资源简介

第四节 整式的除法
教学设计
一、教学内容和内容解析
（一）教学内容
教材第26～27页，整式的除法
一、教学内容解析
整式的除法是极为重要的一部分，它与之前所学的幂的乘除、整式的乘法以及乘法公式紧密相连，共同构成了整式运算的完整体系。
整式的除法主要包含单项式除以单项式和多项式除以单项式。单项式除以单项式时，关键在于把系数、同底数幂分别相除，将其结果作为商的因式；而对于仅在被除式里存在的字母，要连同它的指数一并作为商的一个因式。这一过程其实是将单项式除以单项式的运算最终转化为同底数幂相除 ，其结果依然是单项式。通过计算，学生能更好地理解单项式除以单项式的运算法则。
多项式除以单项式，其核心是先把这个多项式的每一项分别除以单项式，然后再把所得的商相加。它的实质是利用乘法分配律，将多项式除以单项式的问题转化为单项式除以单项式问题来解决。需要注意的是，商的项数与多项式的项数相同，并且在计算过程中，每一项除以单项式时，都要包含该项的符号。
整式的除法在后续学习方程求解、函数解析等内容时发挥着关键作用。例如在解方程时，常常需要对整式进行化简，这就离不开整式的除法运算；在函数解析中，对函数表达式进行变形和化简同样需要运用整式的除法知识。通过这部分内容的学习，学生能够进一步深化对整式性质和运算规则的理解，提升代数运算能力和逻辑思维能力。
二、课程标准内容要求
理解算理：学生要理解整式除法运算的算理，清楚整式除法是如何进行的，以及每一步运算的依据，为正确进行整式除法运算奠定基础。
掌握法则：单项式除以单项式：要求学生掌握单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式这一法则，并能熟练运用该法则进行计算。
多项式除以单项式：学生需要理解并掌握多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加的运算法则，能够运用此法则准确地进行多项式除以单项式的运算。
三、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1. 数学抽象
学生能够从具体的数字除法运算情境中，抽象出整式除法的概念和运算法则，理解单项式除以单项式、多项式除以单项式的本质特征，如将6x3y ÷2xy能够从具体的数字除法运算情境中，抽象出整式除法的概念和运算法则，理解单项式除以单项式、多项式除以单项式的本质特征，如将6x3y ÷2xy类比数字除法6 ÷2，x3 ÷x，y ÷y，从而抽象出单项式除以单项式的计算方法。
2. 逻辑推理
通过对同底数幂除法性质am ÷a n=am-n)，(a≠0，m,n是正整数，m＞n)的推导过程，培养学生的逻辑推理能力，使其能够有条理地思考和表达，从已有的数学知识和运算律出发，逐步推导出整式除法的相关法则。
3. 数学运算
学生能熟练掌握整式除法的运算法则，准确进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，提高运算能力和运算速度，能够正确处理运算过程中的符号、指数等问题，如计算-8a2b3÷4ab2时，正确计算系数、同底数幂的除法。
4. 直观想象
在解决整式除法问题时，引导学生从不同角度观察和分析图形，如从平面图形到立体图形的转化。例如，在一些拓展问题中，将整式的除法与正方体的体积、表面积等知识结合，让学生通过想象正方体的棱长变化与整式除法的关系，提升空间观念。
5. 数学建模
引导学生运用整式除法的知识解决实际生活中的数学问题，建立数学模型，如在计算图形面积的分割问题中，如果一个长方形面积为6x2 + 3x，宽为3x，求长是多少，学生可以通过建立多项式除以单项式的模型（6x2 + 3x）÷3x 来求解。
（二）目标解析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：
目标1的要求是：在整式的除法学习中，学生需要从具体的数字除法运算，抽象到整式的除法运算。比如从简单的整数除法12÷3 = 4，类比到单项式除以单项式，像6x2÷3x ，学生要理解这里的x代表一类数，把具体的数字运算规则抽象应用到含有字母的整式运算中，从而构建起整式除法的基本概念，将实际问题中的数量关系用整式除法的数学模型来表示 。
