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2 三角形的内角和与外角和
第1课时 三角形的内角和
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.（重点）
2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数.（难点）
3.了解直角三角形两个锐角的关系.
一、新课导入
[情境导入]将三角形纸片分别按下面两种方法进行折叠、剪拼等操作，你能发现什么？
三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角.
二、新知探究
（一）三角形的内角和
[提出问题]如图，已知△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示△ABC的三个内角，证明∠1+∠2+∠3=
180°.
解：如图，延长边BC至点E，以点C为顶点，在BE的上侧作∠DCE=∠2，
则CD//BA（同位角相等，两直线平行）.
∵CD //BA，
∴∠1=∠ACD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠3+∠ACD+∠DCE=180°，
∴∠1+∠2+∠3=180°（等量代换）.
[归纳总结]三角形的内角和等于180°.
[交流讨论]小组之间交流讨论:还能想出其他的方法推出这个结论吗？
多种方法证明的核心是什么？
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角.
[典型例题]例1 在△ABC中，∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°，求∠A、∠B、∠C的度数.
解：设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x＋15)°， 从而有3x＋x＋(x＋15)＝180，解得x＝33.
所以3x＝99，x＋15＝48.
所以∠A、∠B、∠C的度数分别为99°、33°、48°.
[典型例题]例2 如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
解：∵∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠BAC= 20°.
在△ABD中，∠ADB=180°- ∠B - ∠BAD= 180° - 75° - 20°= 85°.
（二）直角三角形的两个锐角互余
[提出问题]问题1 如图，在直角三角形ABC中，∠C = 90°，∠A与∠B有什么关系？
由三角形内角和等于180°，
得∠A+∠B+∠C=180°，
由此可以推出
∠A+∠B=180°-∠C=90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
[归纳总结]直角三角形的两个锐角互余．
应用格式：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可以写成Rt△ABC．
[典型例题]例3 如图，AD是△ABC的边BC上的高，∠1=45°，∠C=65°.求∠BAC的度数.
解：在Rt△ABD中，
∵∠1+∠B=90°（直角三角形的两个锐角互余），∴∠B=90°-∠1（等式性质）.
又∵∠1=45°（已知），
∴∠B=90°-45°=45°（等量代换）.
在△ABC中，
∵∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形的内角和等于180°）,
∴∠BAC=180°-∠B-∠C（等式性质）.
又∵∠B=45°（已求），∠C=65°（已知），
∴∠BAC=180°-45°-65°=70°（等量代换）.
思考：我们已经知道，直角三角形的两个锐角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？
[交流讨论]小组之间交流讨论,得出结论.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.在△ABC中，∠A=35°，∠B=43°，则∠C=
102°.
2.在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 直角 三角形.
3.在△ABC中，∠A=∠B+10°,∠C=∠A+10°,
则∠A= 60° ，∠B= 50° ，∠C= 70° .
4.如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC、∠BDC的度数．
解：∵∠A＝50°，∠B＝70°，
∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ACB＝30°.
∵DE∥BC，∴∠EDC＝∠BCD＝30°.
在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD=80°.
五、布置作业
本节课通过让学生体会用不同的方法证明三角形内角和定理，使学生感受到一题多解的重要性，让学生知道添加辅助线证明的重要性，激发起学生获取知识的求知欲，充分调动学生学习的积极性，使学生由被动接受知识转为主动学习，从而提高学习效率．
2.三角形的内角和与外角和
第2课时 三角形的外角
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.掌握三角形的外角的性质．（重点）
3.会利用三角形的外角的性质解决问题.（难点）
一、新课导入
[复习导入]1.如图，在△ABC中，∠A=70°, ∠B=
60°.则∠ACB= 50°，∠ACD= 130°.
观察∠ACD与∠A、∠B之间有什么关系？
2.三角形的内角和等于多少？
三角形的内角和等于180 °.
想一想：三角形的外角和有什么特征？
二、新知探究
（一）三角形的外角的性质
[提出问题]问题1 　如图，一个三角形的每一个外角对应一个相邻的内角和两个不相邻的内角.那么，外角∠ACD与它不相邻的内角∠A、∠B之间有什么大小关系？
∵∠ACD+∠ACB = 180°，
∠A +∠B +∠ACB = 180°，
∴∠ACD =180°-∠ACB，
∠A +∠B =180°-∠ACB.
∴∠ACD =∠A +∠B.
[交流讨论]小组之间交流讨论，得到三角形的外角的两条性质.
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
[典型例题]例1 说出下列图形中∠1的度数：
解：（1）∠1=140°.
（2）∠1=18°.
[典型例题]例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度数．
解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．
解：如图，延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°，∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
【变式】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度数.
思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题.
解法一：如图，连接AD并延长至点E.
在△ABD中，
∠1+∠B=∠3，
在△ACD中，
∠2+∠C=∠4.
∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C=51° +20°+30°=101°.
解法二：如图，延长BD交AC于点E.
在△ABE中，
∠1=∠A+∠B，
在△ECD中，
∠BDC=∠1+∠C.
所以∠BDC=∠A+∠B+∠C=51° +20°+30°=101°.
解法三：如图，延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）.
总结：解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解.
（二）三角形的外角和
[课件展示]与三角形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，如∠1和∠4.
从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
如图所示，∠1+∠2+∠3就是△ABC的外角和.
[提出问题]问题2 如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
解：在图中，
有∠1+∠ACB=180°，
∠2+∠BAC=180°，
∠3+∠ABC=180°，
三式相加，可以得到
∠1+∠2+∠3+∠ACB+∠BAC+∠ABC=360°，
而∠ACB+∠BAC+∠ABC=180°，
∴∠1+ ∠2+ ∠3=360 °.
[交流讨论]小组之间交流讨论，得到三角形的外角和的数量关系.
三角形的外角和等于360°.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.如图，AB∥CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ A ）
A.26° B.63° C.37° D.60°
第1题图 第2题图
2.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F= 360° .
3.如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求
∠BFC的度数.
解：∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE.
∵∠A=42°，
∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF.
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
五、布置作业
本课时教学应突出学生主体性原则，即通过探究学习，指引学生独立思考，自主得到结果，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情.

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