资源简介

第一节 幂的乘除（第1课时）
教学设计
一、教学内容和内容解析
（一）教学内容
教材第2～3页，幂的乘法（1）
教学内容解析
整式的乘除第一节第一课时通常聚焦于同底数幂的乘法。同底数幂的乘法是幂的运算中基础且重要的部分，它是后续学习幂的乘方、积的乘方以及同底数幂的除法等知识的基石。例如，在后续学习整式的乘法运算时，经常会用到同底数幂的乘法法则进行化简和计算。
课程标准内容要求
学生要借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义，为理解同底数幂的乘法法则中的字母表示做好铺垫。经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，理解同底数幂乘法的算理，能推导得出（m，n都是正整数）这一运算法则。能够熟练运用同底数幂的乘法法则进行简单的整式乘法运算。
三、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1. 数学抽象
通过对具体数字运算的观察、分析和归纳，引导学生从特殊的数字运算中抽象出整式乘除的一般运算法则。抽象出单项式与单项式相乘的法则，让学生理解如何用字母表示数以及代数式的运算，培养学生从具体到抽象的思维能力。
逻辑推理
在推导整式乘除运算法则的过程中，引导学生运用已有的数学知识，如乘法分配律、同底数幂的运算性质等，进行合理的逻辑推导。比如，在推导多项式与单项式相乘的法则时，利用乘法分配律将多项式与单项式相乘转化为单项式与单项式相乘，让学生理解每一步运算的依据，培养学生的逻辑推理能力。
3. 数学建模
创设实际生活情境，如计算长方形面积、体积等问题，引导学生将实际问题转化为数学模型，运用整式乘除的知识进行求解。例如，已知长方形的长为 ，宽为 ，求其面积，学生可以列出式子 ，然后运用多项式与单项式相乘的法则进行计算，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和数学建模的意识。
4.直观想象
通过图形直观理解同底数幂乘法法则。如借助边长为 和 的正方形，让学生观察面积计算，从边长直观感受同底数幂相乘底数不变指数相加的原理，构建直观模型，将抽象的幂运算具象化。
5. 数学运算
通过大量的练习题，让学生熟练掌握整式乘除的运算方法，包括单项式与单项式相乘、相除，多项式与单项式相乘、相除等。在运算过程中，注重培养学生运算的准确性和规范性，提高学生的运算能力，同时让学生体会数学运算的严谨性。
（二）目标解析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：
目标1的要求是：在这一课时，学生需要从具体的数字运算实例中，抽象出整式乘法的基本概念和运算法则。例如，通过简单的数字乘法，如 3×5、2×7 等，引导学生思考当数字换成字母，如 a×b、m×n 时，运算的本质是否发生变化。让学生从熟悉的具体数字过渡到抽象的字母符号，理解整式乘法中字母可以代表任意数，从而初步建立起整式乘法的抽象概念。这一过程有助于学生摆脱对具体数字的依赖，学会用数学符号语言表达数量关系，提升数学抽象思维能力。
目标2的要求是：推导整式乘法的运算法则，是培养学生逻辑推理素养的重要环节。以单项式乘单项式为例，从乘法的基本运算律出发，如交换律、结合律和分配律，逐步推导得出单项式乘单项式的法则。先让学生计算 (2×3)×(4×5)=(2×4)×(3×5)，理解乘法交换律和结合律在数字运算中的应用，再类比到 (2a)×(3b)=(2×3)×(a×b)=6ab，通过这样的推理过程，让学生明白整式乘法法则是基于已有的运算律推导而来，并非凭空产生。在这个过程中，学生学会有条理地思考，依据已知的数学原理和规则，推导出新的结论，逻辑推理能力得到有效锻炼。
目标3的要求是：创设实际生活情境，让学生运用整式乘法知识解决实际问题，是培养数学建模素养的关键。比如，给出一个长方形的花坛，长为 (3a + 2) 米，宽为 (2a - 1) 米，要求学生计算花坛的面积。学生需要将实际问题转化为数学模型，即列出整式乘法算式 (3a + 2)(2a - 1)，然后运用多项式乘多项式的法则进行计算求解。通过这样的实际问题解决过程，学生学会从实际情境中抽象出数学问题，建立数学模型，运用数学知识解决问题，感受数学与生活的紧密联系，提高数学建模能力和应用意识。
目标4的要求是：在引入同底数幂乘法法则时，可通过细胞分裂的实例，直观地感受到同底数幂相乘时底数不变、指数相加的规律。
