资源简介

第三节 乘法公式（第4课时）
教学设计
一、教学内容和内容解析
（一）教学内容
教材第23～24页，乘法公式（4）
（二）教学内容解析
完全平方公式的应用这一课时处于整式运算知识体系的关键位置。它是在学生已经学习了整式的加减、乘法运算以及平方差公式之后，对乘法公式的进一步深入和拓展。完全平方公式不仅是后续学习因式分解、分式运算、一元二次方程等知识的重要基础，而且在实际生活和科学研究中，如解决工程问题、物理计算等方面，都有着广泛的应用。通过对完全平方公式应用的学习，能够帮助学生更好地理解代数运算的本质，提高学生的运算能力和逻辑思维能力。
二、课程标准内容要求
公式理解与记忆：学生要能熟练记忆完全平方公式和，清楚公式的结构特征，明确公式中a、b可以表示数、单项式或多项式。
简便运算：能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算，如将接近整十、整百的数转化为完全平方公式的形式，再利用公式计算。
整式运算：在多项式、单项式的混合运算中，能正确运用完全平方公式进行计算等。
三、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1. 数学抽象
能从具体的数学情境中，抽象出完全平方公式的结构特征，理解公式中字母的广泛含义，提升对数学模型的抽象概括能力。
2. 逻辑推理
通过对完全平方公式的推导和应用过程的探究，培养有条理的思考和严谨的逻辑推理能力，能够依据公式进行合理的推导和论证。
3. 数学运算
熟练运用完全平方公式进行整式的乘法运算、化简求值等，提高运算的准确性和速度，掌握运算技巧，培养运算能力。
4. 直观想象
借助图形（如边长为 (a+b) 的正方形分割成不同部分来解释完全平方公式），直观理解公式的几何意义，发展几何直观和空间想象能力 ，体会数形结合思想。
5. 数学建模
能够运用完全平方公式解决实际生活中的问题，如面积计算、数量关系分析等，构建数学模型，增强应用意识和实践能力。
（二）目标解析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：
目标1的要求是：学生能从具体的几何图形（如边长为 (a + b) 的正方形）以及实际问题情境中，抽象出完全平方公式的结构特征，即 ，理解公式中字母 a、b 可以代表数字、单项式或多项式等各类数学对象。
目标2的要求是：能够依据已学的多项式乘法法则，推导完全平方公式，理解公式的来龙去脉，并在应用公式进行计算和化简时，条理清晰地阐述每一步的依据，培养逻辑思维能力。
目标3的要求是：熟练运用完全平方公式进行整式的乘法运算、化简求值以及简便运算，提高运算的准确性和速度，同时掌握运算技巧，如对一些变形后的式子能够识别并运用公式。
目标4的要求是：通过边长为a+b的大正方形，将其分割为边长为a的正方形、边长为b的正方形以及两个长为a宽为b的长方形，学生能直观看到公式，从图形面积角度深刻理解公式来源，而不是单纯死记硬背。在解决如已知两数和（差）与两数积求两数平方和的问题时，学生可以构建对应的几何图形，把数量关系转化为图形关系，快速找到解题思路，提高解题效率和准确性。
目标5的要求是：学会运用完全平方公式解决生活中的实际问题，如计算物体的表面积、体积，或者经济问题中的增长率等，将实际问题转化为数学模型，增强数学应用意识。
四、学生学情分析
学生基础情况
知识掌握：
整式运算基础：学生已经学习了整式的概念、单项式与多项式的相关知识，掌握了整式的加减运算，能够准确地合并同类项，这为学习完全平方公式的应用提供了运算基础。
幂的运算性质：学生已经熟悉同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算性质，这些是理解和运用完全平方公式的重要基础，因为完全平方公式的展开过程涉及到幂的运算。
乘法公式初步：在学习完全平方公式之前，学生可能已经接触过平方差公式，对乘法公式的结构和特点有了一定的认识，知道如何利用公式进行简单的整式乘法运算，这为学习完全平方公式的应用提供了类比的基础。
技能水平：
代数式化简技能：学生具备了一定的代数式化简能力，能够对简单的整式进行去括号、合并同类项等操作，这有助于他们在应用完全平方公式时对式子进行变形和化简。
基本的计算能力：学生经过前期的学习，已经具备了一定的有理数计算能力和整式乘法的基本计算技能，能够进行简单的数值计算和整式乘法运算，但对于较为复杂的完全平方公式的应用，可能在计算的准确性和速度上还需要进一步提高。
学生学习难点
1.公式的理解与记忆
公式结构特征：完全平方公式具有特定的结构特征，学生可能难以准确把握。比如，容易混淆公式中各项的符号和系数，对于 (a - b)2展开后中间项是-2ab，学生可能会误记为+2ab。
