资源简介

第一节 幂的乘除（第3课时）
教学设计
一、教学内容和内容解析
（一）教学内容
教材第5～6页，幂的乘除（3）
（二）教学内容解析
1.教学重点
积的乘方运算法则的理解和应用。这是本节课的核心内容，学生只有掌握了积的乘方运算法则，才能正确地进行整式的乘除运算，为后续学习多项式乘法等内容奠定基础。
法则的推导过程。理解法则的推导过程有助于学生深入理解积的乘方的本质，而不仅仅是机械地记忆法则，提高学生的数学思维能力。
2.教学难点
积的乘方运算法则的灵活运用。在实际运算中，学生可能会遇到各种形式的积的乘方问题，如底数是多个因式的积、指数为负数或分数等情况，如何准确、灵活地运用法则进行计算是学生学习的难点。
区别积的乘方与同底数幂的乘法、幂的乘方等运算法则。这几种运算法则在形式上有一定的相似性，学生容易混淆，需要通过对比分析和大量的练习来帮助学生区分。
3.与前面知识的联系
积的乘方是在学生学习了同底数幂的乘法、幂的乘方之后进行的。同底数幂的乘法法则和幂的乘方法则为积的乘方运算法则的推导提供了基础。同时，前面所学的有理数的乘方运算也为积的乘方的引入提供了直观的例子，帮助学生从具体的数字运算过渡到抽象的字母运算。
4.对后续知识的影响
积的乘方运算法则是整式乘除运算的重要组成部分，它是后续学习单项式乘以单项式、多项式乘以单项式、多项式乘以多项式等内容的基础。也为学习乘法公式奠定基础，因为在公式的推导和运用中会涉及到整式的乘方运算。
二、课程标准内容要求
理解法则：学生要理解积的乘方的运算法则，即(ab)n=anbn（m,n为正整数），知道积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，并且能将其推广到三个或三个以上因式的积的乘方。
掌握运算：能够熟练运用积的乘方运算法则进行计算，包括底数是具体数字与字母的积、底数是幂与其他因式的积等各种形式的运算。
逆用公式：学会逆用积的乘方公式(ab)n=anbn进行简便运算或化简。
三、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1. 数学抽象
通过具体的数字运算实例，如(23)2与(2) 3 ，引导学生观察、分析，归纳出积的乘方的运算法则表达式(ab)n = anb n(m，n为正整数），培养学生从具体到抽象的思维能力，提升数学抽象素养。
2. 逻辑推理
在推导积的乘方运算法则过程中，利用乘方的意义，通过乘法交换律与结合律，得到(ab)n = anb n(m，n为正整数），让学生经历从已知条件出发，逐步推导结论的过程，锻炼逻辑推理能力。
3. 数学运算
学生能够熟练运用积的乘方运算法则进行整式的乘除运算，提高学生的运算准确性与速度，培养数学运算素养。
4. 直观想象
通过构建边长为ab的正方形或棱长为ab的正方体等几何图形，从图形的面积或体积计算出发，直观感受(ab)n所代表的实际意义，将抽象的积的乘方概念与具体的几何形象建立联系，帮助学生理解积的乘方是对积中每个因式分别乘方再相乘这一运算规则。例如，边长为ab的正方形面积为(ab)2，从图形上可以分割为a×a与b×b的组合，从而直观地理解(ab)2=a2b2 。
5. 数学建模
引导学生运用积的乘方知识解决实际生活中的数学问题，如在计算长方体体积V=abc（假设边长为a、b、c，体积n倍放大等情况）时，建立数学模型，将实际问题转化为数学运算，增强学生数学建模与应用意识。
（二）目标解析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：
目标1的要求是：引导学生从具体的数字运算实例中，如 (2×3) = 2 ×3 ，抽象出积的乘方的一般形式 (ab) = a b 。让学生经历从特殊到一般的归纳过程，理解积的乘方的本质，即把积中每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
