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8.1 与三角形有关的边和角
1.认识三角形
第1课时 三角形的有关概念及其分类
1.认识三角形的有关概念.（重点）
2.会用几何语言表示三角形，了解三角形的分类.（难点）
一、新课导入
[情境导入]走在大街上，进入宾馆或饭店，在许多地方，我们经常可以看到由各种形状的瓷砖铺成的漂亮地面和墙面，在这些地面或墙面上，相邻的瓷砖平整地贴合在一起，整个地面或墙面没有一点空隙.
如图，这些形状的瓷砖为什么能铺满地面而不留一点空隙呢？换一些其他形状的行不行？
为了解决这些问题，我们有必要研究多边形的有关性质．三角形是最简单的多边形，让我们从三角形开始，探究一下其中的道理.
二、新知探究
（一）三角形的有关概念
[提出问题]问题1 观察三角形的形成过程，说一说什么叫三角形.（课件动态展示）
定义：由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.
[提出问题]问题2 三角形中有几条线段 有几个角
有三条线段，三个角.
边：线段AB，BC，CA是三角形的边.
顶点：点A，B，C是三角形的顶点.
角：∠A，∠B，∠C叫做三角形的内角，简称三角形的角.
记法：三角形ABC用符号表示为 △ABC _.
边的表示：三角形ABC的边AB、AC和BC可用小写字母分别表示为 c、b、a .
辨一辨：下列图形符合三角形的定义吗？为什么？
[归纳总结]三角形应满足以下两个条件：①位置关系：不在同一直线上；②连结方式：首尾顺次.
[交流讨论]小组之间交流讨论，解决下题.
找一找：（1）图中有几个三角形？用符号表示出这些三角形．
5个，分别是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD.
（2）以AB为边的三角形有哪些？
△ABC，△ABE.
（3）以E为顶点的三角形有哪些？
△ABE，△BCE，△CDE.
（4）以∠D 为角的三角形有哪些？
△BCD，△DEC.
（5）说出△BCD的三个角和三个顶点所对的边.
△BCD的三个角是∠BCD、∠D和∠CBD.
顶点B所对的边为DC，顶点C所对的边为BD，顶点D所对的边为BC.
[提出问题]问题 3 如图，把△ABC的一边BC 延长，得到∠ACD.它与△ABC有什么联系呢？（课件动态展示）
像这样，三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.
对外角∠ACD来说，∠ACB是与它相邻的内角，∠A，∠B是与它不相邻的内角.
思考：△ABC有多少个内角？多少个外角？与内角∠A相邻的外角有几个？它们是什么关系？怎么样画出△ABC的外角？
△ABC有3个内角；6个外角；与内角∠A相邻的外角有2个；它们是对顶角；把三角形一个内角的一边反向延长，反向延长线与角的另一边组成的角即为三角形的一个外角.
（二）三角形的分类
[提出问题]问题4 如图，三个三角形的内角各有什么特点？
第一个三角形中，三个内角均为锐角；第二个三角形中，有一个内角是直角；第三个三角形中，有一个内角是钝角.
[归纳总结]三角形可以按角来分类：
所有内角都是锐角——锐角三角形；
有一个内角是直角——直角三角形；
有一个内角是钝角——钝角三角形.
[提出问题]问题5 量一量，三个三角形的边各有什么特点？
第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等；第三个三角形的三边都相等.
我们把有两条边相等的三角形称为等腰三角形，相等的两边叫做等腰三角形的腰；把三条边都相等的三角形称为等边三角形（或正三角形）.
[交流讨论]小组之间交流讨论，怎样对三角形进行分类.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.三角形是指（ C ）
A. 由三条线段所组成的封闭图形
B. 由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相
接组成的图形
C. 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相
连结组成的图形
D. 由三条线段首尾顺次相接组成的图形
2.判断：
（1）一个钝角三角形一定不是等腰三角形.（ × ）
（2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ √ ）
（3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ × ）
（4）等边三角形是锐角三角形.（ √ ）
（5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ × ）
3.（1）如图所示，图中共有 3 个三角形，它们分别是 △ABC，△ABD，△ACD .
（2）以AD为边的三角形分别是△ABD，△ACD .
（3）∠B是 △ABC ， △ABD 的内角；△ACD的三条边是 AC ， AD ， CD .
（4）∠ACD是 △ABC 的一个外角.