公式的本质理解：学生可能只是机械地记忆公式的形式，而不理解公式所代表的代数意义和几何意义。例如，不能很好地通过图形（如边长为a + b的正方形面积分割）来解释完全平方公式，导致在应用时不能灵活运用。
2.公式的灵活运用
复杂式子的转化：当式子中的a、b是较复杂的多项式时，学生可能难以将其准确地转化为完全平方公式的标准形式。如(2x + 3y - 1)2，学生可能不知道如何将2x + 3y看作一个整体a，将1看作b来应用公式。
逆向运用公式：完全平方公式的逆向运用，即a2+2ab+b2=(a+b)2，对学生来说难度较大。例如，在因式分解x2 + 6x + 9时，学生可能不能快速地识别出它是(x+ 3)2的形式，在一些化简求值或证明问题中，逆向运用公式的难度就更加凸显。
与其他公式的综合运用：在实际问题中，完全平方公式常与平方差公式(a+b)(a - b)=a2 - b2等其他整式乘法公式综合使用。学生需要根据具体题目条件，准确判断应该使用哪个公式，以及使用的顺序，这对学生的综合分析能力要求较高。例如计算(x + 1) 2 (x - 1) 2，需要先利用积的乘方性质将其变形为[(x + 1)(x - 1)] 2，再先后运用平方差公式和完全平方公式进行计算，学生可能会在这一过程中出现错误。
3.应用中的易错点
系数和指数的运算：在应用完全平方公式时，学生容易在系数和指数的运算上出错。
整体代入时的错误：在一些需要整体代入求值的问题中，学生可能没有正确处理整体的符号和系数。几何应用方面
图形与公式的对应：通过几何图形来验证和理解完全平方公式，要求学生具备一定的空间想象能力和图形分析能力。学生可能难以将图形中的边长、面积等与完全平方公式中的各项准确对应起来，比如在利用大正方形中包含小正方形和矩形来解释(a + b) 2=a2+ 2ab + b2时，学生可能无法清晰地看出各个部分与公式各项的关系。
利用图形解决代数问题：让学生根据完全平方公式构造几何图形来解决一些代数问题时，难度更大。
学生学习需求
1.知识理解
公式本质理解需求：学生需要深入理解完全平方公式的本质，明白它是如何从多项式乘法推导而来的，以及公式中各项的含义和关系。例如，通过图形面积的方式来直观理解完全平方公式，如一个边长为a + b的正方形，其面积可以表示为(a + b)2，同时也可以分割为一个边长为a的正方形、一个边长为b的正方形和两个长为a宽为b的长方形，面积之和为(a + b) 2，从而直观地验证公式。
公式结构特征需求：学生要清晰掌握完全平方公式的结构特征，能够准确识别公式中的a和b，无论是单个字母、数字，还是多项式等各种形式。比如对于(3x - 2y) 2要能准确判断3x相当于公式中的a，-2y相当于公式中的b。
2.解决方面
实际问题建模需求：学生需要能够将实际问题转化为完全平方公式的数学模型来解决。比如在几何问题中，已知正方形边长增加或减少一定长度后求面积变化；在利润问题中，根据成本和售价的变化关系，利用完全平方公式来分析利润的变化情况等。
综合问题求解需求：在综合题中，学生要能将完全平方公式与其他数学知识，如整式的加减、因式分解、方程等结合起来，解决复杂的数学问题。
3.发展方面
逻辑推理需求：通过完全平方公式的应用，学生要能够进行逻辑推理，从已知条件推导出结论。比如在证明(a + b) 2-(a - b) 2=4ab时，需要运用完全平方公式展开后进行逻辑推导和化简。
数学思维拓展需求：学生期望通过学习完全平方公式的应用，拓展自己的数学思维，如从特殊到一般的归纳思维，在学习了多个具体的完全平方公式应用实例后，归纳出一般的解题方法和规律；以及类比思维，将完全平方公式与平方差公式等其他公式进行类比，加深对公式的理解和记忆。
4.方法方面
总结归纳方法需求：学生需要掌握总结归纳完全平方公式应用的题型和方法的技巧，形成知识体系。例如，将完全平方公式的应用题型分为直接计算型、化简求值型、几何应用型等，分别总结其解题思路和方法。
错误反思方法需求：学生在学习过程中会出现各种错误，如符号错误、公式运用错误等，需要学会反思错误原因，总结避免错误的方法，提高解题的准确性。
五、教学策略分析
情境导入法：通过创设生活中的实际问题情境，如计算正方形场地扩建后的面积，引出完全平方公式的应用，让学生感受到数学与生活的紧密联系，提高学生的学习积极性。
小组合作探究法：组织学生进行小组讨论，共同探究完全平方公式的推导过程和应用技巧。在小组合作中，学生可以相互交流、启发，培养学生的合作意识和自主探究能力。
练习巩固法：设计有针对性的练习题，从简单到复杂，逐步加深学生对完全平方公式的理解和应用能力。通过及时的练习反馈，教师可以了解学生的学习情况，对教学进行调整和补充。
六、教学重难点
（一）重点：灵活运用完全平方公式进行简便运算与综合运算。
（二）难点：利用完全平方公式进行推理。
七、教学过程
教学流程
活动一：创设情境，新课导入
【情境引入】