目标5的要求是：能够熟练准确地进行整式乘法的运算，是本节课的重要技能目标，也是数学运算素养的直接体现。学生需要掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式的运算方法，通过大量有针对性的练习，提高运算的准确性和速度。例如，计算 3x 2xy，学生要能根据单项式乘单项式的法则，将系数相乘，相同字母的幂相加，得出正确结果 6x y。同时，在练习过程中，注重引导学生总结运算中的易错点，如符号的处理、指数的运算等，培养学生严谨细致的运算习惯，提升数学运算素养。
四、学生学情分析
学生基础情况
1.知识储备：
有理数的乘法运算：学生要熟练掌握有理数的乘法法则，能准确计算两个或多个有理数的乘积。这是后续学习同底数幂乘法运算中系数运算的基础。
有理数的乘方运算：理解乘方的意义，即表示几个数或式相乘。能准确计算有理数的乘方结果，为同底数幂的运算提供基础。
单项式：知道单项式是数与字母的乘积，单独的一个数或一个字母也是单项式，要能识别单项式的系数和次数。
多项式：理解多项式是几个单项式的和，能准确判断多项式的项数和次数。
整式：明确整式是单项式和多项式的统称，能判断一个代数式是否为整式。
底数和指数：清楚幂的表示形式中，什么是底数，什么是指数。
幂的意义：理解幂所表示的含义。
2.认知特点：：七年级学生正处于从形象思维为主逐步向抽象思维为主过渡的阶段。在学习同底数幂的乘法时，对于像这样可以通过简单的乘方意义，即几个相同因数相乘来理解的内容，他们能够借助具体的数字和直观的运算过程进行思考。但对于更一般化、抽象化的（都是正整数）这种形式，学生在理解上会有一定难度，需要借助具体例子逐步引导他们从具体数字运算中归纳出一般规律，实现从形象思维到抽象思维的跨越。
学生学习难点
1.对同底数幂乘法法则的理解
底数的理解局限：学生可能会片面地认为底数只能是单独的一个数或字母，对于底数是多项式等较为复杂的形式难以理解和接受。
指数含义的混淆：指数表示的是相同因数的个数，但学生可能会将指数与幂的结果相混淆，或者在多个同底数幂相乘时，对指数的加法运算原理理解不透彻。
2.数学思维的转变
从具体到抽象的困难：在之前的数学学习中，学生更多接触的是具体数字的运算，而 “同底数幂的乘法” 开始涉及到用字母表示数来进行运算，这种从具体到抽象的思维转变对学生来说有一定难度。学生可能难以理解用字母表示的同底数幂的运算规律，不能像对具体数字运算那样直观地进行思考和计算。
归纳总结能力的不足：让学生通过具体的例子归纳总结出同底数幂的乘法法则，需要学生具备一定的观察、分析和归纳能力。部分学生可能在这方面能力有所欠缺，难以从具体的计算中抽象出一般的规律和法则。
学生学习需求
1.知识理解需求
概念清晰化：学生需要清晰理解同底数幂的概念，明确底数、指数的含义，避免在后续运算中出现概念混淆。
法则推导理解：学生渴望明白同底数幂的乘法法则是如何推导出来的。可以通过具体数字的例子，再到一般形式的推导，能帮助他们从本质上掌握法则。
2.技能掌握需求
基本运算能力：学生要熟练掌握运用同底数幂的乘法法则进行简单的幂运算。
法则灵活运用：面对底数为负数、底数为多项式等较为复杂的情况，学生需要学会灵活运用法则。
3.思维提升需求
类比思维培养：学生可以通过与已学的乘法运算进行类比，加深对同底数幂乘法的理解。比如将同底数幂的乘法与整数乘法的结合律、交换律等进行对比思考。
逻辑推理思维：在法则推导和应用过程中，锻炼逻辑推理能力，从特殊到一般，再从一般到特殊，提升数学思维水平。
4.学习方法需求
总结归纳方法：学生需要学会总结同底数幂乘法的运算规律和易错点，形成自己的知识体系。
错题整理方法：掌握整理错题的方法，分析错误原因，以便在后续学习中避免再犯同样的错误。
六、教学重难点
（一）重点：同底数幂的乘法法则及其探索。
（二）难点：运用同底数幂的乘法法则进行运算。
七、教学过程
教学流程
活动一：创设情境，新课引入
【情境引入】
1．复习an的意义．
2．光在真空中的传播速度约为3×108 m/s.太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年．一年以3×107 s计算，比邻星与地球之间的距离大约是多少米？
列出算式：3×108×3×107×4.22，提出问题：108×107等于多少呢？导入课题：同底数幂的乘法．
设计意图：从幂的意义入手，铺垫新课。
活动二：交流合作，探究新知
探究点1 猜想计算结果
(1)102×103；(2)a2·a3；(3)10m×10n(m，n都是正整数).
同学们猜想一下，它们的运算结果各是什么？
猜想1：(1)的结果是105，(2)的结果是a5，(3)的结果是10m＋n.
猜想2：(1)的结果是106，(2)的结果是a6，(3)的结果是10mn.
