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8.2 多边形的内角和与外角和
第1课时 多边形的内角和
1.了解多边形及其相关概念，理解正多边形及其概念．
2.会求多边形的对角线的条数．
3.能通过不同的方法探索多边形的内角和公式．（重点）
4．会应用多边形的内角和公式进行有关计算．（难点）
一、新课导入
[情境导入]生活中的平面图形（课件动态展示）
二、新知探究
（一）多边形的有关概念
想一想：什么是三角形？什么是四边形？什么是五边形？什么是n边形？
在平面内，由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做三角形.
在平面内，由四条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做四边形.
在平面内，由五条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做五边形.
在平面内，由n条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形叫做n边形，也即我们通常所说的多边形.
[课件展示]
组成多边形的各条线段叫做多边形的边.
相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.
相邻两边组成的角叫做多边形的内角.
连结不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.
[概念归纳]如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形.
注意：如图1是凸多边形；图2不是凸多边形，今后如果不作说明，我们讲的多边形都是凸多边形.
（二）正多边形
[提出问题]问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
各边相等，各内角都相等的多边形.
[概念归纳]如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.
（三）多边形的内角和
[提出问题]问题2 三角形的内角和等于180°，四边形的内角和是多少度呢？
如图，四边形ABCD的一条对角线AC把它分成两个三角形，因此四边形的内角和等于这两个三角形的内角和，即180°×2=360°.
试一试：由图中可以看出，从多边形的一个顶点引出的对角线把多边形划分为若干个三角形，我们已知一个三角形的内角和等于180°，那么五边形的内角和等于多少呢？六边形、七边形呢？一般地，n边形的内角和等于多少呢？
在前面各个多边形中，任取一个顶点，通过该顶点画出所有对角线.
[交流讨论]小组之间交流讨论，完成下表.
[归纳总结]n边形的内角和等于(n-2)· 180°.
[典型例题]例1 求八边形的内角和.
解：八边形的内角和为（n-2）· 180°=(8-2)×180°= 1080°.
[典型例题]例2 已知一个多边形的内角和等于 2160°，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得(n-2 )· 180°= 2160°.解得n=14.
因此，这个多边形的边数为14.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.一个七边形的内角和等于（　B　）
A．540° B．900° C．980° D．1080°
2.一个多边形从一个顶点可引3条对角线，这个多边形的内角和等于（ C ）
A.360° B.540 ° C.720 ° D.900 °
3.如图，将一张六边形纸片沿直线剪开，如果剪开后的两个图形的内角和相等，下列四种剪法中，符合要求的是（　D　）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
4.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于 120° ．
五、布置作业
本节课引导学生用分割的方法得到四边形内角和，再探究多边形的内角和，然后采用完全开放的探究，每步探究先让学生尝试，把学生推到主动位置，放手让学生自己学习，教学过程主要靠学生自己去完成，尽可能做到让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新．第2课时 多边形的外角和
1.掌握多边形的外角及外角和的性质.（重点）
2.灵活运用多边形的外角和定理解决有关问题．（难点）
一、新课导入
[复习导入]1.三角形的外角和的概念是什么？
从与每个内角相邻的外角中分别取一个相加，得到的和称为三角形的外角和.
2. 三角形的外角和等于 360° .
二、新知探究
多边形的外角和
[提出问题]问题1 根据三角形的外角和定义，你能说一说多边形的外角和的定义吗？
从与每个内角相邻的外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.
如图，∠1 +∠2 +∠3 +∠4 就是四边形ABCD的外角和.
[提出问题]问题2 你能根据图形求出四边形的外角和吗？
从图中可知：(∠1+∠5)+(∠2+∠6)+(∠3+∠7)+
(∠4+∠8)=4×180°=720°，
又因为∠5+∠6+∠7+∠8=360°，
所以∠1+∠2+∠3+∠4=720°-(∠5+∠6+∠7+∠8)
= 720°-360°=360°.
所以四边形ABCD的外角和等于360°.
[提出问题]问题3 n边形的外角和等于多少度呢？
因为n边形的每一个内角与它的相邻的外角互为补角，所以可以求出多边形的内角和与外角和的总和，再减去内角和就可得到外角和.
[交流讨论]小组之间交流讨论，填写下表：
[归纳总结]任意多边形的外角和等于 360°.
[典型例题]例1 一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形的边数为n，
根据题意，得n·72°= 360°，解得n = 5.
因此，这个多边形是五边形.
[典型例题]例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍，这个多边形是几边形？
解：设这个多边形是n边形，
根据题意，得(n-2)·180°= 5×360°.解得n=12.
因此，这个多边形是十二边形.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.已知一个多边形的每个外角都等于60°，则该多边形的边数是（　C　）
A．4 B．5 C．6 D．7
2.如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角，得到六边形ABCDGF，则下列说法正确的是（　D　）
A．外角和减少180° B．外角和增加180°
C．内角和减少180° D．内角和增加180°
3.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2，求这个多边形的边数.
解：设这个多边形的内角为7x °,外角为2x°,
根据题意，得7x+2x=180，解得x=20.
即每个外角是40 °.360° ÷40 °=9.
答：这个多边形是九边形.
五、布置作业
本节课先引导学生由多边形的内角和探究多边形的外角和，充分体现学生学习的自主性：规律让学生自主发现，方法让学生自主寻找，思路让学生自主探究，问题让学生自主解决．

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