目标2的要求是：在推导积的乘方运算法则时，运用乘方的意义和乘法交换律、结合律进行逻辑推导。例如，对于 (ab) ，根据乘方的意义可写成 n 个 ab 相乘，即 (ab)×(ab)×…×(ab) ，再利用乘法交换律和结合律，将其转化为 (a×a×…×a)×(b×b×…×b) ，也就是 a b ，从而得出积的乘方运算法则。
目标3的要求是：学生能够熟练运用积的乘方运算法则进行简单的幂的运算，如计算 (3x ) ，能正确地将 3 和 x 分别进行立方运算，得到 27x 。同时，能够解决一些较为复杂的混合运算，如 (-2a b ) ×(3a b) ，先分别运用积的乘方运算法则进行计算，再进行乘法运算。
目标4的要求是：借助图形来理解积的乘方的概念，如用边长为 ab 的正方形面积来表示 (ab) ，将其分割为边长分别为 a 和 b 的小正方形，通过计算小正方形面积之和 a + b ，直观地理解 (ab) = a b ，从而加深对积的乘方概念的理解。
目标5的要求是：能将实际生活中的问题，如计算正方体体积的变化，建立数学模型，运用积的乘方知识解决问题。假设正方体的棱长变为原来的 n 倍，通过积的乘方运算得出体积变为原来的 n 倍。
四、学生学情分析
学生基础情况
知识掌握：
有理数运算基础：学生在小学阶段已经熟练掌握了整数、分数的四则运算，在七年级又进一步学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，这为理解积的乘方运算中涉及的数字计算提供了基础。
幂的相关知识：在学习积的乘方之前，学生已经学习了同底数幂的乘法、幂的乘方等知识，对幂的概念、底数、指数等有了一定的认识，知道了如何进行同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，如am ·an=am + n，(am)n=amn，这为积的乘方的学习提供了知识和方法上的铺垫。
乘法运算律：学生在小学就学习了乘法交换律、结合律等运算律，这些运算律在积的乘方推导过程中会起到重要作用，学生可以利用这些运算律来理解和推导积的乘方公式。
技能水平：
运算能力：通过之前有理数运算和整式加减运算的学习，学生具备了一定的运算能力，但对于积的乘方这种新的运算形式，还需要进一步理解和掌握其运算规则，提高运算的准确性和灵活性。
逻辑思维能力：在学习数学的过程中，学生的逻辑思维能力在不断发展。在积的乘方的学习中，他们能够尝试通过观察、分析、归纳等方法来探索规律，推导积的乘方公式，但对于较为复杂的逻辑推理和证明，可能还存在一定的困难，需要进一步培养和提高。
符号意识：学生已经初步具备了一定的符号意识，能够用字母表示数和简单的数量关系，但在理解和运用符号进行复杂的运算和推理时，可能还会遇到一些困难，需要在积的乘方的学习中进一步强化。
学生学习难点
1.概念理解
积的乘方本质理解困难：积的乘方是指先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘。学生可能难以理解为什么要这样做以及这种运算规则与之前所学的幂的运算的区别和联系。
底数的识别问题：当积的形式较为复杂时，学生可能难以准确识别底数。
2.运算规则应用
与其他幂运算规则混淆：学生在学习了同底数幂的乘法、幂的乘方等运算后，容易将积的乘方运算规则与它们混淆。
多重乘方运算的顺序：当出现多重乘方运算时，学生可能会不清楚应该先计算哪一层的乘方，容易在运算顺序上出现错误，导致结果错误。
系数的处理：当积中含有系数时，学生可能会忘记对系数进行乘方运算。
3.逆运算运用
逆用规则的意识缺乏：积的乘方的逆运算)在一些化简和计算中非常有用，但学生往往缺乏逆用规则的意识，习惯于按照从左到右的顺序进行运算，不善于观察式子的特点，灵活地运用逆运算来简化计算。
逆用条件的判断：在逆用积的乘方运算时，需要判断式子是否符合an bn的形式，对于一些变形后的式子，学生可能难以准确判断是否可以逆用积的乘方规则。
4.实际应用
解决实际问题时建模困难：在实际问题中，需要学生能够将问题情境转化为数学模型，运用积的乘方等知识进行求解。但学生可能在理解问题情境、找出数量关系并建立相应的数学模型方面存在困难。例如，在计算一个正方体的边长扩大n倍后，其体积是原来的多少倍的问题中，学生可能不知道如何运用积的乘方来表示边长变化后的体积与原来体积的关系。
