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2025年高考数学二轮复习小题基础练05
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·浙江金华·一模）在复平面中，若复数满足，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2024·广东东莞·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西商洛·一模）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过（参考数据：，）（ ）
A．10天 B．11天 C．12天 D．13天
5．（2023·四川·模拟预测）我国古代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”，意思是说，有一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切），如图所示．已知圆O的半径为2丈，过C作圆O的两条切线，切点分别为M，N，若，则对角线AC长度为（ ）
A．丈 B．丈
C．丈 D．丈
6．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2024·福建泉州·模拟预测）已知向量满足与的夹角为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2023·山东日照·模拟预测）已知，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值4
10．（2024·河北·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件、、两两互斥
B．事件与事件对立
C．
D．事件、、两两独立
11．（2023·广东茂名·三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左 右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）

A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13
D．若点坐标为，直线与相切，则
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知，，则 .
13．（2022·全国·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.下图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为由图中虚线上的数1，3，6，10，…依次构成的数列的第项，则的值为 .
14．（2024·广东湛江·一模）若函数为奇函数，则 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)2025年高考数学二轮复习小题基础练05
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（2024·浙江金华·一模）在复平面中，若复数满足，则（ ）
A．2 B．1 C． D．
2．（2024·广东东莞·模拟预测）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·陕西商洛·一模）在四棱锥中，平面，四边形是正方形，，则四棱锥外接球的体积是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西榆林·模拟预测）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明·《增广贤文》）是勉励人们专心学习的，如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍．若每天的“进步”率和“退步”率都是20%，则要使“进步”的是“退步”的100倍以上，最少要经过（参考数据：，）（ ）
A．10天 B．11天 C．12天 D．13天
5．（2023·四川·模拟预测）我国古代数学家朱世杰所著《四元玉鉴》记载有“锁套吞容”之“方田圆池结角池图”，意思是说，有一块正方形田地，在其一角有一个圆形的水池（其中圆与正方形一角的两边均相切），如图所示．已知圆O的半径为2丈，过C作圆O的两条切线，切点分别为M，N，若，则对角线AC长度为（ ）
A．丈 B．丈
C．丈 D．丈
6．（2024·新疆·二模）过点且与曲线相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
7．（2024·福建泉州·模拟预测）已知向量满足与的夹角为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2023·山东日照·模拟预测）已知，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最小值4
10．（2024·河北·模拟预测）质地均匀的正四面体模型四个表面分别标有四个数字，抛掷一次并记录与地面接触面上的数字，记事件“数字为2的倍数”为事件，“数字是5的倍数”为事件，“数字是7的倍数”为事件，则下列选项不正确的是（ ）
A．事件、、两两互斥
B．事件与事件对立
C．
D．事件、、两两独立
11．（2023·广东茂名·三模）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双曲线的光学性质：，是双曲线的左 右焦点，从发出的光线射在双曲线右支上一点，经点反射后，反射光线的反向延长线过；当异于双曲线顶点时，双曲线在点处的切线平分.若双曲线的方程为，则下列结论正确的是（ ）

A．射线所在直线的斜率为，则
B．当时，
C．当过点时，光线由到再到所经过的路程为13
D．若点坐标为，直线与相切，则
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2023·甘肃兰州·模拟预测）已知，，则 .
13．（2022·全国·模拟预测）“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.下图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记为由图中虚线上的数1，3，6，10，…依次构成的数列的第项，则的值为 .
14．（2024·广东湛江·一模）若函数为奇函数，则
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参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C C A C D A ABD ABC
题号 11
答案 ABD
1．D
【分析】由复数的计算化简得到复数，再求模长.
【详解】∵，∴，∴，∴.
故选：D.
2．D
【分析】根据二次不等式以及对数不等式化简两个集合，即可根据交集的定义求解.
【详解】由，
，
故，
故选；D
3．C
【分析】根据正方体的外接球即可求解体对角线得半径，进而利用体积公式求解.
【详解】将四棱锥放入正方体中，则四棱锥的外接球与正方体的外接球相同，
设四棱锥外接球的半径为，则，所以，
故四棱锥外接球的体积．
故选：C
4．C
【分析】由题意列出相应不等式，结合对数运算，即可求得答案.
【详解】设经过x天后，“进步”的是“退步”的100倍以上，则，即，
∴（天）．
故最少要经过12天
故选：C
5．A
【分析】结合图形的对称性和切线的性质，通过三角函数或勾股定理，由丈，，求出，可得对角线AC长度.
【详解】记OC与MN相交于E，过O作AB的垂线，与AB相交于F点，如图所示，
丈，丈，则丈，
在中，，则，
中，丈，
中，丈，，则丈，
所以丈.
故选：A.
6．C
【分析】先设过点的切线，再根据点在曲线上及切线斜率等于导数值解方程即可求值进而求出切线.
【详解】设过点的曲线的切线为： ，
有,
解得或,
代入可得或.
故选：
7．D
【分析】对等式进行变形得，再运算数量积的运算求解即可.
【详解】设，由题得，
所以，
，所以，
所以，又，
所以，
故选:D.
8．A
【分析】抛物线的焦点到其准线的距离为，又，进而利用得，从而可得的值.
【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，
所以,即,
由得，即，则，
由焦半径公式可得.
故选：A.
9．ABD
【分析】根据题意，结合基本不等式，逐项判定，即可求解.
【详解】由，
对于A中，由，可得，可得，
当且仅当时，等号成立，所以有最大值，所以A正确；
对于B中，由，因为有最大值，所以，
当且仅当时，等号成立，所以有最小值，所以B正确；
对于C中，由，
当且仅当时，等号成立，所以有最大值，所以C不正确；
对于D中，由，
当且仅当时，等号成立，所以有最小值，所以D正确；
故选：ABD.
10．ABC
【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断即可.
【详解】依题意抛掷一次可能出现的结果有、、、，
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
事件包含的基本事件有、，则；
显然事件与事件，事件与事件，事件与事件均可以同时发生，
故事件与事件，事件与事件，事件与事件均不互斥，故A错误；
事件包含的基本事件有、、，
事件包含的基本事件有，
当出现时事件与事件均发生，故事件与事件不互斥，
显然不对立，故B错误；
又事件包含的基本事件有，所以，
所以，故C错误；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
因为事件包含的基本事件有，所以，所以与相互独立；
即事件、、两两独立，故D正确.
故选：ABC
11．ABD
【分析】A选项，根据直线与双曲线的交点位置可判断.
B选项，利用双曲线定义和勾股定理化简可得.
C选项，由双曲线定义可判断.
D选项，利用角平分线性质，结合双曲线的定义可得.
【详解】解：因为双曲线的方程为，所以，渐近线方程为，
选项A，因为直线与双曲线有两个交点，所以，即A正确；
选项B，由双曲线的定义知，，
若，则，
因为，
所以，
解得，即B正确；
选项C：，即C错误；
选项D，因为平分，由角分线定理知，，
所以，
又，
所以，解得，即D正确.
故选：ABD.
12．
【分析】利用二倍角公式结合两角和与差的余弦公式展开求解即可.
【详解】.
由得，
，
原式.
故答案为：
13．
【分析】
利用累加法求得，再利用裂项相消法即可.
【详解】
设第个数为，则，，，，…，，
叠加可得，
∴
.
故答案为：.
14．/
【分析】先根据函数是奇函数关于原点对称得出,再应用奇函数的定义计算求出,计算即可求值.
【详解】由于函数的定义域满足 ，故定义域为 ，
根据奇函数的定义域关于原点对称可知 ，
∴ ， ，
∴ ，
故 ，
故答案为： ．
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