资源简介

第三节 乘法公式（第1课时）
教学设计
一、教学内容和内容解析
（一）教学内容
教材第18～19页，乘法公式（1）
（二）教学内容解析
平方差公式是初中数学代数部分的重要内容，它是在学生已经学习了整式乘法的基础上进行的。作为一种特殊的多项式乘法运算公式，平方差公式不仅是对整式乘法知识的进一步深化和拓展，而且为后续学习因式分解、分式运算等知识奠定了基础，在整个初中数学知识体系中起着承上启下的作用。
教材通过一个面积计算的实际问题情境，引导学生运用多项式乘法法则进行计算，从而发现特殊的运算规律，进而引出平方差公式。这样的编排方式，让学生感受到数学知识来源于生活实际，能够激发学生的学习兴趣和探究欲望。教材在给出平方差公式后，详细展示了公式的推导过程，从具体的数值计算到一般的字母表示，让学生逐步理解公式的形成过程，体会从特殊到一般的数学归纳方法，有助于培养学生的逻辑思维能力。另外，教材配备了大量不同层次、不同类型的例题和练习题，从简单的直接应用公式计算，到对公式进行变形后的应用，逐步加深学生对公式的理解和掌握程度，同时也培养了学生分析问题和解决问题的能力。
二、课程标准内容要求
理解公式：学生要理解平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2的含义，清楚两数和与这两数差的积与它们平方差之间的关系。
掌握特征：掌握平方差公式的结构特征，明白公式左边是两个二项式相乘，且有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是相同项的平方减去相反项的平方。
学会运算：能够运用平方差公式进行简单的乘法运算，准确地对符合平方差公式形式的式子进行计算。
三、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1. 数学抽象
学生能从具体的数字运算和几何图形面积计算等实例中，如计算(5 + 3)(5 - 3)与52-32的结果并观察关系，以及边长为a的大正方形中挖去边长为b的小正方形求剩余面积等，抽象出平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2的符号表达形式，理解公式中a、b可以代表任意数或整式，把握公式的本质特征。
2. 逻辑推理
在探索平方差公式的过程中，通过对多个具体例子的计算、观察、比较、分析，如计算(2 + 1)(2 - 1)、(3 + 2)(3 - 2)等，归纳猜想出平方差公式的形式，培养从特殊到一般的合情推理能力。
演绎推理：利用多项式乘法法则(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd，对(a + b)(a - b)进行展开推导，得出a2-b2，这一过程培养学生从已知的乘法法则出发，进行严谨的演绎推理，证明公式的正确性的能力。
3. 数学运算
学生能够准确运用平方差公式进行简单的数值计算和整式化简，如计算(100 + 1)(100 - 1)，(2x + y)(2x - y)等，提高运算的速度和准确性。
灵活运算：学会对式子进行适当变形后运用平方差公式，如计算(-3x - 5y)(5y - 3x)时，能将其变形为(-3x - 5y)(-3x + 5y)再进行计算，培养运算的灵活性和技巧性。
4.直观想象
通过构造几何图形，如边长为a和b的两个正方形的组合图形来解释平方差公式的几何意义，让学生直观地理解a2-b2与(a + b)(a - b)之间的关系，增强学生利用几何图形解决代数问题的意识和能力。在解决一些与平方差公式相关的立体几何问题或动态几何问题时，能在脑海中构建出相应的空间图形和变化过程，如一个长方体的棱长变化与表面积变化可以用平方差公式来分析等，提升空间想象能力。
5. 数学建模
能从生活和数学中的实际问题，如计算土地面积的增减、物体运动的距离差等，抽象出平方差公式的数学模型，建立问题与公式之间的联系，运用公式解决实际问题，体会数学的应用价值。在掌握平方差公式基本模型的基础上，能将其拓展应用到更复杂的数学问题和实际情境中，如解决一些具有一定变化规律的数列问题、经济增长模型中的差值计算等，培养学生的数学建模和创新意识。
（二）目标解析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：