学生学习需求
1.知识理解需求
理解概念：学生需要理解积的乘方的意义，明白为什么(ab)n = anb n(m，n为正整数），能够清晰地认识到积的乘方是将积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
掌握法则：熟练掌握积的乘方运算法则，能够准确、快速地运用法则进行计算，包括底数是简单的数字与字母的积，以及较为复杂的多项式的积的情况。
2.技能掌握需求
学生要具备将积的乘方与同底数幂的乘法、幂的乘方等运算综合运用的能力，能正确判断运算顺序和运用相应法则，准确进行混合运算，提高运算的速度和准确性。
3.应用与拓展需求
实际应用：学生需要能够将积的乘方知识应用到实际问题中，解决如科学计数法、物理中的公式推导、几何图形的面积体积计算等方面的问题，体会数学与生活的紧密联系。
拓展延伸：对于学有余力的学生，他们希望能够进一步拓展知识，了解积的乘方在更高级数学知识中的应用，如在代数运算、方程求解中的作用，以及与其他数学概念的联系，为后续学习奠定基础。
六、教学重难点
（一）重点：积的乘方的运算法则及其应用。
（二）难点：正确区分幂的乘方与积的乘方的异同。
七、教学过程
教学流程
活动一：创设情境，新课导入
【情境导入】
1．复习回顾
(1)同底数幂的乘法运算法则是什么？
同底数幂相乘，底数不变，指数相加．即am·an＝am＋n(m，n为正整数)．
(2)幂的乘方的运算法则是什么？
幂的乘方，底数不变，指数相乘．即(am)n＝amn(m，n为正整数)．
2．活动内容(课件)：
(1)地球可以近似地看成球体，地球的半径约为6×103 km，它的体积大约是多少立方千米？
(2)(6×103)3该如何计算呢？是我们前面所学习过的两种运算吗？这种运算有什么特征？
设计意图：引入积的乘方问题，为探究与积的乘方有关的计算问题做铺垫。
活动二：交流合作，探究新知
探究点1 积的乘方的运算法则
用幂的意义计算(ab)4.
问题1：请同学们通过计算，观察积的乘方的结果，你能得出什么结论？
问题2：如果设n为正整数，将上式的指数改成n，即(ab)n，其结果是什么？
师生共同归纳：积的乘方等于每一个因数乘方的积．
(ab)n＝
＝＝anbn.
探究点2 积的乘方的运算法则的探究
(1)计算(3×4)2与32×42，你发现了什么？
(2)猜想：(ab)3与a3b3是什么关系？
(3)思考：积的乘方(ab)n的结果是什么？为什么？
(4)你能用简洁的语言表达你的发现吗？
(5)三个或三个以上因数的积的乘方，是否也具有上面的性质？怎样用公式表示？
师生共同归纳：积的乘方的运算法则也适用于多个因数积的乘方．
探究点3 积的乘方的运算性质的拓展
1．探究(abc)n＝anbncn.
(1)探究(5xy)3的计算方法；
(2)探究计算：(－2xy)4；
(3)(abc)n等于anbncn吗？
解：(1)(5xy)3＝53·x3·y3＝125x3y3；
(2)(－2xy)4＝(－2)4·x4·y4＝16x4y4；
(3)等于．
师生共同归纳：(abc)n＝anbncn.
2．逆用公式
问题：不使用计算器，你能很快求出下列各式的结果吗？
(1)23×53；(2)×4100；(3)812×.
解：(1)原式＝(2×5)3＝1 000；
(2)原式＝＝1；
(3)原式＝×＝.
【归纳】可以逆用积的乘方公式进行简便计算．用字母表示为anbn＝(ab)n.
设计意图：通过积的乘方的运算法则的推到体验、总结归纳和实际应用，进一步体验运算法则在计算中的规律，发展推理能力和运算能力。
活动三：变式训练，巩固提升
【例1】计算：
(1)(3x)2；(2)(－2b)5；(3)(3a2)n.
【方法指导】直接运用积的乘方法则进行计算．
解：(1)原式＝32x2＝9x2；
(2)原式＝(－2)5b5＝－32b5；
(3)原式＝3n(a2)n＝3na2n.
【例2】计算：
(1)(－2a2)3·a3＋(－4a)2·a7－(5a3)3；
(2)(－a3b6)2＋(－a2b4)3.
