资源简介

第二节 整式的乘法（第1课时）
教学设计
一、教学内容和内容解析
（一）教学内容
教材第12～13页，整式的乘法（1）
（二）教学内容解析
1.教材地位
整式的乘法是整式运算的重要内容，而单项式乘以单项式是整式乘法的起始内容，是后续学习单项式乘以多项式、多项式乘以多项式以及乘法公式的基础。它在整式运算体系中起着承上启下的作用，连接着有理数的运算和更复杂的整式运算。
2.内容编排特点
教材从实际问题引入，如用含字母的式子表示图形的面积等，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。通过实际问题列出单项式乘法的式子，自然地引出本节课的学习内容。
教材注重知识的形成过程，先通过具体的数字系数和简单字母指数的单项式相乘的例子，如3x2y·2xy2 ，让学生进行计算，观察计算过程中系数和字母指数的变化规律，再归纳出一般的单项式乘以单项式的法则。这种从特殊到一般的编排方式符合学生的认知规律。
3.与前后知识的联系
与前面所学的有理数乘法、同底数幂的乘法等知识密切相关。单项式乘以单项式的系数计算运用有理数乘法法则，字母部分的运算运用同底数幂的乘法法则。同时，本节课的知识也为后面学习整式的除法以及因式分解等内容奠定基础。
二、课程标准内容要求
理解法则：学生要理解单项式乘以单项式的运算法则，明确单项式乘法是基于乘法交换律、结合律以及同底数幂的乘法法则等基础上推导而来的。·
掌握运算：能够熟练运用单项式乘以单项式的法则进行计算，准确计算出单项式相乘的结果，包括系数的相乘以及相同字母的幂的运算，对于只在一个单项式里含有的字母，要能连同它的指数作为积的一个因式。
三、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1. 数学抽象
能从具体的实际问题情境中抽象出单项式乘以单项式的数学模型，比如通过计算长方形面积（长和宽分别为单项式形式）等实际问题，理解用单项式表示数量关系，进而抽象出单项式乘法运算，提升学生从具体到抽象的思维能力。引导学生透过单项式乘以单项式的运算表象，抽象概括出其运算的本质特征和运算法则，使学生能够准确把握单项式乘法运算的内涵。
2. 逻辑推理
在推导单项式乘以单项式运算法则的过程中，依据有理数乘法、同底数幂乘法等已有知识，通过合理的逻辑推导得出新的运算法则 ，培养学生有条理的思考和严谨的逻辑推理能力。运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算和解决问题时，能够清晰地阐述每一步计算的依据，培养学生言必有据的逻辑思维习惯。
3. 数学运算
学生能够熟练、准确地运用单项式乘以单项式的运算法则进行运算，包括系数的乘法、同底数幂的乘法以及单独字母的处理，提高学生的运算能力和运算速度。通过多样化的练习，让学生学会在运算过程中灵活运用运算律，简化运算过程，培养学生的运算技巧和策略选择能力。
4.直观想象
借助图形（如用长方形面积模型来解释单项式乘以单项式的运算原理），帮助学生直观地理解单项式乘以单项式的意义和运算过程，将抽象的数学运算与直观的图形相结合，发展学生的几何直观和空间想象能力。
5. 数学建模
引导学生运用单项式乘以单项式的知识解决实际生活中的问题，如计算工程用料面积、体积等，建立数学模型，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识。让学生经历从实际问题到建立数学模型，再到求解和验证模型的过程，培养学生的数学建模素养和创新实践能力。
（二）目标解析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：
目标1的要求是：能够从具体的数字乘法运算实例中，抽象出单项式乘以单项式的运算模型，理解单项式乘法的本质是系数、同底数幂分别相乘。如通过 3a 2a 这样的式子，引导学生把系数 3 和 2，同底数幂 a 和 a 分别看作整体进行运算，从而抽象出单项式乘法法则。
目标2的要求是：依据乘法交换律、结合律以及同底数幂的乘法法则，推导单项式乘以单项式的运算法则。例如在计算 4x y 3xy 时，根据乘法交换律和结合律变形为 (4×3) (x x) (y y ) ，再依据同底数幂乘法法则得出结果，这个过程就是逻辑推理的体现。
目标3的要求是：学生能熟练准确地进行单项式乘以单项式的运算，掌握运算的步骤和方法，提高运算能力。