目标2的要求是：当进行多项式除以单项式运算时，如(4x2 + 2x)÷2x，学生要依据已有的乘法分配律知识进行逻辑推导。因为乘法分配律a(b + c)=ab + ac，那么在除法中可以逆向思考，把(4x2 + 2x)看作a(b + c)的形式，2x看作a，从而(4x2 + 2x)÷2x = 4x2÷2x + 2x÷2x，通过这样一步步的逻辑推理，得出整式除法的运算步骤和结果，培养学生严密的逻辑思维，使其学会运用符号表示数学关系并进行推理。
目标3的要求是：学生要熟练掌握整式除法的运算技能，包括单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算。在计算过程中，准确运用同底数幂的除法法则（同底数幂相除，底数不变，指数相减），如x5÷x3=x5 - 3=x2，以及系数的除法运算。通过大量的练习，提高学生的运算准确性和速度，培养学生严谨认真的运算习惯，提升学生的数学运算核心素养。
目标4的要求是：在探究整式除法法则的过程中，借助几何图形来理解运算法则是一种重要方式。通过用面积模型来解释单项式除以单项式，把抽象的代数运算转化为具体的图形操作，学生能够更直观地看到整式除法的过程和结果 。如将一个长方形的面积用代数式表示为ab，若它的长为a，那么宽就是ab÷a = b，通过这样的图形展示，学生能清晰地理解除法运算的意义，这就是直观想象在其中的运用，让学生建立起数与形之间的联系。
目标5的要求是：在实际生活中，很多问题可以用整式的除法来解决。例如，在分配物品问题中，如果有m个物品要平均分给n个小组，每个小组得到的物品数可以表示为m÷n ，当m和n是整式时，就涉及到整式的除法。学生要学会从这些实际问题中抽象出数学模型，运用整式除法的知识进行求解，从而提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，增强学生的数学应用意识和数学建模能力。
四、学生学情分析
学生基础情况
知识掌握：学生在之前已经学习了有理数的运算，包括加、减、乘、除、乘方等，这为学习整式的除法提供了运算规则和算理方面的基础。例如，学生知道除法是乘法的逆运算，能进行有理数的除法运算，如12÷3 = 4，能理解其含义是已知两个因数的积是 12 与其中一个因数 3，求另一个因数的运算。
学生已经掌握了整式的概念，包括单项式和多项式，能准确识别单项式的系数、次数，多项式的项数、次数等。例如，能判断3x2y是单项式，系数是 3，次数是 3；x2 + 2x - 1是多项式，有三项，次数是 2。
学生学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方等运算法则，这是整式除法中同底数幂除法的重要基础。如知道am·an=am + n，(am)n=amn， (ab)n=a n bn等运算法则，并能熟练运用进行计算。
技能水平：学生在之前的数学学习中，已经具备了一定的观察、分析和归纳能力。例如，在学习有理数运算规律和整式概念时，能够通过观察一些具体的例子，分析其中的规律，归纳出一般性的结论。
学生具有初步的逻辑推理能力，能根据已有的数学知识和运算法则，进行简单的逻辑推理和计算。如在证明同底数幂乘法法则的过程中，学生已经经历了从特殊到一般的推理过程，具备了一定的推理基础。
学生学习难点
1. 单项式除以单项式
系数相除的符号问题：学生在计算系数相除时，容易忽略符号规则。
同底数幂的除法法则运用不熟练：对于同底数幂相除，底数不变，指数相减的法则，学生可能会出现指数计算错误的情况。
只含在被除式里的字母处理不当：当单项式除以单项式时，被除式中单独含有的字母及其指数要作为商的一个因式写下来。学生可能会遗漏这部分。
2.多项式除以单项式
分配律的正确使用：多项式除以单项式，需要将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。学生可能会在分配过程中出现错误。
符号问题在多项式中的复杂性：多项式中各项有正有负，在除以单项式时，符号的处理会更加复杂。学生可能会出现符号混乱的情况，在计算过程中可能会忘记将各项的符号进行正确的变化，导致结果错误。
理解除法运算与乘法分配律的关系：学生需要理解多项式除以单项式的本质是乘法分配律的逆运用，这对于一些学生来说可能较难理解。他们可能只是机械地记忆步骤，而不明白其中的原理，从而在遇到稍微复杂的题目时就无法正确解答。
3.综合应用
法则的混淆：在整式乘除混合运算中，学生容易将整式的乘法法则和除法法则混淆，导致计算错误。
