资源简介

第三节 乘法公式（第2课时）
教学设计
一、教学内容和内容解析
（一）教学内容
教材第19～20页，乘法公式（2）
（二）教学内容解析
在新北师大版七年级数学下册第一章第三节第二课时中，平方差公式的应用是整式乘除知识体系的关键部分。它不仅是对之前整式乘法运算的深化，更是后续学习因式分解、分式运算以及方程求解等内容的重要基础，在初中数学代数学习进程里起着承上启下的作用。
与前面知识联系：学生在学习平方差公式应用之前，已经掌握了整式的乘法运算，平方差公式实际上是整式乘法中特殊形式的总结归纳。回顾多项式乘以多项式的法则，如(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd，当c = a，d = -b时，就得到了平方差公式，这样能帮助学生从已有知识出发，更好地理解平方差公式的来源和本质。
对后续知识影响：后续学习因式分解时，平方差公式是重要的分解方法之一。例如将x2 - 4进行因式分解，就是直接运用平方差公式得到(x + 2)(x - 2)。在分式运算中，若分子分母出现符合平方差公式形式的多项式，可利用公式进行化简，为分式的约分、通分等运算奠定基础。同时，在解方程、不等式等内容中，平方差公式也会经常被运用到。
二、课程标准内容要求
公式理解与掌握：学生要进一步深入理解平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2的意义，明确公式中a、b可以是具体的数，也可以是单项式、多项式等代数式，能够准确识别平方差公式的结构特征。
计算能力培养：熟练运用平方差公式进行整式乘法的计算，包括直接应用公式计算简单的式子，以及通过适当变形后应用公式进行计算，提高运算的准确性和速度。能够利用平方差公式进行简便运算，如计算接近整十、整百数的两数乘积等，体会公式在简化计算中的作用。
几何意义认知：了解平方差公式的几何背景，通过图形的拼接、面积的计算等方式，直观地理解平方差公式的合理性，体会数形结合的思想。比如能通过边长为a的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分面积与拼成的长方形面积的关系来验证平方差公式。
三、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1. 数学抽象
学生能够从实际问题或具体的数学运算中，观察、分析出具有平方差公式结构特征的式子，将具体的数字、字母和运算关系抽象为平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2的形式，理解公式中a、b可以代表各种数或代数式，培养从具体到抽象的思维能力。熟练运用数学符号来表达平方差公式及其应用过程，能够准确地用符号进行推理和运算，通过对公式的符号化表达，理解数学符号的简洁性和一般性，提高对数学符号的理解和运用能力。
2. 逻辑推理
理解平方差公式的推导过程，能够运用多项式乘法法则等已有知识，逻辑严谨地推导出平方差公式，体会从特殊到一般的推理过程，明白公式成立的依据和条件，发展逻辑推理能力。在运用平方差公式解决问题时，能够依据公式的结构特征，进行合理的逻辑分析和推理。例如，在判断一个式子是否可以运用平方差公式进行计算时，能够通过对式子中各项的观察和分析，进行有条理的思考和判断，并能清晰地阐述推理过程。
3. 数学运算
学生要熟练掌握平方差公式的运算规则，能够准确、快速地运用公式进行整式的乘法运算，提高运算的准确性和速度，如计算(3x + 2y)(3x - 2y)等简单的整式乘法时，能直接运用公式得出9x2-4y2。学会运用平方差公式进行简便运算，通过对式子的变形和转化，将复杂的运算转化为平方差公式的形式，从而简化计算过程，培养运算技巧和灵活性，比如计算102×98时，能转化为(100 + 2)(100 - 2)再进行计算。
4.直观想象
借助几何图形来直观理解平方差公式的几何意义，如通过边长为a和b的正方形面积的拼接与分割，直观地展示平方差公式(a + b)(a - b)=a2-b2，帮助学生建立数与形之间的联系，增强对公式的理解和记忆。
· 图形辅助问题解决：在解决与平方差公式相关的问题时，能够通过绘制几何图形来辅助思考，将抽象的数学问题转化为直观的图形问题，利用图形的直观性来分析问题、寻找解题思路，培养学生的直观想象能力和数形结合的思想。
5. 数学建模
