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第三节 乘法公式（第3课时）
教学设计
一、教学内容和内容解析
（一）教学内容
教材第20～21页，乘法公式（3）
（二）教学内容解析
完全平方公式是初中数学代数部分的重要内容。它是在学生学习了整式的乘法、平方差公式之后进行的，是对多项式乘法中特殊形式的进一步探究。通过对完全平方公式的学习，不仅能简化多项式乘法的运算，还为后续学习因式分解、一元二次方程等知识奠定基础，在初中数学知识体系中起着承上启下的作用。
在例题和习题的设置上，教材遵循由浅入深、循序渐进的原则。先安排直接运用公式进行计算的简单题目，帮助学生熟悉公式的基本形式和运算方法；然后逐步增加难度，出现一些需要对式子进行适当变形后再运用公式的题目，培养学生的灵活运用能力和综合解题能力。同时，还设置了一些实际应用问题，让学生体会数学知识与生活实际的紧密联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、课程标准内容要求
推导公式：学生要经历探索完全平方公式的过程，能够通过多项式乘法法则等方法，如，，自主推导出完全平方公式，进一步发展符号感。
掌握特征：理解完全平方公式的结构特征，即完全平方公式展开后的结果是二次三项式，积中的两项为两数的平方，另一项是两数积的 2 倍，且与原式中间的符号相同，简记为 “首平方，尾平方，积的 2 倍放中间”。
简单计算：能够运用完全平方公式进行简单的计算，如计算，在计算过程中准确确定公式中的a和b，做到不丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2。
理解意义：了解完全平方公式的几何意义，能通过图形的面积关系，如边长为a+b的正方形面积与边长为a、b的正方形和两个长为a宽为b的长方形面积关系，来解释完全平方公式。
三、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1. 数学抽象
通过对具体的图形面积计算以及整式乘法运算实例的观察、分析，引导学生从特殊到一般，抽象概括出完全平方公式的结构特征，使学生经历从具体到抽象的思维过程，提升学生的数学抽象素养。
2. 逻辑推理
在完全平方公式的推导过程中，无论是利用多项式乘法法则逐步推导，还是借助图形面积的直观验证，都需要学生有条理地思考和表达，培养学生的逻辑推理能力，让学生理解公式的来龙去脉，体会数学知识的严谨性。
3. 数学运算
学生能够熟练运用完全平方公式进行简单的整式乘法运算，包括直接套用公式计算以及对一些变形后的式子进行运算，提高学生的运算准确性和速度，培养学生良好的运算习惯和运算能力。
4.直观想象
能够通过对边长为a+b 和a-b 的正方形图形的分割与拼接，直观理解完全平方公式 和 的几何意义，将抽象的代数公式与具体的几何图形建立联系。基于图形的变化，如在边长为a 的正方形基础上，增加或减少小长方形，来动态地感受完全平方公式中各项的来源和相互关系，培养学生的空间想象能力和动态思维。借助直观图形，能够自主推导完全平方公式，在推导过程中强化对图形与公式对应关系的理解，提升从直观到抽象的转换能力。能运用完全平方公式的直观模型，去解决一些简单的实际几何问题，例如计算图形面积变化等，增强运用直观想象解决问题的意识和能力。
5. 数学建模
引导学生在实际问题情境中，发现可以运用完全平方公式解决的问题，如利用完全平方公式计算物体的表面积、体积等相关问题，将实际问题转化为数学模型，运用数学知识解决问题，增强学生的数学应用意识和数学建模素养。
（二）目标解析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：
目标1的要求是：引导学生从具体的计算和实例中抽象出完全平方公式。例如，在解决一系列类似的面积计算、数值运算问题后，让学生思考这些问题的共性，总结出完全平方公式的一般形式。这一过程培养学生从特殊到一般的归纳抽象能力，使学生能够从具体情境中提炼出数学概念和规律，提升数学素养。
目标2的要求是：在学习完全平方公式时，引导学生通过观察、归纳、推理等数学活动来推导公式。例如，从简单的乘法运算 (a+b)(a+b) 入手，利用乘法分配律展开，即 a (a+b)+b (a+b)=a +ab+ba+b ，进而得出 (a+b) =a +2ab+b 。这个过程中，学生需要逐步分析每一步的运算依据，归纳出一般性的规律，从而自主发现并证明完全平方公式的正确性，极大地锻炼了逻辑推理能力。
