资源简介

第一节 幂的乘除（第2课时）
教学设计
一、教学内容和内容解析
（一）教学内容
教材第4～5页，幂的乘除（2）
（二）教学内容解析
承接上一课时同底数幂的乘法，进一步深入探究幂的运算规律，为后续整式乘除的学习筑牢根基。这一课时主要内容为幂的乘方与积的乘方。幂的乘方公式 （m，n 都是正整数），其推导过程是基于同底数幂的乘法原理，通过多个相同底数幂相乘的形式，逐步归纳得出。这不仅强化了学生对指数运算规则的理解，也培养了他们的逻辑推理能力。本课时的重点在于让学生理解并熟练掌握幂的乘方，能够准确运用公式进行计算。难点则是公式的推导过程以及在复杂运算中对公式的灵活运用，比如在底数含有负号等特殊情况下，学生容易出错。
二、课程标准内容要求
学生要理解幂的乘方是一种特殊的幂运算形式，即底数是幂的形式，指数又是一个数，例如，知道它表示n个相乘。
掌握幂的乘方法则：学生需要掌握幂的乘方法则，即（m、n都是正整数），能够理解法则中 “底数不变，指数相乘” 的本质，并能准确运用该法则进行幂的乘方运算。
进行简单运算：能运用幂的乘方法则，对简单的整式进行幂的乘方运算，如计算、等，并且能够在混合运算中正确处理幂的乘方部分。
三、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1. 数学抽象
通过对具体幂的乘方运算实例的观察、分析，如 、 等，让学生经历从特殊到一般的过程，抽象出幂的乘方的运算法则，即 （ m，n 都是正整数），培养学生从具体数学现象中抽象出数学本质的能力。
2. 逻辑推理
在推导幂的乘方运算法则的过程中，引导学生依据乘方的意义和同底数幂的乘法法则进行逐步推导,从而培养学生的逻辑推理能力，使其能有条理地进行数学思考和推导。
3. 数学运算
通过大量的幂的乘方运算练习，让学生熟练掌握幂的乘方运算法则，提高学生的运算能力，同时引导学生在运算过程中注意符号的处理、指数的运算等细节，培养学生严谨的运算习惯。
4. 数学建模
在解决实际问题中，引导学生将实际问题转化为幂的乘方的数学模型。培养学生运用数学知识解决实际问题的能力和数学建模素养。
5.数学思维
在探究幂的乘方的过程中，鼓励学生大胆质疑、提出问题，如思考当指数m 、n 为非正整数时，运算法则是否适用等，培养学生的批判性思维和创新思维。同时，通过对比同底数幂的乘法、幂的乘方的异同，培养学生的类比思维，加深对不同运算法则的理解。
（二）目标解析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：
目标1的要求是：幂的乘方概念的构建是培养学生数学抽象素养的重要契机。在教学过程中，通过生活实例，如细胞分裂的数量增长问题，引导学生从具体的情境中抽象出幂的乘方模型。
目标2的要求是：在探究幂的乘方运算法则时，着重培养学生的逻辑推理素养。教师引导学生基于已有的乘方意义和同底数幂乘法法则，通过演绎推理来推导幂的乘方法则。法则推导过程让学生体验从已知到未知、从特殊到一般的逻辑推理路径，锻炼他们有条理地思考和表达，提高逻辑推理能力。在后续解决幂的乘方相关问题时，学生能够运用这种逻辑推理方式，判断和分析问题，准确选择和运用法则进行计算和证明。
目标3的要求是：幂的乘方的学习为提升学生数学运算素养提供了实践平台。学生需要熟练掌握幂的乘方运算公式，准确进行计算，在实际运算中，学生不仅要能正确计算简单的幂的乘方题目，还要学会处理较为复杂的混合运算，在计算过程中，学生需要遵循先乘方后乘法，再进行加减法的运算顺序，通过不断练习，提高运算的准确性和速度，培养严谨细致的运算习惯，提升数学运算素养。