运算顺序问题：当整式的除法与其他运算混合在一起时，学生可能会不按照正确的运算顺序进行计算。例如在有括号、乘方、乘除等多种运算的式子中，不能正确地先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的。
化简求值中的整体代入思想：在一些化简求值的题目中，需要将给定的式子进行化简，然后将某个值代入求值。学生可能难以理解整体代入的思想，不知道如何将已知条件进行变形，以便代入化简后的式子中。
学生学习需求
1.知识理解需求
运算法则的理解：学生需要理解单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则。例如，对于单项式除以单项式，要明白是把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
算理的掌握：学生不仅要记住法则，更要理解其背后的算理。比如，通过将整式除法与整式乘法的互逆关系来理解运算法则的推导过程，明白为什么要这样进行运算。
与其他运算的联系：学生需要了解整式的除法与之前学过的整式乘法、有理数运算等知识的联系与区别，从而构建完整的知识体系。
2.技能提升需求
运算技能：能够熟练、准确地进行整式除法的运算，包括简单的单项式除以单项式、较复杂的多项式除以单项式等各种类型的题目，提高计算的速度和准确性。
化简技能：学会运用整式除法对整式进行化简，为后续学习分式化简、解方程等内容打下基础。
错误分析与纠正技能：在练习过程中，学生需要学会分析自己出现的错误，如符号错误、指数运算错误等，并且能够找到正确的解题方法，提高自我纠错能力。
3.应用能力需求
解决实际问题：能够将整式除法运用于实际问题情境中，如在几何图形问题中，通过已知的面积、体积等关系，利用整式除法求出相关的边长、高同等题。
数学建模能力：培养学生从实际问题中抽象出数学模型，运用整式除法等数学知识进行求解，再将结果回归到实际问题中进行检验和解释的能力。
4.思维发展需求
逻辑思维：在学习整式除法的过程中，学生需要通过对运算法则的推导、运算过程的分析等，培养逻辑思维能力，能够有条理地进行思考和推理。
逆向思维：利用整式除法与整式乘法的互逆关系，培养学生的逆向思维能力，学会从不同的角度思考问题。
创新思维：在解决一些综合性较强的整式除法问题时，鼓励学生尝试不同的解法，培养创新思维能力。
五、教学策略分析
归纳总结方法：需要掌握归纳总结的方法，将整式除法的各种题型、解法进行归纳，形成知识网络，便于记忆和运用。
类比学习策略：学会运用类比的方法，将整式除法与有理数除法、整式乘法等进行类比，找出它们之间的相似点和不同点，从而更好地理解和掌握整式除法。
练习与巩固策略：学生需要知道如何选择合适的练习题进行巩固提高，并且掌握有效的练习方法，如定期复习错题、进行专项训练等。
六、教学重难点
（一）重点：整式除法的运算法则。
（二）难点：理解整式除法的运算法则及其探索过程。
七、教学过程
教学流程
活动一：回顾导入，引出新课
【情境导入】
如图，三个大小相同的球恰好放在一个圆柱形瓶子里，你知道三个球的体积之和占整个瓶子容积的几分之几吗？该如何计算呢？(球的体积)
设计意图：通过实际问题为引入整式的除法做铺垫。
活动二：交流合作，探究新知
探究点1 单项式除以单项式
思考 如何计算(3×108)÷300？
方法1：我们可以用类比分数约分的方法来做这个除法运算，
方法2：我们知道，除法是乘法的逆运算，从互逆的角度我们想象300× 1000000 =3×108，即3×102× 1×106 =3×108，所以(3×108)÷300= 1×106 。
问题1 观察下列各式属于什么运算？如果类比上面的方法解答需要用到哪些学过的运算法则？
属于单项式除以单项式的运算。要用到：①同底数幂的除法运算公式：am÷an=am-n（a≠0，m，n都是整数，并且m>n)；②单项式与单项式相乘的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
问题2 请用你的方法计算上述各式。
问题3 分析上述计算过程，找出规律，并填写下表：
问题4 请你归纳一下如何进行单项式除以单项式的运算。
师生共同归纳：
单项式除以单项式的运算法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例1 ［教材P27例(1)(2)(3)(4)］计算：
【对应训练】
教材P27随堂练习第1题。