七（2）班的49名同学准备定制统一的T恤去春游，据了解，一件T恤的价格为49元，班长小亮正在用计算器计算总的费用，而小明只是心算了一下，立马给出答案是2401元。同学们，你们知道小明为什么不用计算器也可以算得这么快吗？他用了什么方法呢？
设计意图：通过实际问题引出完全平方公式的简便运用。
活动二：交流合作，探究新知
探究点 利用完全平方公式进行简便运算与综合运算
思考 怎样计算1022，1972更简便呢？
如果我们把1022，1972改写成（a+b）2或（a-b）2的形式，能否达到目的呢？试试看。
教师总结：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式。
例（教材P23例6）计算：
【对应训练】
教材P24随堂练习第1题。
设计意图：引导学生学会运用完全平方公式进行简便运算和综合运算，巩固对于完全平方公式的理解，提高综合运用公式的能力。
活动三：推理实践，巩固提升
例 观察下图，你认为（m+n）×（m+n）点阵中的点数与m×m点阵、n×n点阵中的点数之和一样多吗？请用所学的公式解释自己的结论。
【对应训练】
对于依次排列的多项式x+a，x+b，x+c(a，b，c是常数），当它们满足(x+b)2-(x+a)(x+c)=M，且M为常数时，则称a，b，c是一组完美数，M是该组完美数的完美因子。例如：对于多项式x+1，x+3，x+5，因为(x+3)2-(x+1)(x+5)=4，所以1，3，5是一组完美数，4是该组完美数的完美因子。试问：当a，b，c之间满足什么数量关系时，它们是一组完美数？并说明理由。
解：当2b-a-c=0时，它们是一组完美数。理由：
假设a，b，c是完美数，
则(x+b)2-(x+a)(x+c)的结果为常数。
(x+b)2-(x+a)(x+c)=x2+2bx+b2-［x2+(a+c)x+ac］
=(2b-a-c)x+b2-ac。
因为结果为常数，所以2b-a-c=0。
设计意图: 引导学生通过完全平方公式进行推理，提升公式的运用能力。
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】相应练习。
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.你能运用完全平方公式进行简便计算吗？能进行综合运算吗？
2.你能运用完全平方公式进行简单的推理吗？能解决实际问题吗？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P25习题1.3第5，7，8，12题。
2.相应课时训练。
八、板书设计
第4课时 完全平方公式的应用
1.利用完全平方公式进行简便运算与综合运算：明确算理。
2.利用完全平方公式进行推理与实际应用。
九、教学反思
（一）课前反思
从教学目标来看，本课时旨在让学生理解并熟练运用完全平方公式解决实际问题，培养学生的数学思维和应用能力。然而，考虑到七年级学生的认知水平，对于公式的抽象理解可能存在一定困难。部分学生在之前的学习中，对基础运算的掌握程度参差不齐，这可能会影响他们对完全平方公式应用的学习。
在教学方法上，传统的讲授式教学可能无法充分激发学生的学习兴趣和主动性。为了让学生更好地掌握完全平方公式的应用，计划采用多样化的教学手段，如通过实际生活中的案例引入，增强学生的代入感；组织小组讨论，让学生在交流中深化对公式的理解；利用多媒体工具，直观展示公式的推导过程和应用场景。
同时，在教学过程中，需要更加关注学生的课堂反应，及时调整教学节奏和方法，确保每个学生都能跟上教学进度，有所收获。在后续教学中，我会根据学生的实际情况，灵活调整教学内容和方法，力求达到最佳的教学效果。
（二）课后反思
从教学目标达成来看，大部分学生能够掌握完全平方公式的基本形式，并能运用公式进行简单的计算，如给定具体的数值代入公式求值。但在公式的灵活运用上，部分学生仍存在困难，例如在一些变形题目中，不能准确判断a和b所代表的整式，导致计算错误，这表明在教学中对公式的拓展应用部分还需加强引导。
在教学方法上，我采用了讲授法与练习法相结合的方式。在讲解公式的推导过程时，利用图形面积的直观演示，帮助学生从几何角度理解完全平方公式的原理，这一方法有效降低了学生对抽象公式的理解难度，学生们表现出较高的兴趣和参与度。然而，在练习环节，发现部分学生在课堂上练习速度较慢，导致一些较复杂的题目没有足够时间在课堂上深入讨论，或许可以提前对练习题目进行更合理的梯度设置，优先解决基础和中等难度的问题，将难题作为课后拓展。
从学生的课堂表现来看，多数学生积极参与课堂互动，主动回答问题，但仍有少数学生较为被动，在小组讨论环节参与度不高。在今后的教学中，需要更加关注这部分学生，鼓励他们积极参与课堂活动，提高他们的学习积极性。

展开更多......

收起↑