目标3的要求是：要求学生熟练掌握完全平方公式的运用，提高数学运算速度和准确性。学生不仅要能正向运用公式进行计算，如计算 (3x+2y) ，还要能逆向运用，如将 9x +12xy+4y 转化为 (3x+2y) 的形式。通过大量针对性的练习，让学生在不同类型的题目中巩固公式的运用，提升运算技能，为后续更复杂的数学学习奠定基础。
目标4的要求是：借助图形来帮助学生理解完全平方公式，能有效培养直观想象素养。比如，用边长为 a 和 b 的小正方形以及长为 a 宽为 b 的长方形来拼大正方形。边长为 (a+b) 的大正方形面积为 (a+b) ，它又可以看作是由一个边长为 a 的正方形、一个边长为 b 的正方形和两个长为 a 宽为 b 的长方形组成，即 a +2ab+b 。通过这样直观的图形展示，学生能够更形象地理解公式，提高空间想象能力和解题效率。
目标5的要求是：数学建模强调将实际问题转化为数学问题并求解。在完全平方公式的学习中，教师可以引入一些实际生活场景，如计算正方形场地扩建后的面积。假设原正方形边长为 a，扩建后边长增加 b，那么扩建后的面积就是 (a+b) ，通过完全平方公式可快速得出结果 a +2ab+b 。通过这样的实际问题，培养学生运用完全平方公式建立数学模型，解决实际问题的能力，提升学生的数学应用意识和实践能力。
四、学生学情分析
学生基础情况
1.知识掌握：
整式运算基础：学生已经学习了整式的概念、单项式与多项式的相关知识，并且掌握了整式的加减运算，能熟练进行合并同类项等操作，这为学习完全平方公式中涉及的多项式乘法运算奠定了基础。
乘法运算基础：学生在小学阶段就已经熟练掌握了数的乘法运算，在七年级又学习了有理数的乘法法则，这使得他们在理解完全平方公式中各项乘积的计算时，不会存在太大的困难。
多项式乘法基础：在学习完全平方公式之前，学生已经学习了多项式乘多项式的法则，通过运用该法则进行计算，学生已经积累了一定的多项式乘法运算经验，这是学习完全平方公式的直接基础。他们能够理解通过乘法分配律将两个多项式相乘展开的过程，为理解完全平方公式的推导过程做好了准备。
2.技能水平：
运算能力：经过之前整式加减运算以及有理数运算的训练，学生具备了一定的运算能力，能够进行基本的数值计算和简单的整式化简。但完全平方公式的运算相对更复杂，需要学生进一步提升运算的准确性和熟练度。
观察能力：在前面的数学学习中，学生已经有了观察数字、式子规律的经验，对于一些简单的数学规律能够进行初步的观察和总结。在学习完全平方公式时，他们能够通过观察公式的形式和特点，尝试找出其中的规律。
逻辑思维能力：学生在学习几何图形等内容时，已经开始逐步培养逻辑思维能力，能够进行一些简单的推理和论证。在完全平方公式的学习中，他们可以尝试通过逻辑推理来理解公式的推导过程和应用原理，但这种能力还比较薄弱，需要在公式的学习中进一步加强和巩固。
学生学习难点
1.公式的理解
公式结构特征：完全平方公式具有特定的结构特征，学生可能难以准确把握。对于与，学生容易混淆，错误地认为=，忽略了中间项2ab。这是因为他们对公式的整体结构缺乏深入理解，没有认识到完全平方是一个二项式自乘的结果，展开后应该包含三项。
字母的广泛含义：公式中的a和b可以代表任意的数、单项式或多项式，这种字母含义的广泛性对于七年级学生来说较难理解。
2.公式的推导
几何推导理解：通过几何图形的面积来推导完全平方公式，要求学生具备一定的空间观念和数形结合的能力。学生可能难以理解如何将一个边长为a+b的正方形分割成几个部分，并且通过这些部分的面积之和来得出。对于图形的拼接、分割以及面积的计算和对应关系，部分学生可能会感到困惑。
代数推导过程：用多项式乘法法则推导完全平方公式，这个过程涉及到多项的乘法运算和合并同类项，步骤较多，学生在运算过程中容易出现符号错误或漏项的情况。而且他们可能对每一步的运算依据和逻辑关系理解不透彻，只是机械地记忆步骤，无法真正掌握推导的本质。
3.公式的应用
符号处理：在完全平方公式中，符号的处理至关重要。当遇到或时，学生容易出现符号错误，例如将展开为，忽略了负号的影响。这是因为他们没有理解符号在公式中的变化规律，对于两个数都是负数或者一正一负的情况，不能正确地根据公式进行展开。
灵活运用：完全平方公式在一些复杂的计算、化简或求值问题中需要灵活运用，学生可能难以根据题目特点选择合适的方法。例如，在中，要使它成为一个完全平方式，求k的值，这需要学生逆用完全平方公式，根据6x=2××3，得出k=。这种逆向思维和灵活运用公式的能力对于学生来说具有一定的挑战性。
学生学习需求
1.知识基础需求
学生需要理解完全平方公式的代数意义和几何意义，明白公式是如何从多项式乘法推导而来的，以及它在代数运算中的作用。