设计意图：通过设问引导学生概括出单项式除以单项式的运算法则，并布置练习题及时巩固所学，加强学生对于新知的掌握程度。
探究点2 多项式除以单项式
问题2 如果把你在上个问题中用到的运算法则里的乘号改成除号，并直接用它算一算上述各题，你发现了什么？
（1）(ad+bd)÷d=ad÷d+bd÷d=a+b。
（2）(a2b+3ab)÷a=a2b÷a+3ab÷a=ab+3b。
（3）(xy3-2xy)÷xy=xy3÷xy-2xy÷xy=y2-2。
问题3 请你归纳一下如何进行多项式除以单项式的运算法则。
师生共同归纳：
多项式除以单项式的运算法则：
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。
例2 ［教材P27例（5）（6）］计算：
【对应训练】
教材P27随堂练习第2题。
设计意图:通过设问引导学生概括出多项式除以单项式的运算法则，并布置练习题及时巩固所学，加强学生对于新知的掌握程度。
活动三：综合演练，巩固提升
【对应训练】
已知多项式2x3-4x2+7x-1除以一个多项式M，得到商式2x，余式x-1，求多项式M（提示：类比数的除法的运算法则，即被除数=除数×商+余数）。
解：由题意，得M =［2x3-4x2+7x-1-(x-1)］÷2x
=(2x3-4x2+6x)÷2x
=x2-2x+3。
设计意图: 将多项式除以单项式与其他整式运算进行综合，强化学生对于新知的掌握程度和运算能力的提升。
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】相应练习。
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.单项式除以单项式的运算法则是什么？你能据此解决相应的运算题吗？
2.多项式除以单项式的运算法则是什么？你能据此解决相应的运算题吗？
3.你能解决整式的混合运算题吗？
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P28习题1.4第1，2，3题。
2.相应课时训练。
八、板书设计
4整式的除法
1.单项式除以单项式：
2.多项式除以单项式：
九、教学反思
（一）课前反思
从教学目标来看，需要明确让学生理解并掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，这是核心目标。同时，要培养学生运用法则进行整式除法运算的能力，提升其逻辑思维。但考虑到学生刚刚学习了整式的乘法，对乘法法则的熟悉程度可能会影响到除法的学习，存在思维惯性的问题。
在学情分析上，七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。整式的除法相对抽象，部分学生理解起来可能有困难，尤其是多项式除以单项式中各项符号的处理。不过，学生在之前的学习中积累了一定的数学基础，对新知识也有较强的好奇心，这是可以利用的积极因素。
在教学方法上，我计划采用情境引入法，通过实际问题引出整式除法的需求，激发学生兴趣。然后运用类比的方法，将整式除法与整数除法进行对比，帮助学生理解。但在教学过程中，可能会出现学生对类比理解不深入，导致对运算法则掌握不牢的情况。
（二）课后反思
在教学内容的把握上，对教材进行了较为细致的梳理，将整式的除法运算规则清晰地呈现给学生。通过实例逐步引导学生理解单项式除以单项式、多项式除以单项式的计算方法，让学生明白每一步运算的依据。然而，在教学中也发现部分学生对同底数幂的除法法则在实际运用时仍容易混淆，这反映出我在复习旧知环节的铺垫不够充分，没有让学生充分巩固同底数幂的相关知识，导致在新知识的学习中出现衔接问题。
从学生的课堂表现来看，大部分学生能够积极参与课堂互动，跟随教学节奏思考问题。但仍有部分基础薄弱的学生在理解多项式除以单项式时较为吃力，跟不上教学进度。在小组讨论环节，部分小组讨论氛围不够热烈，存在个别学生主导讨论，而部分学生参与度不高的现象。这表明我在小组分组和引导讨论方面还需要进一步优化，确保每个学生都能在小组活动中有所收获。
教学方法上，采用了讲授法与练习法相结合的方式。讲授过程中，通过多媒体展示例题和动画演示，帮助学生直观地理解运算原理。练习环节，安排了有梯度的练习题，从基础巩固到拓展提升，满足不同层次学生的需求。但在练习过程中，对学生的个体关注还不够，没有及时发现每个学生在解题过程中出现的问题并给予针对性指导。

展开更多......

收起↑