比如计算 -5m n 4mn ，能正确计算系数 -5×4=-20，同底数幂 m m=m ，n n =n ，最后得出结果为 -20m n 。
目标4的要求是：借助图形直观理解单项式乘以单项式的算理，如通过长方形面积的分割与组合，直观呈现单项式乘法的运算过程。
可以画出长为 a+b，宽为 c 的长方形，将其分割为长为 a 宽为 c 和长为 b 宽为 c 的两个小长方形，从面积角度理解 (a + b) c = ac + bc ，类似的方式也可用于理解单项式乘法。
目标5的要求是：能运用单项式乘以单项式的知识解决实际生活中的问题，建立数学模型。
如在计算长方形面积时，若长为 3a ，宽为 2b ，则可通过单项式乘法建立面积模型 S = 3a 2b = 6ab 。
四、学生学情分析
学生基础情况
1.知识掌握：
学生在小学阶段已经学习了整数的乘法运算，对乘法的基本概念和运算法则有了一定的了解，例如乘法交换律、结合律等，这为学习单项式乘以单项式提供了运算基础。
在七年级上册，学生已经学习了整式的相关概念，如单项式、多项式、系数、次数等，能够准确识别单项式的系数和次数，这是学习单项式乘法的重要前提。
2.技能水平：
学生已经具备了一定的观察、分析和归纳能力，能够通过观察简单的数学现象，发现一些初步的规律，并尝试进行归纳总结。在学习单项式乘以单项式时，他们可以通过观察算式的特点，尝试找出运算的规律。
具有一定的逻辑思维能力，能够进行简单的逻辑推理和运算。在整式的加减运算学习中，学生已经经历了一定的逻辑推理过程，这有助于他们理解单项式乘法的算理。
学生学习难点
1.对运算法则的理解
乘法交换律和结合律的运用：在单项式乘以单项式的运算中，需要运用乘法交换律和结合律将系数与系数相乘、同底数幂与同底数幂相乘。对于刚接触这些知识的七年级学生来说，可能难以理解为什么要这样做以及如何正确地运用这些运算律。例如计算3a2b· 2ab3，学生可能不明白为什么要先将3与2相乘，a2与a相乘，b与b3相乘，而不是按照式子原来的顺序直接计算。
法则的推导过程：单项式乘以单项式的法则是通过乘法的交换律、结合律以及同底数幂的乘法法则推导出来的。学生在理解这个推导过程时可能会有困难，因为这涉及到多个数学概念和法则的综合运用。如果学生对前面的知识掌握不牢固，就很难理解单项式乘以单项式法则的合理性和正确性，从而影响对法则的记忆和运用。
2.运算中的符号处理
正负号的确定：当单项式的系数为负数时，学生在计算过程中容易出现符号错误。例如计算(-2x2y)·3xy2，学生可能会忘记将系数-2和3相乘得到-6，或者在计算同底数幂相乘时忽略符号的影响。
多个负号的运算：如果式子中出现多个带有负号的单项式相乘，符号的处理会更加复杂，学生更容易出错。比如(-3a2b)·(-2ab2)·(-4a3b3))，学生需要根据 “负负得正” 的原则，正确判断最终结果的符号，这对学生的符号感和运算能力是一个较大的挑战。
不同底数幂的处理
化为同底数幂：当遇到底数不同但可以通过变形化为同底数幂的情况时，学生可能不知道如何进行转化。例如计算\(2^{3}\times 4^{2}\times 8\)，需要将\(4\)化为\(2^{2}\)，\(8\)化为\(2^{3}\)，然后再根据同底数幂的乘法法则进行计算。学生如果对幂的意义和同底数幂的概念理解不深刻，就很难想到这种转化方法。
无法化为同底数幂：当两个单项式的底数不能化为同底数时，学生可能会感到困惑，不知道该如何进行计算。例如32×53，这种情况下不能直接运用单项式乘以单项式的法则进行简便计算，学生可能会试图强行将其转化为同底数幂，或者不知道该如何处理，导致计算错误或无法进行下去。
综合运算中的错误
与其他运算的混淆：当单项式乘以单项式与其他运算（如加法、减法、幂的乘方等）混合在一起时，学生可能会忘记运算顺序，或者对不同运算的法则产生混淆。例如计算2a2·3a3-（a2）3+4a5，学生需要先进行单项式乘法和幂的乘方运算，再进行加减法运算。如果学生对这些运算的顺序和法则不熟悉，就很容易出现错误。
忽略指数为 1 的情况：在单项式中，当字母的指数为1时，通常省略不写。学生在计算时可能会忽略这一点，导致计算错误。例如计算3a· 2a2，学生可能会只将a的指数2与a相乘，而忘记3a中的a的指数为1，应该将指数相加得到a3。
学生学习需求
1.知识理解需求
概念清晰化：学生需要清晰理解单项式的概念，包括什么是单项式的系数、次数等，这是学习单项式乘以单项式的基础。例如，要明确像3x2中，3是系数，2是次数。