目标4的要求是：培养学生运用幂的乘方知识解决实际问题，有助于提升他们的数学建模素养。例如，在计算声音在空气中传播的能量衰减问题时，如果声音的能量在每经过一段距离后衰减为原来的倍，经过段这样的距离后，能量又在另一种环境下以相同的衰减方式经过段距离，就可以建立幂的乘方模型来计算最终的能量衰减情况。学生在解决这类实际问题时，需要将实际问题转化为数学问题，构建合适的幂的乘方模型，然后运用所学知识求解，最后再将结果还原到实际情境中进行解释和检验，从而增强数学建模意识和能力，体会数学在实际生活中的广泛应用价值。
目标5的要求是：同底数幂的乘法是学生之前已掌握的知识，在学习幂的乘方时，引导学生对比两者的运算种类、公式、法则中的运算、计算结果中底数与指数的变化情况。如在运算种类上，同底数幂的乘法是乘法运算，幂的乘方是乘方运算；公式分别为 与；法则中同底数幂乘法是底数不变，指数相加，幂的乘方是底数不变，指数相乘。通过这样的类比，让学生更清晰地理解幂的乘方的本质特征，也能帮助学生构建完整的知识体系，提升类比思维能力，学会举一反三，为后续学习其他幂的运算奠定基础。
四、学生学情分析
学生基础情况
知识掌握：学生在之前的学习中已经掌握了有理数的运算，包括加、减、乘、除、乘方等，这为理解幂的乘方中涉及的数值计算提供了基础。已经学习了同底数幂的乘法法则，对幂的概念和底数、指数的含义有了一定的认识，知道（m，n是正整数），这与幂的乘方（m，n是正整数）在形式和概念上有一定的关联性，学生可以进行类比学习。
技能水平：具备了一定的逻辑思维能力和归纳总结能力，在学习同底数幂的乘法时，已经经历了从特殊到一般的归纳过程，能够尝试通过观察、分析一些具体的运算例子，总结出一般性的规律。有了初步的符号意识，能理解用字母表示数和数量关系，对于等形式的代数式有了一定的认知和运用能力。
学生学习难点
抽象性理解困难：幂的乘方是在同底数幂乘法基础上的进一步抽象。如这种形式，对于七年级学生来说，理解底数a是一个任意的数或代数式，指数m和n是正整数，且整个式子表示n个相乘，具有一定的抽象性。学生可能难以将其与具体的数学运算联系起来，导致对概念的本质把握不准确。
与同底数幂乘法概念混淆：幂的乘方与同底数幂的乘法在形式上有相似之处，学生容易将两者的运算法则混淆。同底数幂乘法是，而幂的乘方是，一个是指数相加，一个是指数相乘，学生可能会因为没有清晰理解两者的本质区别，而在运用时出现错误。
与其他整式运算的综合运用：在实际问题中，幂的乘方通常会与同底数幂乘法、积的乘方、整式的加减等其他整式运算结合在一起。学生需要在一个题目中综合运用多种运算法则，这就要求他们不仅要熟练掌握幂的乘方运算，还要能够准确判断运算顺序，合理运用各种法则进行计算。但学生往往在这种综合题型中容易顾此失彼，出现各种错误。
解决实际问题的建模困难：将幂的乘方知识应用到实际问题中，需要学生具备一定的数学建模能力。例如，在涉及细胞分裂、人口增长等实际问题中，需要学生能够根据问题情境建立幂的乘方模型，然后运用相关知识进行求解。但学生在这方面的能力通常较为薄弱，难以将实际问题转化为数学模型。
学生学习需求
1.知识理解需求
概念理解：学生需要清晰地理解幂的乘方的概念，即（≠0，m，n都是正整数）这种形式所代表的数学意义，明白它表示n个相乘。
法则推导：学生渴望理解幂的乘方法则是如何推导出来的，希望通过具体的例子和逻辑推理实例，逐步推导出一般形式的法则，从而掌握其内在的数学原理。