目标1的要求是：在平方差公式的教学中，引导学生从具体的多项式乘法运算实例出发，如计算(x + 1)(x - 1)、(n + 2)(n - 2) 、(x - 2y)(x + 2y)等，观察这些式子的结构特点以及运算结果的特征。学生通过对多个这样具体例子的计算和分析，舍去式子中具体数字和字母的非本质属性，抽象概括出平方差公式的一般形式a2-b2 = (a + b)(a - b) 。这个过程让学生学会从具体的数学现象中提炼出抽象的数学概念和公式，提升数学抽象能力，使其能够透过现象看本质，把握数学知识的内在结构和规律。
目标2的要求是：在探索平方差公式的推导过程中，培养学生的逻辑推理能力。例如通过几何图形的面积计算来验证平方差公式，在边长为a的正方形中，减去一个边长为b的小正方形，剩余图形的面积可以表示为a2-b2 ；同时，将剩余图形通过割补法转化为长为a + b，宽为a - b的长方形，其面积为(a + b)(a - b) 。通过这样的几何直观演示，让学生从图形的转化和面积的不变性出发，进行合理的逻辑推导，得出a2-b2 = (a + b)(a - b) 。在代数推导中，运用多项式乘法法则(a + b)(a - b)=a2-ab+ab-b2，通过合并同类项得出平方差公式，这一过程体现了从已知的多项式乘法法则出发，按照一定的逻辑规则进行推导，得出新的数学结论的过程，有助于学生逻辑推理素养的形成。
目标3的要求是：平方差公式的学习为学生进行数学运算提供了更简便的方法，能有效提升学生的数学运算能力。在应用环节，学生需要准确识别题目中哪些式子符合平方差公式的结构特征，然后运用公式进行计算。例如计算(3x - 5)(3x + 5） ，学生要能判断出这里a = 3x，b = 5，然后根据公式快速得出(3x)2 - 52 = 9x2 - 25 。在解决一些复杂的整式乘法运算时，学生通过运用平方差公式进行变形和计算，不仅提高了运算的准确性，还加快了运算速度，在反复练习和应用中，不断优化运算方法，强化数学运算素养。
目标4的要求是：在教学时，教师可借助正方形、矩形等几何图形来展示平方差公式。比如，在一个边长为a的正方形中，挖去一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积就可以用a2-b2来表示。同时，将剩余部分进行拼接转化为长为a + b、宽为a - b的矩形，其面积又可表示为(a + b)(a - b)。通过这样的图形演示，学生能够直观地看到a2-b2与(a + b)(a - b)之间的联系，从而理解平方差公式的几何意义。这不仅有助于学生对公式的记忆，更能让学生从直观的角度体会到数学知识之间的内在联系，发展他们的直观想象能力。
目标5的要求是：通过解决实际问题，培养学生运用平方差公式建立数学模型的能力。例如在计算几何图形面积问题中，如果已知一个大正方形的边长比小正方形的边长多某个数值，求两个正方形面积之差，就可以引导学生将其转化为平方差公式的数学模型来求解 。又如在实际生活中，遇到价格波动、数量变化等问题，若能抽象成两个量的和与差的乘积形式，也可以运用平方差公式进行分析和计算。学生在将实际问题转化为数学问题，并运用平方差公式建立模型求解的过程中，逐步形成数学建模素养，学会用数学的眼光观察世界，用数学的思维分析世界，用数学的语言表达世界。
四、学生学情分析
学生基础情况
1.知识掌握：
整式运算基础：学生已经学习了整式的概念、单项式与多项式的乘法等知识，能够进行简单的整式乘法运算，如a(b + c)=ab + ac，这为推导平方差公式提供了运算基础。
有理数运算基础：学生在之前的学习中熟练掌握了有理数的加、减、乘、除、乘方等运算，能够准确进行数值计算，这有助于理解平方差公式中各项的数值运算。
代数式求值基础：学生已经学会了用具体的数值代入代数式进行求值，对于用字母表示数的思想有了一定的理解，能在具体情境中用代数式表示数量关系，这使他们在学习平方差公式时，更容易理解公式中字母的含义和作用。
2.技能水平：
观察能力：经过一段时间的数学学习，学生具备了一定的观察能力，能够观察到一些数学式子的特征和规律。在学习平方差公式时，他们可以通过观察式子的形式，如(a + b)(a - b)，发现其与已学的整式乘法的不同之处和特点。
运算技能：学生通过大量的整式乘法运算练习，已经具备了一定的运算技能和运算速度，能够较为熟练地运用乘法分配律等进行计算，这为推导和运用平方差公式进行计算提供了技能保障。