能从实际生活中的问题情境中，抽象出数学模型，运用平方差公式来解决问题，如在计算图形面积问题中，如果一个大正方形中挖去一个小正方形，大正方形边长为a，小正方形边长为b，则剩余部分面积可以用平方差公式a2-b2来表示，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
模型的构建与应用：通过建立平方差公式的数学模型，解决一些具有类似结构的数学问题和实际问题，体会数学模型的通用性和有效性，提高学生的数学应用意识和建模能力。
（二）目标解析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：
目标1的要求是：学生需要从具体的数字运算和代数式示例中，抽象出平方差公式a - b = (a + b)(a - b) 的一般形式。例如，通过计算(3 + 2)(3 - 2)与3 - 2 ，以及(5 + 1)(5 - 1)与5 - 1 等具体数值的运算结果对比，引导学生忽略具体数字，关注运算结构，从而抽象出平方差公式的结构特征，即两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差。
目标2的要求是：在学习平方差公式的应用前，学生需理解公式的推导过程，即通过多项式乘法(a + b)(a - b) = a·a - ab + ba - b·b = a - b ，这一推导过程蕴含着严密的逻辑推理。学生要明白每一步的依据，从乘法分配律到合并同类项，逐步推导出平方差公式，这有助于培养他们的逻辑思维能力。
目标3的要求是：学生要熟练掌握平方差公式，能够准确无误地运用公式进行各类代数式的运算。无论是简单的(2a + b)(2a - b) ，还是复杂一些的(3x + 2y )(3x - 2y ），都能快速准确地得出结果，提高运算的准确性和速度。
目标4的要求是：借助几何图形帮助学生理解平方差公式的几何意义。例如，通过边长为\(a\)的大正方形中去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积可以通过两种方式表示，一种是大正方形面积a 减去小正方形面积b ，即a - b ；另一种是将剩余部分拼成一个长为(a + b) ，宽为(a - b)的长方形，其面积为(a + b)(a - b) ，通过这种直观的图形展示，让学生更深刻地理解平方差公式的本质。
目标5的要求是：引导学生观察生活中的实际问题，发现其中可以用平方差公式解决的数学模型。例如，在计算购买商品时的价格优惠问题，如果商品原价为a元，先提价b元后又降价b元，那么现在的价格就可以用平方差公式(a + b)(a - b)=a - b 来计算，帮助学生理解数学知识与实际生活的紧密联系。
四、学生学情分析
学生基础情况
1.知识掌握：
整式乘法运算基础：学生需要熟练掌握整式的乘法运算规则，包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等。这是学习平方差公式应用的前提，因为平方差公式本质上是多项式乘法的一种特殊形式。
平方差公式基本概念：学生已经学方差公式的基本概念和表达形式，即(a + b)(a - b)=a - b ，了解公式的结构特征，能够识别公式中的a和b。
相关公式理解：学生对平方根的概念有了一定的理解，并且可能已经接触过完全平方公式等其他相关公式，这有助于他们对比和区分不同公式的特点与应用场景。
2.技能水平：
逻辑推理能力：学生具备一定的逻辑推理能力，能够在教师的引导下，通过观察、分析具体的数学问题，尝试进行归纳、总结和推理，从而理解平方差公式在不同情境下的应用规律。
数学运算能力：学生在之前的学习中已经积累了一定的数学运算经验，具备了基本的计算能力。但对于平方差公式的应用，需要进一步提高运算的熟练度和准确性，特别是在处理较为复杂的式子或实际问题中的运算时。
自主学习与合作能力：学生应具有一定的自主学习能力，能够在预习、课后复习等环节中，主动探索平方差公式的应用方法，尝试解决问题。同时，也具备一定的小组合作能力，能够在小组讨论、合作探究等活动中，与同伴交流想法、共同解决问题。
学生学习难点
1.公式理解层面
对公式结构特征把握不准确：平方差公式(a + b)(a - b)=a - b ，学生可能难以准确识别公式中的a和b。比如在(3x + 2y)(3x - 5y)中，会错误地认为可以直接用平方差公式，忽略了2y与5y不相同这一关键，没有理解公式中a与a相同、b与-b互为相反数的结构特征。