探究点2 探究同底数幂乘法法则
要求学生依据各自的猜想，进行尝试推导，论证自己认为正确的结论．
102×103＝(10×10)×(10×10×10)＝10×10×10×10×10＝105.
a2·a3＝(a·a)·(a·a·a)＝a·a·a·a·a＝a5.
10m×10n＝(10×10×…×10),\s\do4(m个10))Ｂ×(10×10×…×10),\s\do4(n个10))Ｂ＝10m＋n.
问题：根据你的发现试计算：
(1)2m×2n＝__2m＋n__；
(2)(－3)m×(－3)n＝__(－3)m＋m__(m，n都是正整数)．
师生共同归纳：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
探究点3 拓展应用
问题：三个或三个以上同底数幂相乘怎样运算？
师生共同归纳：am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)．
【对应训练】
教材P3随堂练习第1题。
设计意图：引导学生在分层练习中猜想、探究、发现和应用，提高学生的学习兴趣并积累数学活动经验，再让学生进行拓展应用，体会同底数幂乘法法则的意义。
活动三：当堂练习，巩固提升
例1计算：
(1)(－3)7×(－3)6; (2)×；
(3)－x3·x5; (4)b2m·b2m+1.
【方法指导】运用同底数幂的乘法运算法则计算．
解：(1)原式＝(－3)7+6＝(－3)13；
(2)原式＝＝；
(3)原式＝－x3+5＝－x8；
(4)原式＝b2m+2m+1＝b4m+1.
例2计算：
(1)(2a＋b)2n+1·(2a＋b)2·(2a＋b)n-3；
(2)(x－y)2·(y－x)7.
【方法指导】把底数看作一个整体进行计算．
解：(1)原式＝(2a＋b)2n+1+2+n-3＝(2a＋b)3n；
(2)原式＝(y－x)2+7＝(y－x)9.
例3光在真空中的传播速度约为3×108 m/s，太阳光照射到地球上大约需要5×102 s．地球距离太阳大约有多少米？
【方法指导】熟练掌握同底数幂的乘法法则．
解：3×108×5×102＝15×1010＝1.5×1011(m).
例4如果an+1a2n-1＝a6，那么n的值为________．
【方法指导】根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，可得n的值．
答案：2
例5若3a＝9，3b＝27，求3a＋b的值．
【方法指导】把3a＋b转化成3a·3b，代入求值即可．
解：3a＋b＝3a·3b＝9×27＝243.
设计意图：通过练习使学生学会利用法则进行计算，培养运算能力。
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】1．填空：
(1)a__14__·a4＝a18；
(2)若102×10m＝102 025，则m的值为__2_023__．
2．若am＝2，an＝5，求am＋n的值．
解：am＋n＝am·an＝2×5＝10.
3．课本P3随堂练习第2题。
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.这节课的主要收获是什么？
2．怎样计算同底数幂的乘法？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P9习题1.1第1，2题。
2.相应课时训练。
八、板书设计
1.同底数幂的乘法
1.同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
2.知识拓展：am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整数)。
九、教学反思
（一）课前反思
从教学目标来看，这节课旨在让学生理解并掌握同底数幂的乘法法则，体会从特殊到一般的归纳过程。在备课过程中，需要进一步思考如何将抽象的数学概念与学生的实际生活相联系，使教学目标更具可操作性和可检测性。
关于教学方法，计划采用问题引导和小组合作探究相结合的方式。但要提前预想学生在小组讨论中可能遇到的问题，如讨论偏离主题、个别学生参与度不高。为此，需要在课堂上加强巡视和引导，确保每个学生都能积极参与到学习中来。
在教学资源准备上，除了教材，还准备了多媒体课件辅助教学，通过动画演示同底数幂乘法的运算过程，帮助学生理解。但要确保课件内容简洁明了，重点突出，避免信息过多分散学生注意力。
课后反思
从教学目标达成来看，大部分学生能够理解本节课的基础概念，如幂的基本运算规则。通过课堂上的简单例题演练，多数学生能初步运用所学知识进行计算，这表明在知识传授层面取得了一定成效。在教学方法上，利用多媒体展示幂运算的实际应用场景，有效吸引了学生的注意力，激发了他们的学习兴趣，帮助学生更好地理解抽象的数学概念与生活的联系。
然而，教学过程中也暴露出一些问题。部分学生在复杂幂运算的理解上存在困难，反映出课堂练习的梯度设置不够合理，对基础薄弱学生的关注不足。在教学节奏把控上，由于部分内容讲解过于细致，导致课堂总结环节有些仓促，未能充分引导学生自主归纳知识体系。
针对这些问题，在后续教学中，会优化练习设计，增加分层练习，满足不同层次学生的需求。同时，更加合理地安排教学时间，确保每个教学环节都能扎实推进，引导学生积极参与课堂总结，加深对知识的理解与掌握，提升教学质量。

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