与同底数幂乘法的区别：学生有需求区分幂的乘方与同底数幂的乘法这两种运算。前者是底数不变，指数相乘；后者是底数不变，指数相加，学生需要明确它们的不同特征和适用场景，避免在运算时出现混淆。
2.技能掌握需求
基本运算技能：学生要熟练掌握幂的乘方的基本运算，能够准确地运用法则进行计算，确保运算结果的准确性。
混合运算能力：在掌握基本运算的基础上，学生需要学会在含有多种运算的式子中正确运用幂的乘方法则，如在混合运算中，能正确处理幂的乘方与其他运算的顺序和关系，提高综合运算能力。
逆向运用能力：学生还需要掌握幂的乘方法则的逆向运用，能够根据具体题目条件，灵活地将一个幂转化为幂的乘方形式。
3.学习方法需求
归纳总结方法：学生需要学会对幂的乘方相关知识和题型进行归纳总结，梳理出幂的乘方的概念、法则、运算技巧以及常见的错误类型等，形成系统的知识体系。
类比学习方法：学生希望通过类比幂的乘方与同底数幂乘法、积的乘方等其他整式乘除运算的学习方法和规律，加深对幂的乘方的理解和记忆，同时提高对整式乘除运算整体的认识和把握能力。
错题整理方法：学生在学习过程中会出现各种错误，他们需要掌握整理错题的方法，分析做错的原因，总结正确的解题思路和方法，通过错题巩固对幂的乘方知识的理解和运用。
4.应用拓展需求
实际问题应用：学生希望了解幂的乘方在实际生活中的应用，如在科学计数法、计算机存储容量等方面的应用实例，体会数学知识与实际生活的紧密联系，提高运用数学知识解决实际问题的能力。
拓展延伸应用：学生有探索精神，希望对幂的乘方进行拓展延伸，了解它在更高级数学知识中的应用和地位，如在代数运算、方程求解等方面的进一步应用，为后续学习奠定基础，激发学习数学的兴趣和动力。
五、教学策略分析
情境导入法：通过创设实际生活中的问题情境，如细胞分裂问题，引出幂的乘方的概念，激发学生的学习兴趣和求知欲。
合作探究法：组织学生进行小组合作探究，通过计算、观察、讨论等活动，让学生自主推导幂的乘方运算法则，培养学生的合作能力和探究精神。
练习巩固法：设计有针对性的练习题，让学生在练习中巩固幂的乘方运算法则，提高学生的计算能力和应用能力。
六、教学重难点
（一）重点：会进行幂的乘方的运算。
（二）难点：幂的乘方性质的逆用。
七、教学过程
教学流程
活动一：创设情境，导入新课
【情境引入】
1．一个正方体的棱长是102 mm，它的体积是__(102)3__mm3.如果将这个正方体的棱长扩大为原来的10倍，那么这个正方体的体积是__(103)3__mm3.
2．球的体积公式是V＝πr3，其中V是球的体积、r是球的半径．地球、木星、太阳可以近似地看成球体．木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球体积的__103__倍和__(102)3__倍．
问题：怎样计算(102)3，即幂的乘方的运算．
设计意图：用实际问题进行导入，自然引出新课。
活动二：交流合作，探究新知
探究点1 幂的乘方的运算
完成下面的运算：
(1)(62)4；(2)(a2)3；(3)(am)2；(4)(am)n.
解：(1)原式＝68；(2)原式＝a6；(3)原式＝a2m；(4)原式＝amn.
探究点2 公式的总结(课件)
(am)n＝amn(m，n都是正整数)．
师生共同归纳：幂的乘方，底数__不变__，指数__相乘__．
设计意图：经历幂的乘方的运算，探究底数与指数的变化规律，归纳幂的乘方的法则。
活动三：当堂训练，巩固提升
例1 计算(多媒体展示)：
(1)(102)3；　(2)(b5)5；　(3)(an)3；
(4)－(x2)m；　(5)(y2)3·y；　(6)2(a2)6－(a3)4.