五、布置作业
本节课让学生经历一个探究认识三角形的过程，从实际生活中抽象出三角形，进一步探究这些图形的组成元素及分类方法，这样教学符合学生的认知特点，既提高了学生学习的兴趣，又增强了学生的动手能力．
第2课时 三角形的三条重要线段
1．掌握三角形的高、中线和角平分线的定义，并能够对其进行简单的应用．（重点）
2．能够准确的画出三角形的高、中线和角平分线．（难点）
一、新课导入
[复习导入]1.过直线外一点，画已知直线的垂线，能画几条，怎么画？如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？
只能画一条.
2.已知△ABC中，BC=5cm，高AD=4cm，求△ABC的面积.
.
二、新知探究
（一）三角形的中线
[提出问题]问题1 如图，如果点C是线段AB的中点，你能得到什么结论？
AC=BC=AB.
[提出问题]问题 2 如图，如果点D是线段BC 的中点，那么线段AD就称为△ABC的中线．试说明什么叫三角形的中线.
如图，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC 的中点D，所得线段AD 叫做△ABC的边BC上的中线.
想一想：由三角形的中线能得到什么结论？
BD=CD=BC.
[课件展示]画一画：如图，画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，它们中线的交点有什么规律？
[交流讨论]小组之间交流讨论，得出规律.
三角形的三条中线交于三角形内部一点.
（二）三角形的角平分线
[提出问题]问题1 如图，若OC是∠AOB的平分线，你能得到什么结论？
∠AOC = ∠BOC.
[提出问题]问题2 如图，在△ABC中，如果∠BAC的平分线AD交BC边于点D，我们就称 AD是△ABC的角平分线．三角形的角平分线与角的平分线相同吗
相同点：∠ABD=∠CBD；
不同点：前者是线段，后者是射线.
[课件展示]画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条角平分线，它们的交点有什么规律？
[交流讨论]小组之间交流讨论，得出规律.
三角形的三条角平分线交于三角形内部一点.
（三）三角形的高
[提出问题]问题1 什么是三角形的高？怎样画三角形的高？（课件动态展示）
定义：如图，从△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段AD叫做△ABC的边BC上的高.
[提出问题]问题2 由三角形的高你能得到什么结论？
∠ADB=∠ADC=90°.
[提出问题]问题3 如图，在△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的高．试判断△ABD和△ACD的面积有什么关系，为什么？
答：相等，因为两个三角形等底同高，所以它们面积相等.
[提出问题]问题4 通过问题3你能发现什么规律？
答：三角形的中线能将三角形的面积平分.
[课件展示]画一画：如图，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，高的交点有什么规律？
小组之间交流讨论，得出规律.
三角形的三条高交于一点.
[归纳总结]由前面的操作，我们可以发现，三角形的三条中线、三条角平分线和三条高（或所在的直线）分别交于一点；直角三角形三条高的交点就是直角顶点；钝角三角形有两条高位于三角形的外部.
[典型例题]例1 如图，已知AD，AE分别是△ABC的高和中线，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90 °，试求：
(1)△ABE的面积；
(2)△ACE和△ABE的周长的差.
解：(1)∵S△ABC=AB·AC=×6×8=24（cm2），
AE是△ABC的中线，
∴S△ABE=S△ABC=×24=12（cm2）.
(2) ∵AE是△ABC的中线，∴BE=CE.
∴△ACE和△ABE的周长的差=（AC+AE+CE)-
(AB+AE+BE)=AC+AE+CE-AB-AE-BE=AC-AB=8-6=2(cm).
例2 如图，在△ABC中，请作图.
(1) 画出△ABC的∠C的平分线；
(2) 画出△ABC的边AC上的中线；
(3) 画出△ABC的边BC上的高.
解：如图，CF是一条角平分线；BE是AC边上的中线；AD是边BC上的高.
三、课堂小结
四、课堂训练
1．下列说法正确的是(　B　)
A．三角形的三条高都在三角形内
B．三角形的三条中线相交于一点
C．三角形的三条角平分线可能在三角形内，也可能在三角形外
D．三角形的角平分线是射线
2.作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　D　)
3.在△ABC中，AC＝5cm，AD是△ABC的中线，若△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，则BA＝ 7cm .
4.如图,AE是△ABC的角平分线.已知∠B=45°,
∠C=60°,求∠BAE的度数.
解：∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠CAE=∠BAE=∠BAC.
∵∠BAC+∠B+∠C=180°，
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，∴∠BAE=37.5°.
五、布置作业
本节课从画图入手，分三种情况，即锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，学习与三角形相关的线段，培养学生形成分类讨论思想，同时，可以在学生头脑中对这三种线段留下清晰的形象，然后结合这些具体形象叙述它们的定义以及表示方法，最后通过例题进一步巩固．

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