2.解题技巧需求
能够清晰识别完全平方公式的结构特征，即两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的 2 倍，学会区分公式中的a和b可以是具体的数、单项式或多项式。
3.实际应用需求
学生希望能够通过实际问题的解决，感受完全平方公式在实际生活中的应用价值，学会将实际问题转化为数学问题，建立数学模型，并用完全平方公式等数学知识进行求解，从而提高自己解决实际问题的能力。
4.学习方式需求
学生期望在课堂中通过自主探究、合作交流等方式，经历完全平方公式的推导过程，培养自己的逻辑推理能力和代数推导能力，体会从特殊到一般的数学思想方法。
五、教学策略分析
1.教学目标设定策略
在新课程标准下，对于完全平方公式的认识，教学目标应设定为：让学生理解完全平方公式的推导过程，掌握公式的结构特征，能够运用公式进行简单的计算。同时，培养学生的观察、归纳、推理能力，体会从特殊到一般的数学思想。为达成这些目标，教师可以从具体的计算实例出发，引导学生观察、分析，逐步归纳出完全平方公式。例如，通过计算 (a + 2) 、(3 - b) 等具体式子，让学生感受计算过程中的规律。
2.教学方法选择策略
情境教学法：创设生活情境，如计算正方形场地扩建后的面积问题。假设有一个边长为 a 米的正方形场地，现在要将其边长各增加 b 米，求扩建后的面积。通过这样的实际问题，引出完全平方公式的探究，使学生感受到数学与生活的紧密联系，提高学习兴趣。
小组合作探究法：将学生分成小组，让他们共同探究完全平方公式的特点和规律。在小组内，学生可以相互交流、讨论，分享自己的想法和发现。例如，让小组讨论 (a + b) 展开后各项的系数和次数的规律，促进学生思维的碰撞和合作能力的提升。
多媒体辅助教学法：利用多媒体展示完全平方公式的动态推导过程，如通过动画演示 (a + b) = a + 2ab + b 的几何意义，即边长为 a + b 的正方形可以分割成一个边长为 a 的正方形、两个长为 a 宽为 b 的长方形和一个边长为 b 的正方形，直观形象地帮助学生理解公式。
六、教学重难点
（一）重点：运用完全平方公式进行简单的计算。
（二）难点：完全平方公式的推导过程，通过图形拼接验证完全平方公式。
七、教学过程
教学流程
活动一：旧知回顾，问题导入
【问题引入】
问题1 多项式与多项式相乘的运算法则是什么？
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
问题2 由下面的两个图形你能得到哪个公式？
平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。
问题3 平方差公式的结构特点是什么？
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差。
设计意图：利用旧知铺垫，类比平方差公式的学习为进入新课做好理论准备。
活动二：交流合作，探究新知
探究点1 完全平方公式
问题1 说说你将如何计算下列各式，然后计算它们的结果：
(1)(m+3)2；(2)(2+3x)2。
用多项式与多项式相乘的运算法则进行计算：
（1）原式=(m+3)(m+3)=m2+3m+3m+9
=m2+2·3m+9=m2+6m+9；
（2）原式=(2+3x)(2+3x)=22+2·3x+2·3x+9x2
=4+2·2·3x+9x2=4+12x+9x2。
问题2 观察以上算式及其运算结果，你有什么发现？用自己的语言叙述一下。
两个数的和的平方，等于它们的平方和，加上它们的积的2倍。
问题3 你能用字母表示你发现的规律吗？并验证。
(a+b)2=a2+2ab+b2。
验证：(a+b)2=（a+b）(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2。
问题4你能用右图解释你之前发现的规律吗？
大正方形的面积为（a+b）2，
两个小正方形的面积分别为a2，b2，
两个小长方形的面积相等，均为ab，
根据大正方形的面积=两个小正方形的面积和+两个小长方形的面积和，
可得（a+b）2=a2+2ab+b2。
问题5 如何计算（a-b）2？并用你自己的语言叙述一下得到的式子。
(a-b)2=（a-b）(a-b)=a2-ab-ab+b2=a2-2ab+b2。
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。
问题6 请你仿照问题4，设计一个图形解释你在问题5得到的式子。
如图，大正方形的面积为a2，