【方法指导】直接运用(am)n＝amn计算即可．
解：(1)原式＝102×3＝106；
(2)原式＝b5×5＝b25；
(3)原式＝an×3＝a3n；
(4)原式＝－x2×m＝－x2m；
(5)原式＝y6·y＝y7；
(6)原式＝2a12－a12＝a12.
例2 比较340与430的大小．
【方法指导】逆用幂的乘方比较大小：340＝(34)10，430＝(43)10，比较34与43的大小就可以得出340与430的大小．
解：因为340＝(34)10，430＝(43)10，
且34＝81，43＝64，81＞64，
所以(34)10＞(43)10，
即340＞430.
例3 已知221＝8y+1，9y＝3x-9，则代数式x＋y的值为________．
【方法指导】根据幂的乘方的逆运算转化得到x和y的方程，求出x，y，再计算出代数式的值．
答案：10
设计意图:通过练习使学生巩固对幂的乘方的认识，拓展学生思维和强化学生运算能力。
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】
1．判断题，错误的予以改正．
(1)a4＋a4＝2a8；(×)
改正：a4＋a4＝2a4；
(2)(x3)3＝x6；(×)
改正：(x3)3＝x9；
(3)(－4)2·(－4)4＝(－4)6＝－46；(×)
改正：原式＝46；
(4)[(m－n)4]3－[(m－n)6]2＝0.(√)
2．若(x2)m＝x10，则m＝__5__．
3．若am＝2，an＝5，求a3m+2n的值．
解：a3m+2n＝a3m·a2n＝(am)3·(an)2＝23×52＝200.
4．课本P5随堂练习第1,2题。
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.这节课的主要收获是什么？
2．计算幂和乘方时应注意什么？
【知识结构】
【作业布置】
1.课本P9习题1.1中的第3,4题.。
2.相应课时训练。
八、板书设计
2.幂的乘方
1.法则： 幂的乘方，底数不变，指数相乘， 即(am)n＝amn(m，n都是正整数)。
2.计算时要注意底数的整体性，例如：(－4)2·(－4)4＝(－4)6。
九、教学反思
（一）课前反思
从知识层面来看，幂的乘方运算法则是本节课核心，其推导过程对学生理解法则本质至关重要。学生已掌握同底数幂乘法，这是学习幂的乘方的基础，但两者易混淆，需在教学中强化对比。
在学生学情方面，七年级学生正从形象思维向抽象思维过渡，幂的乘方较为抽象，理解运算法则对他们有一定难度。部分学生可能在法则推导时出现理解障碍，在实际运用时也可能出错。
在教学方法上，我计划采用引导探究法，通过具体实例让学生自主探究幂的乘方规律，经历从特殊到一般的过程，培养其归纳能力。同时结合多媒体演示，直观展示幂的乘方变化，帮助学生理解。在练习环节，设计不同层次题目，满足不同学生需求。
（二）课后反思
在教学目标达成方面，大部分学生能够理解幂的乘方运算法则，并能运用法则进行基本的计算，这表明教学目标基本达成。通过实例引入，如以正方形面积和正方体体积的计算为引导，帮助学生从具体情境中抽象出幂的乘方问题，使学生更易理解幂的乘方的概念。在推导运算法则时，引导学生通过观察、分析和归纳，自主得出 的结论，培养了学生的逻辑思维能力。
教学方法上，采用了讲授法与练习法相结合的方式。在讲解过程中，注重知识的连贯性，从同底数幂的乘法过渡到幂的乘方，让学生对比两者的区别与联系。课堂练习环节，设置了不同层次的题目，从简单的直接运用法则计算，到稍复杂的逆用法则计算，满足了不同层次学生的需求。但在练习过程中，发现部分学生对法则的理解还不够深入，在解决一些变形题目时存在困难。这提示我在今后的教学中，应增加更多具有针对性的练习，加强对学生解题思路的引导。
学生表现方面，课堂上大部分学生能够积极参与讨论和回答问题，但仍有少数学生较为被动。在小组讨论环节，部分小组讨论不够充分，个别学生参与度不高。后续需要进一步优化小组合作的组织形式，鼓励每个学生都能积极发表自己的见解。

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