初步的逻辑推理能力：在之前的数学学习中，学生经历了一些简单的推理过程，如说明几何图形的一些性质等，具备了初步的逻辑推理能力。在推导平方差公式时，他们能够根据已有的知识和运算规则，进行一定的逻辑推导和论证。
学生学习难点
1.公式的理解
结构特征把握困难：平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2具有独特的结构特征，学生可能难以准确理解和把握。对于公式中相同项\(a\)与互为相反数的项b和-b的识别会存在困难，在具体题目中，当式子的形式较为复杂或不是以标准形式呈现时，如(2x + 3y)(-3y + 2x)，学生可能无法快速准确地判断出可以运用平方差公式，也难以确定哪个是a，哪个是b。
公式本质理解不深：学生可能只是机械地记忆公式的形式，而不理解公式所蕴含的数学原理和本质。平方差公式实际上是多项式乘法的一种特殊情况，是通过几何图形面积的计算或多项式乘法法则推导出来的，但学生可能对推导过程理解不透彻，导致在运用公式时只是生搬硬套，不能灵活运用。
公式的运用
系数和指数的处理：当公式中的a和b是含有系数和指数的代数式时，学生容易出现错误。例如计算(3x2+2y)(3x2-2y)，在运用公式时需要对系数和指数进行正确的运算，学生可能会忘记对系数进行平方，或者在指数运算上出现错误，误写成(3x2)2}-2y2或3(x2)2-(2y)2等。
多次运用公式的混淆：在一些较为复杂的题目中，可能需要多次运用平方差公式才能得出结果，这对学生来说难度较大。例如(a + b)(a - b)(a2+b2)(a4+b4)，学生需要先利用平方差公式计算(a + b)(a - b)=a2-b2，然后再将(a2-b2)与(a2+b2)继续利用平方差公式计算，依次类推。在这个过程中，学生很容易在多次运用公式时出现混淆，忘记已经计算到哪一步，或者在符号和运算上出现错误。
与其他公式的混淆：在学习了多个乘法公式后，学生容易将平方差公式与完全平方公式等其他公式混淆。例如把(a - b)(a + b)错误地写成a2-2ab + b2，或者在应该使用完全平方公式的题目中错误地使用平方差公式。
实际问题中的应用
问题转化困难：将实际问题转化为数学模型并运用平方差公式求解，对学生来说具有一定的挑战性。学生需要能够从实际问题中抽象出数学关系，判断是否可以使用平方差公式，然后建立相应的数学表达式进行计算。例如，在计算一个长方形的长和宽分别增加和减少相同的长度后面积的变化问题时，学生需要将长和宽的变化用代数式表示出来，再利用平方差公式计算面积的变化量，但很多学生在这一转化过程中会遇到困难。
结果的实际意义理解：即使学生能够正确地运用平方差公式得出计算结果，也可能在理解结果的实际意义上存在困难。他们可能只是关注于数学计算，而忽略了结果在实际问题中的含义，无法对结果进行合理的解释和应用。
学生学习需求
1.知识基础需求
理解公式本质：学生需要理解平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2的结构特征和本质含义，明白它是对多项式乘法的一种特殊情况的归纳和总结，能够识别公式中的a和b可以是具体的数字、字母，也可以是单项式或多项式。
掌握公式推导：学生应掌握平方差公式的推导过程，通过多项式乘法法则(a + b)(c + d)=ac + ad + bc + bd，将(a + b)(a - b)展开得到a2-ab + ab - b2=a2-b2，这种从一般到特殊的推导方式有助于学生理解公式的来源，增强对公式的记忆和运用能力。
学会公式运用：学生要能够熟练运用平方差公式进行简单的整式乘法运算，能够准确地将给定的式子转化为平方差公式的形式，然后进行计算，并且能够利用平方差公式简化一些复杂的计算问题。
2.素养需求
数学抽象素养：学生要能够从具体的数学问题和情境中，抽象出平方差公式的数学模型，将实际问题转化为数学问题，并用平方差公式进行解决，提高数学抽象能力。
数学运算素养：通过运用平方差公式进行运算，学生需要提升数学运算素养，不仅要保证运算结果的准确性，还要注重运算的合理性和简洁性，能够根据式子的特点灵活运用公式进行简便运算。
五、教学策略分析
情境导入策略：创设生活情境，如计算一个边长为 (a + b) 米的正方形场地，在一边减少 b 米，另一边增加 b 米后，新场地的面积与原场地面积的差值。通过实际问题引出平方差公式的探究，让学生感受到数学与生活的紧密联系，激发学生的学习兴趣。
