．用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题．
二、教学重难点
1．重点：双曲线方程的理解和根据条件求双曲线方程的基本方法．
2．难点：根据条件求双曲线方程的基本方法．
三、教学过程
1．双曲线的标准方程的建立
1.1概念引入
前面我们介绍了圆锥曲线的形成，并在平面直角坐标系中研究了椭圆及其标准方程．本节课我们将学习第二种圆锥曲线——双曲线．双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线．如广州电视塔“小蛮腰”的轮廓就是双曲线的一部分绕轴旋转所成的曲面．那么，什么是双曲线呢？我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题．
问题1：椭圆的定义是什么，它的标准方程是怎样的？
【活动预设】学生回答，教师通过学生的答案，强调求曲线方程的步骤以及方程中a、b、c间的关系．
【设计意图】通过对椭圆及其标准方程的复习，帮助学生回顾椭圆研究的过程，为研究双曲线及其标准方程做准备．
问题2：既然平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆，那么一个自然的问题是：平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹是什么？
【活动预设】借助信息技术手段，探究在直线l上取两个定点A、B，P是直线l上的动点．在平面内取两个定点F1F2，以F1为圆心，线段PA为半径作圆，再以F2为圆心，线段PB为半径作圆，探究点P在线段AB上运动时，两圆交点的轨迹；点P在线段AB外运动时，两圆交点的轨迹．
【设计意图】通过强化双曲线概念的抽象和建立过程，提高学生思维的严谨性与语言表达能力；同时让学生获得焦点、焦距等概念．
1.2概念的理解
问题3：遵循解析几何研究的内在逻辑，了解椭圆的概念后，应建立双曲线的标准方程．你能类比求椭圆标准方程的过程，尝试建立双曲线的方程？
【活动预设】通过生生讨论，明确如何建立适当的直角坐标系．观察双曲线发现它也具有对称性，而且直线F1F2是它的一条对称轴，因此，我们取经过两焦点F1F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，根据双曲线的定义，即对应着等量关系，坐标化得到方程．
追问：对于方程如何？
【活动预设】学生尝试化简．需先去绝对值，化成
类比椭圆标准方程的化简过程，移项、平方，整理得
平方整理得
从简化、美化入手，继续优化方程．
问题4：讨论以上方程的变形是不是同解变形？类似于椭圆，能不能给出结构简单且优美的方程呢？
【活动预设】明确方程与所给双曲线是等价的，是双曲线的方程，并且称为双曲线的标准方程．感悟方程蕴含的简洁美、对称美，感悟“数”与“形”内在的一致性．
【设计意图】明确求曲线的方程的大致步骤，避免推导过程中思维的盲目性；引导学生学会建立适当的直角坐标系；以双曲线标准方程的推导为载体，引导学生掌握推导圆锥曲线方程的一般思路与方法；深化学生对曲线与方程的关系的理解．
2．初步应用，熟悉方程
例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1（–5,0），F2（5,0），双曲线上一点P与F1，F2的距离之差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．
【活动预设】根据焦点位置设双曲线标准方程，且c=5， a=3，求出b．
【设计意图】巩固双曲线及其标准方程的概念．
例2 已知A，B两地相距800cm，在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s，且声速为340m/s，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
【设计意图】本例题是一道实际应用题，指导学生抽象出数学问题，建立适当的直角坐标系进行求解．
3．归纳小结，理论升华
【设计意图】（1）梳理本节课对于双曲线的定义与其标准方程的认知；
（2）通过思维导图，使得学生宏观把握双曲线及其标准方程这节课的整体结构．
四、课外作业
（1）教材P121练习第2，3，4题．
（2）教材P127习题3.2第1，2题．
23.2.1 双曲线及其标准方程（第二课时）
(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)
一、教学目标
1．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程；
2．掌握根据条件求双曲线方程的基本方法；
3．用双曲线的定义和标准方程解决简单实际问题．
二、教学重难点
1．重点：双曲线方程的理解和根据条件求双曲线方程的基本方法．
2．难点：根据条件求双曲线方程的基本方法．
三、教学过程
1．复习引入
1.1双曲线的定义
在上一节课，我们介绍了第二种圆锥曲线——双曲线，并学习了双曲线的轨迹及其标准方程，本节课我们在上一节课的基础上继续学习求解双曲线方程的几种典型方法，并利用它们解决一些简单的实际问题
问题1：双曲线的定义是什么？
【活动预设】学生回答，教师通过学生的答案，强调双曲线定义中的几个关键信息．
【设计意图】通过对双曲线的复习，为后面引出相应的变式做准备。
1.2定义中关键要素的理解
问题2：
（1）平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（记为2a）的点的轨迹是双曲线吗？
【活动预设】通过观察图形，学生主动发现随着a的不同取值，点的轨迹除了双曲线意外还有另外三种情况．
【设计意图】通过设问，让学生强化定义中“距离之差小于”这一细节。
问题3：平面内满足的点M的轨迹是双曲线吗？
【活动预设】让学生探究发现，当去掉绝对值的限制时，所得到的轨迹只有双曲线的一支．
【设计意图】明确双曲线定义中的另一个关键要素：距离之差的绝对值，引导学生全面的了解双曲线定义中的三个要素，深化学生对双曲线定义的理解．
问题4：双曲线的标准方程是什么？
【活动预设】学生总结焦点在x、y轴上的两种不同情况下的双曲线标准方程。
【设计意图】复习上节课这一最重要的知识点，掌握双曲线的两种方程，为下面求解双曲线的标准方程做准备。
2．初步应用，熟悉方程
例1已知线段，直线相交于点，且它们斜率之积是，求点的轨迹方程。
【活动预设】以直接法求轨迹方程作为背景，求解双曲线标准方程．
【设计意图】训练学生利用直接法求解轨迹的能力，同时强化双曲线标准方程以及曲线与方程的关系．
例2 求下列双曲线的标准方程
(1)焦点在x轴上,,经过点A(-5,2);
(2)过点(1,1),且
(3)经过两点
【设计意图】根据这三个求双曲线方程的问题，指导学生学习求解双曲线方程的典型方法以及注意事项。
问题5：表示哪些曲线？
【设计意图】通过引导学生归纳对的不同取值所引起曲线的不同结果，培养学生逻辑推理的核心素养。
问题6：“神舟”九号飞船返回舱顺利到达地球后,为了及时将航天员安全救出,地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心(记A,B,C),A在B的正东方向,相距6千米,C在B的北偏西30°方向,相距4千米,P为航天员着陆点.某一时刻,A接收到P的求救信号,由于B,C两地比A距P远,在此4秒后,B,C两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为1千米/秒,求在A处发现P的方位角.
【设计意图】本例题是一道实际应用题，指导学生抽象出数学问题，建立适当的直角坐标系进行求解．
3．归纳小结，理论升华
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