资源简介

第一节 幂的乘除（第4课时）
教学设计
一、教学内容和内容解析
（一）教学内容
教材第6～8页，幂的乘除（4）
（二）教学内容解析
同底数幂的除法和零指数幂的内容占据着关键地位。这部分内容不仅是对幂运算知识体系的进一步完善，更是后续学习整式除法以及其他代数知识的重要基石。
从教材编排来看，在七年级上册学生已经学习了有理数及其运算、整式及其加减 ，初步建立了数与式的概念和运算基础。在本章前面，又依次学习了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方，这些内容为同底数幂的除法做了充分的知识铺垫。同底数幂的除法与前面三种幂的运算有着紧密联系，它们都围绕着幂的意义展开，但同底数幂的除法是在乘法的基础上进行逆向运算，这种从乘法到除法的转变，有助于学生深化对幂运算的理解，体会数学运算的互逆性。
重点在于让学生熟练掌握同底数幂的除法法则并能准确运用，理解零指数幂的意义；教学难点则是如何引导学生深入理解同底数幂除法法则的推导过程，以及零指数幂规定的合理性。在教学过程中，教师应注重引导学生通过自主探究、合作交流等方式，经历法则的探索和归纳过程，培养学生的逻辑思维能力和推理能力。同时，结合大量的实际问题，让学生在解决问题的过程中体会同底数幂的除法和零指数幂在实际生活中的应用价值，提高学生学习数学的兴趣和积极性。
二、课程标准内容要求
理解概念：学生要了解同底数幂的除法运算性质，理解零指数幂的意义，知道任何不等于零的数的零次幂都等于 1，即a0=1(a≠0）。
掌握法则：掌握同底数幂的除法法则，即am ÷an=am - n(a≠0)，(m，n都是正整数，且m＞n）)，并能运用该法则进行准确运算。
简单运算：能熟练运用同底数幂的除法和零指数幂的运算法则，进行简单的整式除法运算，解决与之相关的数学问题。
三、教学目标和目标解析
（一）教学目标
1. 数学抽象
能够从具体的数字运算实例中，抽象出同底数幂的除法运算形式，培养学生从特殊到一般的抽象思维能力。
对于零指数幂，能从同底数幂除法的运算规律中，抽象出当m = n时，am÷an = a0（a≠0）的概念，理解零指数幂的意义是一种数学规定，体会数学抽象在数学概念形成中的作用。
2. 逻辑推理
依据同底数幂乘法的运算法则以及除法是乘法的逆运算，推导同底数幂的除法法则，即am ÷an=am - n(a≠0)，(m，n都是正整数，且m＞n）)，培养学生的逻辑推理能力，让学生理解数学知识之间的内在联系和逻辑关系。
在探究零指数幂的过程中，通过对同底数幂除法法则适用范围的拓展讨论，如当被除数和除数指数相等时的情况分析，培养学生严谨的逻辑思维，能够有条理地进行思考和推理。
3. 数学运算
熟练运用同底数幂的除法法则进行简单的整式除法运算，提高学生的运算能力，要求学生能准确计算，注意运算符号和指数的变化。
掌握零指数幂的运算，能正确计算底数不为零的零指数幂的值，理解零指数幂在数学运算中的特殊性质，避免出现错误运算。
4.直观想象
在讲解同底数幂的除法法则以及零指数幂 时，可以借助图形面积的变化来直观呈现。
5. 数学建模
引导学生运用同底数幂的除法和零指数幂的知识解决实际生活中的数学问题，如在科学记数法中，当表示较小的数时，会用到负指数幂和零指数幂的相关知识，通过建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，培养学生的数学应用意识和建模能力。
在解决一些涉及数量变化比例的问题时，可利用同底数幂的除法来构建数学模型，分析数量之间的关系，如细胞分裂、人口增长等问题经过简化后可用相关知识建模求解 。
（二）目标解析
《义务教育数学课程标准（2022年版）》中明确指出：