探究式教学策略：引导学生通过多项式乘法法则计算 (a + b)(a - b)，让学生自主观察计算结果，发现规律，尝试归纳出平方差公式。在这个过程中，教师给予适当的引导和提示，鼓励学生大胆质疑、积极思考，培养学生的自主探究能力。
小组合作学习策略：组织学生进行小组合作，共同完成一些与平方差公式相关的拓展练习，如利用平方差公式进行简便运算，讨论公式中字母 a、b 可以表示的不同形式等。通过小组合作，促进学生之间的交流与思维碰撞，培养学生的合作意识和团队精神。
多媒体辅助教学策略：运用多媒体展示平方差公式的几何意义，通过图形的动态变化，让学生更加直观地理解公式的本质。同时，利用多媒体展示一些典型例题和练习题，提高课堂教学效率。
六、教学重难点
（一）重点：探索平方差公式的过程。
（二）难点：会用平方差公式进行计算。
七、教学过程
教学流程
活动一：创设情境，导入新课
【情境引入】
1．回顾整式乘法中多项式与多项式相乘：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用字母表示为(m＋b)(n＋a)＝mn＋ma＋bn＋ba.
2．老王把一块边长为x m的正方形土地租给老张种植，有一天，老王对老张说：“我把这块地的东边减少5 m，再在北边增加5 m，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”老张一听觉得没有吃亏，就答应了，回到家中，他把这件事对儿子讲了，儿子一听，说：“你吃亏了．”老张非常吃惊，同学们，你能说出这是为什么吗？
解：因为(x－5)(x＋5)＝x2－25，x2－25比原土地面积x2小，所以吃亏了．
这节课我们来学习类似(x－5)(x＋5)这样的多项式的乘法公式．
设计意图：利用生活情境得出平方差公式模型，自然课题。
活动二：交流合作，探究新知
探究点1 探究平方差公式
计算下列各题：
(1)(x＋2)(x－2); (2)(1＋3a)(1－3a)；
(3)(x＋5y)(x－5y); (4)(2y＋z)(2y－z).
解：(1)原式＝x2－22＝x2－4; (2)原式＝1－(3a)2＝1－9a2；
(3)原式＝x2－(5y)2＝x2－25y2; (4)原式＝(2y)2－z2＝4y2－z2.
探究点2 归纳平方差公式的特征
(1)(x＋2)(x－2)＝x2－4；
(2)(1＋3a)(1－3a)＝1－9a2；
(3)(x＋5y)(x－5y)＝x2－25y2；
(4)(2y＋z)(2y－z)＝4y2－z2.
问题：观察、分析这组题目，左边的算式具有什么共同特征？右边的结果有什么共同特征？
左边的算式是两个二项式相乘，并且有一项完全相同，另一项互为相反数．右边的结果是乘式中两项的平方差，即(相同项)2－(互为相反数的项)2．
师生共同归纳：平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差．字母表示为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
设计意图：让学生经历=平方差公式的推导过程，通过观察、对比、分析得到公式的结构特征，归纳出平方差公式。
活动三：变式训练，巩固提升
例1 利用平方差公式计算：
(1)(5＋6x)(5－6x)；　(2)(x－2y)(x＋2y)；　(3)(－m＋n)(－m－n).
【方法指导】直接用平方差公式计算．
解：(1)原式＝52－(6x)2＝25－36x2；
(2)原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2；
(3)原式＝(－m)2－n2＝m2－n2.
例2 利用平方差公式计算：
(1)； (2)(ab＋8)(ab－8).
【方法指导】进一步理解平方差公式，ab在(2)中可以表示一个整式．
解：(1)原式＝－y2＝x2－y2；
(2)原式＝(ab)2－82＝a2b2－64.
例3 计算(a－1)(a＋1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)＋1的结果是()
A．2a8 B．a16 C．a8 D．a16－1
【方法指导】先观察算式符合平方差公式特点，(a－1)(a＋1)＝a2－1，再用(a2－1)(a2＋1)＝a4－1，(a4－1)(a4＋1)＝a8－1，(a8－1)(a8＋1)＝a16－1，a16－1＋1＝a16，得到结果是a16.