左上角小正方形的面积为（a-b）2，
右上角小长方形的面积为b（a-b），
下方大长方形的面积为ab，
根据左上角小正方形的面积=大正方形的面积-右上方小长方形的面积-下方大长方形的面积，
可得（a-b）2=a2-b（a-b）-ab=a2-2ab+b2。
例1 （教材P21例5）利用完全平方公式计算：
(1)(2x-3)2；
（2）(4x+5y)2；
(3)(mn-a)2。
解：(mn-a)2=(mn)2-2·mn·a+a2=m2n2-2amn+a2。
问题7 回顾借助几何图形解释或分析问题的过程，对于形与数的联系，你有哪些感悟？
借助几何图形解释验证平方差公式和完全平方公式，是数形结合思想的直观体现，说明代数运算可以具备几何背景，另一方面研究图形也隐含了代数运算，两者相辅相成，能够相互转化。数形结合可以更加了解本质特征，在今后的学习中应更多从这两个方面着手，类比学习。
【对应训练】
教材P21随堂练习第1，2题。
设计意图：让学生经历完全平方公式的推导过程，通过观察、对比、分析得到公式的结构特征，归纳出完全平方公式，再借助几何图形对公式进行验证，最后通过例题训练学生正确应用公式进行计算。
活动三：变式训练，巩固提升
例 已知x+y=8，xy=12，求x2+y2的值。
解：因为x+y=8，xy=12，
所以x2+y2=(x+y)2-2xy=82-2×12=64-24=40。
【对应训练】
已知ab=3，a-b=4，求2a2+7ab+2b2的值。
解：a2+b2=(a-b)2+2ab=42+2×3=22，
2a2+7ab+2b2=2(a2+b2)+7ab=2×22+7×3=44+21=65。
设计意图:巩固对完全平方公式的理解和加强公式的运用。
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】相应练习。
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.你能用字母表达完全平方公式吗？能用它进行简单的计算吗？
2.通过这节课你了解完全平方公式的几何背景了吗？能用图形拼接的方法验证完全平方公式吗？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P25习题1.3第3，4，9，11，13题。
2.相应课时训练。
八、板书设计
第3课时 完全平方公式的认识
1.完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2，语言描述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方
和，加（或减）它们的积的2倍。
2.利用图形验证完全平方公式：原理——面积相等。
九、教学反思
（一）课前反思
从教学目标来看，本堂课旨在让学生理解完全平方公式的推导过程，掌握公式的结构特征，并能运用公式进行简单的计算。回顾以往教学，部分学生对公式的理解仅停留在表面，难以灵活运用。因此，这次教学要更加注重引导学生自主推导公式，通过实例分析强化对公式结构的认识。
考虑到七年级学生正处于从算术思维向代数思维过渡的阶段，他们对直观、具体的事物接受度较高。所以在教学中，要多借助图形、实例等帮助学生理解抽象的公式，降低学习难度。
在教学方法上，以往讲授式教学可能导致学生被动接受知识。此次应增加小组合作探究环节，让学生在交流讨论中深入理解公式，培养他们的合作能力与自主探究能力。同时，引入多媒体教学手段，如动画演示公式推导过程，使教学更加生动形象。
（二）课后反思
从教学目标达成来看，大部分学生能够理解完全平方公式的形式，即 ，并能运用公式进行简单的计算，这表明基本教学目标已初步实现。但仍有部分学生在公式的结构特征理解上存在困难，在计算时容易混淆符号，导致结果出错，这反映出在公式推导过程中，对基础薄弱学生的关注还不够，教学深度和节奏把控有待优化。
教学方法上，我采用了从具体实例引入，让学生通过计算、观察、归纳的方式来探究完全平方公式。这种方式激发了学生的积极性，课堂上学生参与度较高，小组讨论热烈 。然而，在讲解公式的几何意义时，由于图形展示不够直观，部分学生未能很好地理解代数与几何之间的联系，今后需要借助多媒体等更丰富的教学手段，将抽象知识直观化。
在学生表现方面，课堂互动时，多数学生能跟上节奏，积极回答问题，但仍有少数学生较为被动。在今后的教学中，应更加关注这部分学生，设计分层教学环节，满足不同层次学生的需求，鼓励他们积极参与课堂。

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