【方法指导】先计算积的乘方，再算乘法，最后算加减．
解：(1)原式＝－8a6·a3＋16a2·a7－125a9
＝－8a9＋16a9－125a9
＝－117a9；
(2)原式＝a6b12－a6b12＝0.
【例3】计算：(1)410×；(2)(0.125)70×872.
【方法指导】an·bn＝(ab)n的灵活运用．
解：(1)410×＝＝1；
(2)(0.125)70×872＝×82＝64.
设计意图:使学生经历应用积的乘方的运算法则的过程，巩固本节课所学。
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】
1．计算(－2x3)2的结果是(D)
A．－2x5 B．－4x6 C．－2x6 D．4x6
2．下列计算正确的是(C)
A．a3·a2＝a6 B．a2＋a4＝2a2 C．(a3)2＝a6 D．(3a)2＝a6
3．计算：
(1)(－4ab)3; (2)(－xmy3m)4；
(3)(－2×104)2; (4)(－2x2)3＋(－4x3)2.
解：(1)原式＝－64a3b3；(2)原式＝x4my12m；(3)原式＝4×108；(4)原式＝8x6.
4．课本P6随堂练习第1,2题.
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.这节课的主要收获是什么？
2．积的乘方的运算法则是(ab)n＝anbn(n是正整数)，灵活运用幂的乘方、积的乘方解决问题。
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P9习题1.1第5，6题。
2.相应课时训练。
八、板书设计
3.积的乘方
1.法则：积的乘方等于每一个因数乘方的积，即(ab)n＝anbn.
2.积的乘方的运算法则也适用于多个因数积的乘方，即(abc)n＝anbncn.
九、教学反思
（一）课前反思
从学生的知识基础来看，学生已经学习了同底数幂的乘法、幂的乘方等相关知识，对幂的运算有了初步的认识和理解。但这些知识较为抽象，部分学生在理解和运用上可能还存在一定困难。积的乘方作为幂运算的重要组成部分，如何引导学生在已有知识的基础上，顺利理解和掌握这一新概念，是教学的关键之一。
在教学方法的选择上，要注重趣味性和启发性。考虑到七年级学生的特点，单纯的理论讲解可能会使学生感到枯燥，降低学习积极性。因此，计划通过创设实际问题情境，如利用生活中的体积计算问题引入积的乘方概念，让学生在解决实际问题的过程中，发现和总结规律，从而自然地引出本节课的内容。这样既能激发学生的学习兴趣，又有助于培养学生的观察、分析和归纳能力。
然而，在备课过程中也意识到一些潜在的问题。例如，如何确保每个学生都能积极参与到课堂活动中，尤其是对于基础较薄弱的学生，如何给予他们足够的关注和指导，使他们也能跟上教学进度，理解和掌握积的乘方的运算法则。另外，在练习题的设计上，如何做到层次分明，满足不同层次学生的需求，让每个学生都能在练习中有所收获，也是需要进一步思考和完善的地方。
针对这些问题，在教学过程中，要加强对学生的巡视和指导，及时发现学生在学习中遇到的问题并给予帮助。对于基础薄弱的学生，可以采取个别辅导、小组互助等方式，确保他们能够理解和掌握基础知识。在练习题的布置上，设置基础题、提高题和拓展题，让不同层次的学生都能在自己的能力范围内得到锻炼和提高。
（二）课后反思
从教学目标达成来看，大部分学生能够理解积的乘方运算法则，并运用其进行简单计算，基本达成教学目标。但在复杂运算中，部分学生对法则的灵活运用还存在问题，比如底数是多个因式相乘且指数为负数时，出错率较高。
在教学方法上，采用了实例引入和小组讨论相结合的方式。通过实际问题引出积的乘方概念，能激发学生兴趣，但在小组讨论环节，部分小组讨论效率不高，存在个别学生主导讨论，部分学生参与度低的现象。
学生课堂表现方面，多数学生积极回答问题，但在自主练习时，反映出对知识的理解深度和应用能力参差不齐。后续需要加强对学生个体差异的关注，对学习困难的学生进行针对性辅导。同时，在教学方法上要进一步优化小组讨论环节，提高学生参与度，让每个学生都能在课堂中有所收获。

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