对公式中字母含义的理解局限：学生容易将公式中的a和b仅仅理解为单个的数字或字母，而对于a、b可以是单项式、多项式等复杂形式理解不到位。例如对于[(m + n)+p][(m + n)-p]，不能迅速将(m + n)看作公式中的a，p看作b来应用公式。
计算应用层面
在复杂运算中应用公式困难：当式子中存在多个运算或多项式相乘时，学生可能不知道该如何选择和运用平方差公式。如计算(x + 2)(x - 2)(x^{2}+4)，学生可能不明白先利用平方差公式计算(x + 2)(x - 2)得x2-4后，再与(x2+4)继续利用平方差公式计算。
公式逆用不熟练：平方差公式的逆用a - b =(a + b)(a - b)也是一个难点。比如对于9x -25y ，学生可能不能快速想到将其转化为(3x + 5y)(3x - 5y)，在一些化简求值或因式分解问题中，如果不能熟练逆用公式，就无法正确解题。
符号处理易出错：在运用平方差公式时，符号的处理较为关键。例如计算(-2x - 3y)(2x - 3y)，学生可能会在确定a和b的值以及符号变化上出现错误，导致结果错误。
实际应用层面
解决实际问题时建立数学模型困难：当把平方差公式应用到实际问题中，如几何图形面积计算、数字规律探究等，学生难以将实际问题转化为数学模型，找出其中可以应用平方差公式的数量关系。比如在一个大正方形中挖去一个小正方形，已知大正方形边长比小正方形边长多3，求剩余部分面积，学生可能无法想到用平方差公式来求解。
对实际问题中公式应用条件的判断不准确：在实际问题中，需要学生判断是否满足平方差公式的应用条件。有些问题可能存在干扰信息，或者条件隐藏较深，学生难以准确判断能否使用平方差公式以及如何使用。
学生学习需求
公式理解深化：学生要进一步理解平方差公式(a + b)(a - b)=a - b 的结构特征和意义，明确公式中a、b可以是具体数字、单项式，也可以是多项式等1。
运算能力提升：能够熟练运用平方差公式进行整式乘法运算，包括直接应用公式计算简单的多项式乘法，以及在较为复杂的多项式乘法中准确识别并运用平方差公式简化计算过程，提高运算速度和准确性。
简便计算应用：学会运用平方差公式进行简便运算，如计算接近整十、整百等数的乘法，能将其转化为平方差公式的形式来快速得出结果，像99×101=(100 - 1)(100 + 1)=1002-12=9999。
实际问题建模：能够将实际问题中的数量关系抽象为数学模型，利用平方差公式解决实际问题，如计算几何图形的面积、解决生活中的经济问题等。
五、教学策略分析
讲授法：通过清晰的讲解，向学生阐述平方差公式应用的基本原理和步骤，如在讲解例题时，逐步分析解题思路。
练习法：安排针对性的练习题，让学生在练习中巩固平方差公式的应用，如简单的多项式乘法计算、数值简便运算等。
讨论法：提出一些具有启发性的问题，组织学生讨论，如让学生讨论在什么情况下使用平方差公式能简化计算，促进学生思维碰撞。
情境教学法：创设实际生活情境，如计算购买不同规格物品价格问题，将平方差公式应用融入其中，帮助学生理解公式的实用性。
六、教学重难点
（一）重点：会用自己的语言说明公式的特点及平方差公式的应用。
（二）难点：准确理解和掌握公式的结构特征及应用。
七、教学过程
教学流程
活动一：创设情境，导入新课
【情境引入】
如图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形．
　　　　　
提出问题：
(1)请表示图①中阴影部分的面积；
解：S＝a2－b2；
(2)小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图②)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
解：长为a＋b，宽为a－b；S＝(a＋b)(a－b)；
(3)比较(1)(2)的结果，你能验证平方差公式吗？
(4)①叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；
②试比较公式的两种表达式在应用上的差异．
(a＋b)(a－b)＝a2－b2.这节课，我们继续用平方差公式来解决数学问题。
设计意图：创设实际问题情境，感受平方差公式的几何意义。
活动二：交流合作，探究新知
探究点
(1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点：
发现：①都是乘法算式；②下面数字是上面两个数字之间的中间数，这三个数字是相邻数字；③上面算式结果比下面算式结果小1.