运算法则推导：学生渴望理解单项式乘以单项式的运算法则是如何推导出来的。通过乘法交换律、结合律以及同底数幂的乘法法则等，推导出单项式相乘时，系数与系数相乘，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。比如计算2x2y·3xy2，学生需要明白为什么可以将系数2和3相乘，x的幂和x的幂相乘，y的幂和y的幂相乘。
知识关联：学生希望将单项式乘以单项式与之前学过的整式的概念、有理数的乘法、同底数幂的乘法等知识建立联系，形成完整的知识体系，明白数学知识之间是相互关联、逐步递进的。
2.技能掌握需求
运算技能：学生需要熟练掌握单项式乘以单项式的运算技能，能够准确、快速地进行计算，包括正确处理系数的乘法、同底数幂的运算以及字母的书写等，提高计算的准确性和速度。例如，能正确计算(-5a2b3)·(4b2c)。
化简技能：在一些复杂的式子中，学生要学会运用单项式乘以单项式的法则进行化简，为后续学习多项式的乘法、因式分解等内容做好铺垫。比如化简3x(x2 - 2x + 1) - 2x2(x - 3)时，就需要先运用单项式乘以多项式法则将式子展开，其中就涉及单项式乘以单项式的运算。
3.思维发展需求
逻辑思维：通过学习单项式乘以单项式，学生需要培养逻辑思维能力，学会有条理地分析问题、推导结论，按照运算法则逐步进行计算和推理。
创新思维：在解决一些具有一定难度或开放性的问题时，学生希望有机会发挥创新思维，尝试不同的方法和思路，培养解决问题的能力。例如，在探究am·an·ap（m、n、p为正整数）与单项式乘法的关系时，鼓励学生从不同角度思考，尝试用多种方法进行推导和验证。
4.学习方法需求
自主学习方法：学生需要掌握自主学习的方法，学会预习、复习，能够自己阅读教材、理解概念、尝试解决问题，在学习单项式乘以单项式之前，学生可以通过预习教材，初步了解运算法则，尝试做一些简单的练习题，找出自己不理解的地方，在课堂上有针对性地听讲。
合作学习方法：学生希望通过合作学习，与同学交流讨论，共同解决问题，分享学习心得和方法。在学习单项式乘以单项式时，可通过小组合作的方式，让学生共同探究法则的应用，互相检查计算过程，纠正错误，这样有助于培养学生的合作意识和沟通能力。
5.情感需求
学习兴趣：学生希望学习内容能够生动有趣，通过有趣的数学故事、实际生活中的应用案例等激发学习单项式乘以单项式的兴趣，让他们感受到数学的魅力和实用性。
成就感：学生在学习过程中，希望通过自己的努力和付出，能够掌握知识和技能，在解决问题和完成练习中获得成就感，增强学习数学的自信心。
五、教学策略分析
情境导入法：创设生活中常见的面积计算情境，如计算长方形场地的面积，场地的长和宽分别用单项式表示，从而引出单项式乘以单项式的问题，激发学生的学习兴趣和探究欲望。
引导探究法：在教学过程中，教师通过提问、引导学生观察、分析具体的单项式乘法例子，让学生自主探究运算法则，培养学生的自主学习能力和探索精神。
练习巩固法：设计有针对性的练习题，让学生在练习中巩固所学的单项式乘以单项式的运算法则，及时发现并解决学生在运算过程中出现的问题。
六、教学重难点
（一）重点：对单项式运算法则的理解和应用。
（二）难点：熟练运用单项式的运算法则计算并解决实际问题。
七、教学过程
教学流程
活动一：创设情境，导入新课
【情境引入】
京京用两张同样大小的纸，精心制作了两幅画．如图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有x m的空白．
　　　　　
(1)第一幅画的画面面积是多少平方米？第二幅呢？你是怎样做的？
(2)若把图中的1.2x改为nx，其他不变，则两幅画的面积又该怎样表示呢？
设计意图：通过生活问题情境的分析，得出单项式乘以单项式的计算，自然引入新课。
活动二：交流合作，探究新知
探究点1 单项式的运算
问题(1)中算式1.2x·x表示第一幅画的面积，怎样表示最简洁的结果，1.2x·x是单项式与单项式相乘，也可以表示为1.2·x·x得到的结果是1.2x2.
问题(2)中第一幅画的面积是nx·x＝nx2，单项式乘单项式，第二幅画的面积是nx·，单项式乘多项式．
探究点2 单项式乘单项式计算法则
计算：
(1)2x3·5x2；(2)－4x2y·5xy；(3)－2x2·(－3xy3).
解：(1)原式＝(2×5)·(x3x2)＝10x5；
(2)原式＝(－4×5)·(x2x)·(yy)＝－20x3y2；
(3)原式＝(－2)×(－3)·(x2x)·y3＝6x3y3.
