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第9章 轴对称、平移与旋转
9.1 轴对称
3.作轴对称图形
1.能按要求作出简单平面图形关于直线对称的图形，探索作一般的轴对称图形的方法. （重点）
2.探究较复杂的轴对称图形的作法.（难点）
一、新课导入
[复习导入]
1.怎么画轴对称图形的对称轴？
先找出轴对称图形的任意一组对称点，连结这一组对称点，得到一条线段，再作出这条线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴.
2.下列图形是轴对称图形吗？如果是，请画出它们的对称轴.
是.如图所示.
[思考]如果给出一个图形和一条直线，那么如何作出这个图形关于这条直线的对称图形呢？
二、新知探究
（一）作已知直线的垂线
[试一试]如图，实线所构成的图形为已知图形，虚线为对称轴，试作出已知图形的轴对称图形.作好之后，你可以通过对折的方法来验证你作得是否正确.
图（1）需要找到 5 个关键点，然后顺次连结即可；
图（2）需要找到 3 个关键点，然后顺次连结即可.
在格点图中，很容易找到格点关于对称轴的对称点，因此可以较方便地作出已知图形的轴对称图形.
如果没有格点，应如何作出某个图形的轴对称图形呢？
如图，已知点A和直线l，要作出点A关于直线l的对称点A′，此时就需要过点A作直线l的垂线，与l相交于点O，然后在垂线上取一点A′，使OA′=OA，如图所示.
[思考]我们已经能利用尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知角的平分线，那么如何利用尺规作图，过已知点作出已知直线的垂线，从而得到已知点关于已知直线的对称点呢？
已知点与已知直线可以有两种不同的位置关系：点在直线上；点在直线外.现分别按这两种情况作图.
（1）经过已知直线AB上一点C作已知直线AB的垂线.
如图①，由于点C在直线AB上，因此所要求作的垂线正好是平角∠ACB的平分线所在的直线.
（2）经过已知直线AB外一点C作已知直线AB的垂线.
如图②，由于点C是垂线上的一个点，因此要作出垂线，只要再找到垂线上的另一点P.
如果垂线CP已作出，那么沿着垂线CP对折，可以发现CP一侧的直线AB上的点M与另一侧的某一点N重合，即有CM=CN，PM=PN.
此时可以发现所需求作的垂线CP正是线段MN的垂直平分线.
于是我们想到，先以点C为圆心、适当长为半径作弧，与直线AB相交于M、N两点；再分别以点M和N为圆心、相同长为半径作弧，得到交点，即为垂线l上的另一点P.
由此，你能发现利用尺规作图过一点作已知直线的垂线的方法吗？
[做一做]1.如图，经过已知直线AB上一点C，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线AB的垂线.
（1）作平角∠ACB的平分线CP；
（2）反向延长射线CP.直线CP就是所要求作的垂线.
2.如图，经过已知直线AB外一点C，试利用尺规作图，按下列作法准确地作出直线AB的垂线.
（1）以点C为圆心、适当长（大于点C到直线AB的距离）为半径作弧，交直线AB于M、N两点；
（2）分别以点M、N为圆心，相同长（大于线段MN长的一半）为半径作弧，两弧相交于点P;
（3）作直线CP.直线CP就是所要求作的垂线.
[针对练习]如图，点P在∠O的一边上，试过点P作该角两边的垂线.
解：如图，PA、PB即为所求作的垂线.
（二） 作轴对称图形
[典型例题]例 如图，已知△ABC和直线l，作出△ABC关于直线l 对称的图形.
作法：（1） 分别作出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1；
（2）连结A1B1、B1C1、C1A1.
如图，△A1B1C1就是所要求作的△ABC关于直线l对称的三角形.
三、课堂小结
1.画轴对称图形的依据：
对称轴是对称点连线的垂直平分线，即一对对称点到对称轴的距离相等，所以只要过一个点向对称轴画垂线并截取相等的垂线段便可以得到它的对称点．
2.画轴对称图形的方法步骤：
（1）找出已知图形中的特殊点 （如线段的端点、角的顶点、折线的拐点等）；
（2）作出特殊点关于对称轴的对称点；
（3）依次连结各对称点，得到的图形就是所要求作的图形．
四、课堂训练
1. 下面是四位同学作△ABC关于直线MN的轴对称图形，其中正确的是（ B ）
2.如图，作△ABC边BC上的高.
解：AD就是所要求作的高.
3.如图，把下列图形补成关于直线 l 对称的图形.
五、布置作业
本节课从欣赏、观察生活中的美丽图片引入如何去补全一个轴对称图形，通过前面所学的轴对称相关知识，总结归纳出画轴对称图形的一般步骤，并运用相关知识解决数学问题，从生活中体会数学知识的应用及对称的美感，提高学生的总结、归纳及欣赏美的能力，从而更加热爱生活，快乐进取．

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