答案：B
设计意图:巩固对平方差公式的理解和加强公式的运用。
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】
1．判断正误，如果错误，应怎样改正？
(1)(－a－b)(a－b)＝－a2＋b2；(√)
(2)(－a＋b)(－a－b)＝－a2－b2；(×)
改正：(－a＋b)(－a－b)＝a2－b2；
(3)(2x＋3)(2x－3)＝2x2－9；(×)
改正：(2x＋3)(2x－3)＝4x2－9；
(4)(3x－1)(－3x－1)＝9x2－1.(×)
改正：(3x－1)(－3x－1)＝1－9x2.
2．计算：(1)(a－b)(a＋b)(a2＋b2)；
(2)(－3m－0.5xy).
解：(1)原式＝a4－b4；(2)原式＝9m2－x2y2.
3．课本P19随堂练习第1题。.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.本节课你学到了哪些数学知识？平方差公式的结构特征是什么？
2．我们为什么要学习平方差公式，学了它我们能做什么呢？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P24习题1.3第1题。
2.相应课时训练。
八、板书设计
1. 平方差公式的认识
1.平方差公式的特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数；右边是左边的相同项的平方减去互为相反数的项的平方。
2.公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2中的字母a，b可以是单项式，也可以是多项式。
九、教学反思
（一）课前反思
从学情来看，七年级学生正处于从算术思维向代数思维过渡的关键阶段。他们已经掌握了有理数运算、整式的加减等基础知识，对简单的代数式运算有了一定经验，但对于抽象的数学公式推导和理解可能存在困难。在之前的学习中，学生多是直观地认识数学概念，而平方差公式较为抽象，如何引导他们从具体运算过渡到公式的抽象概括，是教学面临的挑战。
教学目标设定上，知识与技能目标是让学生理解平方差公式的结构特征，能正确运用公式进行简单计算；过程与方法目标是通过经历探索平方差公式的过程，培养学生观察、归纳、概括等能力；情感态度与价值观目标是在探索活动中，培养学生合作交流的意识和勇于探索的精神。然而，在实际教学中，要确保各层次学生都能在达成目标上有所收获，还需在教学方法和练习设计上多下功夫。
教学方法方面，计划采用情境导入法，通过创设生活中的实际问题情境，引出平方差公式的探究，激发学生兴趣。在探究过程中，运用小组合作探究法，让学生通过计算、观察、比较等活动，自主发现平方差公式。但在小组合作中，可能会出现部分学生参与度不高的情况，需要提前考虑如何有效引导和监督。
（二）课后反思
教学目标达成情况：教学目标设定为让学生理解平方差公式的结构特征，能够熟练运用公式进行简单计算，并经历公式的推导过程，培养学生的观察、归纳和推理能力。从课堂练习和学生的反应来看，大部分学生能够识别平方差公式的形式，运用公式进行基本的计算。然而，在复杂一点的题目中，如对公式中 a、b 的识别出现混淆时，部分学生就难以准确解题，这表明学生对公式的理解还不够深入，在后续教学中需要加强对公式本质的剖析练习。
教学方法运用：采用了情境引入、小组合作探究以及多媒体辅助教学的方法。通过创设生活中的实际问题情境，激发了学生的学习兴趣，让学生感受到数学与生活的紧密联系。在小组合作探究环节，学生积极讨论，相互交流想法，在合作中共同推导平方差公式，培养了合作能力和自主探究能力。多媒体的使用，将抽象的公式以直观的形式展示，帮助学生更好地理解。但在小组合作过程中，个别小组讨论效率不高，存在部分学生参与度低的情况，以后要加强小组合作的组织和引导。
学生参与度：课堂上大部分学生能够积极参与到提问、讨论等环节，但仍有少数学生较为被动。在今后的教学中，要关注这部分学生，采用多样化的提问方式，鼓励他们积极发言，提高他们的课堂参与度。
改进措施:
1.增加典型例题和针对性练习，尤其是对公式中 a、b 不同形式的强化练习，加深学生对公式结构的理解。
2.优化小组合作学习的组织形式，明确小组分工，提高小组讨论的效率。
3.设计更多有趣的教学活动，激发学生的学习兴趣，让全体学生都能积极主动地参与到数学学习中。

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