师生共同归纳：单项式与单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
剖析法则：
(1)法则实际分为三点：①系数相乘——有理数的乘法；②相同字母相乘——同底数幂的乘法；③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式；
(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则；
(3)单项式相乘的结果仍是单项式。
设计意图：让学生经历单项式乘以单项式法则的推导过程，归纳出运算法则，再通过例题训练学生正确应用运算法则进行计算。
活动三：变式训练，巩固提升
例1 计算：(1)2xy2·；
(2)－2a2b3·(－3a)；
(3)7xy2z·(2xyz)2；
(4)(4×105)·(5×104)；
(5)(x2y2)·(－4xy2).
【方法指导】运用幂的运算法则和单项式乘单项式的法则计算即可．
解：(1)原式＝x2y3；(2)原式＝6a3b3；(3)原式＝28x3y4z3；(4)原式＝20×109＝2×1010；(5)原式＝－4x3y4.
例2 已知－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项，求m2＋n的值．
【方法指导】根据－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项可得出关于m，n的方程，进而求出m，n的值，即可得出答案．
解：因为－2x3m+1y2n与7x5m-3y5n-4的积与x4y是同类项，所以3m＋1＋5m－3＝4，2n＋5n－4＝1，解得m＝，n＝.所以m2＋n＝＋＝.
例3 有一块长为x m，宽为y m的长方形空地，现在要在这块地中规划一块长x m，宽y m的长方形空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积．
【方法指导】先求出长方形的面积，再求出绿化的面积，两者相减即可求出剩下的面积．
解：长方形的面积是xy m2，绿化的面积是x×y＝xy(m2)，则剩下的面积是xy－xy＝xy(m2).
设计意图:巩固对单项式乘以单项式运算法则的理解和运用。
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】
1．计算2a3·3a4的结果是(C)
A．5a7 B．5a8 C．6a7 D．6a8
2．计算(8×104)×(5×103)的结果是(B)
A．4×107 B．4×108 C．13×107 D．1.3×108
3．若(am+1bn+2)·(a2n-1·b)＝a5b3，求m＋n的值．
解：根据题意，得m＋1＋2n－1＝5，n＋2＋1＝3，解得m＝5，n＝0.所以m＋n＝5.
4．课本P13随堂练习第1题。
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.这节课你的主要收获是什么？
2．探究单项式乘单项式法则时，我们运用了哪些方法？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P16习题1.2第1题。
2.相应课时训练。
八、板书设计
1. 单项式乘以单项式
1. 单项式与单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．
2. 注意：(1)法则实际分为三点：①系数相乘——有理数的乘法；②相同字母相乘——同底数幂的乘法；③只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式；
(2)不论几个单项式相乘，都可以用这个法则；
(3)单项式相乘的结果仍是单项式。
九、教学反思
（一）课前反思
在教学目标的设定上，我旨在让学生理解单项式乘以单项式的运算法则，熟练运用该法则进行运算。但回顾目标设定，我意识到应进一步细化目标，例如根据学生的不同层次，设定分层目标，使基础薄弱的学生掌握基本运算，而学有余力的学生能解决更具挑战性的问题。
学情分析方面，七年级学生正处于从算术思维向代数思维过渡的关键时期，虽然他们已掌握了有理数乘法、幂的运算等基础知识，但对于抽象的单项式乘法运算可能理解起来仍有困难。在后续教学中，我需要更多地从学生熟悉的实例引入，帮助他们更好地理解概念。
在教学方法的选择上，我计划采用讲授法与练习法相结合，引导学生逐步掌握运算法则。但单一的方法可能会使课堂枯燥，我考虑增加小组合作探究环节，让学生在交流讨论中深化对知识的理解。
教学过程设计中，导入部分我原计划直接从复习旧知引入，这样虽能衔接知识，但可能缺乏趣味性。我想可以换成生活中的实际问题，如计算房间面积涉及的单项式乘法，以此激发学生的学习兴趣。另外，在例题讲解环节，应预留更多时间让学生自主思考和提问，及时解决他们的疑惑。
（二）课后反思
从教学目标达成来看，多数学生能够理解单项式乘以单项式的运算法则，并能进行简单计算，基本达成知识与技能目标。在教学过程中，通过实例引入，从简单的数字乘法过渡到单项式乘法，让学生逐步理解其原理，这一方法较为有效。比如以长方形面积计算为例，引出单项式相乘的实际需求，学生接受度较高。
但教学方法上仍有改进空间。在讲解运算法则时，虽采用了多种方式，但小组讨论环节组织不够高效，部分学生参与度不高，讨论流于形式。同时，在练习环节，对基础薄弱学生的关注不足，未能及时给予针对性指导。
学生在课堂上的表现整体积极，但在法则应用时，部分学生对系数、同底数幂的运算容易混淆，反映出对概念理解不够深入。

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