(2)从以上的过程中，你发现了什么规律？
比一个数多1和少1的两个数的积，等于这个数的平方减1；
(3)请你用字母表示这一规律，并得出结论．
师生共同归纳：(a－1)(a＋1)＝a2－1.
设计意图：让学生经历平方差公式的逆应用过程，通过观察、对比、分析进一步公式的结构特征，理解公式中的a与b所对应的数或者式，进一步理解公式并正确应用公式进行计算。
活动三：变式训练，巩固提升
例1 用平方差公式进行计算：
(1)103×97；(2)118×122.
【方法指导】(1)103比100多3，97比100少3，可以写成(100＋3)(100－3)，再用平方差公式计算；(2)118比120少2，122比120多2，可以写成(120－2)(120＋2)，再用平方差公式计算．
解：(1)原式＝(100＋3)(100－3)
＝1002－32
＝9 991；
(2)原式＝(120－2)(120＋2)
＝1202－22
＝14 396.
例2 用平方差公式进行计算：
(1)20×19；(2)13.2×12.8.
【方法指导】(1)可改写成×，利用平方差公式计算；(2)可改写成(13＋0.2)×(13－0.2)，利用平方差公式计算．
解：(1)原式＝×
＝202－
＝399；
(2)原式＝(13＋0.2)×(13－0.2)
＝132－0.22
＝168.96.
例3 计算：
(1)a2(a＋b)(a－b)＋a2b2；
(2)(2x－5)(2x＋5)－2x(2x－3).
【方法指导】综合应用单项式(多项式)乘多项式计算，注意平方差公式的结构特征，用平方差公式计算简便．
解：(1)原式＝a2(a2－b2)＋a2b2
＝a4－a2b2＋a2b2
＝a4；
(2)原式＝4x2－25－4x2＋6x
＝6x－25.
例4 如图①，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把剩下部分拼成一个梯形(如图②)，利用这两幅图形的面积，可以验证的乘法公式是____________．
　　　　
【方法指导】因为图①中阴影部分的面积是a2－b2，图②中梯形的面积是(2a＋2b)(a－b)＝(a＋b)(a－b)，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)，即可验证的乘法公式为(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
答案：(a＋b)(a－b)＝a2－b2.
设计意图:巩固对平方差公式的理解并加强公式的运用。
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】
1．下列各式中，不能运用平方差公式计算的是(C)
A．(m－n)(－m－n) B．(－1＋mn)(1＋mn)
C．(－m＋n)(m－n) D．(3m－2)(3m＋2)
2．若m2－n2＝6，且m－n＝3，则m＋n的值为(B)
A．1 B．2 C．2或－2 D．4
3．某中学为了响应“发展体育运动，增强人民体质”的号召，决定建一个长方体游泳池．已知游泳池长为(4a2＋9b2)m，宽为(2a＋3b)m，高为(2a－3b)m，请你计算一下这个游泳池的容积是多少．
解：(4a2＋9b2)(2a＋3b)(2a－3b)
＝(4a2＋9b2)[(2a)2－(3b)2]
＝(4a2＋9b2)(4a2－9b2)
＝(4a2)2－(9b2)2
＝16a4－81b4(m3).
答：这个游泳池的容积是(16a4－81b4)m3.
4．课本P20随堂练习第1题。
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.这节课你的主要收获是什么？
2．在学习平方差公式的计算中，我们要会利用平方差公式进行简便计算，灵活利用平方差公式特征来解决问题。
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P24——25习题1.3第2，6题。
2.相应课时训练。
八、板书设计
2. 平方差公式的应用
1.平方差公式的逆用：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，语言描述：两个数的和与两个数差的积，等于它们的平方差。
2.利用图形验证平方差公式：原理——面积相等。
九、教学反思
（一）课前反思
学生在理解平方差公式的结构特征时，常常出现对公式中 a、b 的取值范围理解不清晰的问题。部分学生容易将公式简单记忆为两项相乘的形式，而忽略了公式中两项的符号特征以及它们之间的数量关系。这导致在实际应用时，学生无法准确判断是否可以使用平方差公式，或者在套用公式时出现错误。例如，在计算 (2x + 3y)(2x - 3y) 时，部分学生可能会错误地写成 (2x) + (3y) ，而没有正确运用平方差公式得到 (2x) - (3y) 。
考虑到七年级学生的认知特点，他们正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。对于平方差公式这样较为抽象的数学概念，仅仅依靠传统的讲授法难以让学生深刻理解和掌握。因此，在本节课的教学中，我计划采用多样化的教学方法。首先，通过设计具体的生活情境问题，如计算一个边长为 (a + b) 的正方形土地，在一边增加 b，另一边减少 b 后，新图形的面积变化，让学生在实际问题中感受平方差公式的应用价值，从而激发学生的学习兴趣。然后，组织学生进行小组合作探究活动，让他们通过自主探索、相互交流，深入分析平方差公式的结构特点，总结出公式应用的关键要点。在这个过程中，我将加强巡视指导，及时发现学生的问题并给予针对性的帮助。
从教学目标来看，本节课的教学目标是让学生理解平方差公式的几何意义，熟练掌握平方差公式的应用，并能运用平方差公式解决一些简单的实际问题。为了实现这些目标，在教学过程中，我将注重引导学生从数与形两个角度来理解平方差公式。通过展示图形的拼接、割补等操作，让学生直观地看到平方差公式的几何原理，进而加深对公式的理解。同时，设计一系列有针对性的练习题，从简单的直接套用公式到复杂的变形应用，逐步提升学生运用平方差公式解决问题的能力。
在教学资源方面，我将充分利用多媒体教学手段，制作生动形象的教学课件。通过动画演示、图形展示等方式，将抽象的数学知识直观地呈现给学生，帮助他们更好地理解和掌握。此外，还准备了一些实际生活中的案例资料，如建筑工程中的面积计算、商品价格的波动计算等，让学生在解决实际问题的过程中，体会数学与生活的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的意识和能力。
（二）课后反思
在本次平方差公式应用的教学中，课程目标设定为让学生熟练掌握平方差公式，并能灵活运用其进行计算和解决实际问题。从课堂表现来看，大部分学生能够理解平方差公式(a + b)(a - b)=a - b 的结构特征，在简单的数值计算题目中，如(3 + 2)(3 - 2)，多数学生能快速运用公式得出结果。
课堂练习环节，学生对于直接套用公式的题目完成度较高，但遇到一些变形题目，如(-x + y)(x + y)，部分学生就出现了混淆和错误。这反映出学生对公式中a和b的理解还不够深入，未能准确把握公式中各项的对应关系。
在教学方法上，采用了讲练结合的方式，通过例题讲解引导学生理解公式应用，再让学生通过练习巩固。但在练习过程中，对学生个体差异关注不足，未能及时根据学生的掌握情况调整练习难度和进度。
为改进教学，后续可以增加更多具有针对性的变形练习，强化学生对公式结构的理解；同时，在课堂上加强对学生的巡视和指导，及时发现并解决学生的问题，根据学生实际情况调整教学节奏，满足不同层次学生的学习需求。

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