目标1的要求是：在同底数幂的除法运算性质探索过程中，学生需要从具体的数字运算，如1012÷109 ，逐步抽象出一般的数学表达式am ÷an=am - n(a≠0)，(m，n都是正整数，且m＞n）) 。这要求学生观察、分析不同底数和指数的幂相除的实例，忽略具体数字的特殊性，提取出共同的运算规律，从而培养学生从特殊到一般的数学抽象能力。同时，在理解零指数幂的意义时，学生要从同底数幂除法法则出发，当m = n时，am÷an = a0（a≠0），进而抽象出任何不等于零的数的零次幂都等于 1,a0=1(a≠0）这一概念，锻炼了概括数学概念的能力。
目标2的要求是：在推导同底数幂除法法则以及理解零指数幂的规定时，蕴含着严密的逻辑推理过程。学生需要依据幂的定义、乘法运算与除法运算的关系等已有知识，通过一步步的推理得出同底数幂除法的运算性质。推导过程培养了学生的演绎推理能力。而在探讨零指数幂的意义时，通过对同底数幂除法法则的拓展和延伸，思考当指数相等时的情况，培养了学生的类比推理和逻辑拓展能力。
目标3的要求是：同底数幂的除法和零指数幂为学生提供了新的运算规则和对象，学生需要熟练掌握同底数幂除法的运算方法，准确运用法则进行计算，提升运算的准确性和速度。同时，对于零指数幂的运算，以及进行相关的混合运算，进一步巩固了学生对特殊指数幂运算的理解和运用能力，强化了整体的数学运算素养。
目标4的要求是：可以通过构建几何图形来直观展示同底数幂的除法。例如，以边长为am和an（m>n））的正方形面积来表示a2m和a2n，通过比较两个正方形的大小关系以及它们之间的倍数关系，让学生直观地看到同底数幂相除时，底数不变，指数相减这一法则的合理性。这样的图形展示能够帮助学生将抽象的数学符号与具体的几何图形建立联系，从而更好地理解同底数幂的除法运算。通过具体的实例，如23÷23，从同底数幂的除法法则可知结果为23 - 3=20，同时从实际计算23÷23 = 1，由此得出20 = 1。利用这样的具体计算过程，让学生直观地理解零指数幂的定义，从特殊情况推广到一般情况，降低学生对零指数幂这一抽象概念的理解难度。
目标5的要求是：通过实际问题引入同底数幂的除法，让学生学会将实际生活中的问题转化为数学模型，运用同底数幂的除法知识解决问题，培养学生的数学建模能力。在解决这类问题的过程中，学生体会到数学在实际生活中的应用价值，增强了用数学的眼光观察世界、用数学的思维分析世界、用数学的语言表达世界的意识。
四、学生学情分析
学生基础情况
1.知识掌握：
学生在前面已经学习了有理数的运算，包括加、减、乘、除、乘方运算等，对数字的运算规则和运算律有了一定的掌握，这为学习同底数幂的除法和零指数幂的运算奠定了运算基础。
学生已经学习了同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则以及积的乘方法则，对幂的概念和整式乘法运算有了一定的认识，这有助于他们理解同底数幂的除法法则的推导过程。
2.技能水平：
经过前期数学学习，学生已经具备了一定的观察、分析和归纳能力，能够通过对一些具体的同底数幂除法运算的例子进行观察和计算，尝试归纳出同底数幂的除法法则。
学生在学习整式乘法的过程中，已经初步掌握了从特殊到一般的数学思维方法，在探究同底数幂的除法法则时，可以利用这种思维方法进行自主探究和学习。
学生学习难点
1.理解运算法则的本质
学生可能只是机械地记忆同底数幂的除法法则，而不理解其本质是基于乘法和除法的互逆关系以及同底数幂乘法法则推导而来的，从而难以真正掌握法则的内涵。
理解零指数幂的规定
零指数幂的规定比较抽象，学生难以理解为什么非零数的零次幂等于1。从同底数幂的除法法则角度来看，当m = n时，am÷an = a0（a≠0），但学生可能不理解这种从一般到特殊的推导过程，只是死记硬背结论，导致在应用时容易出错或不理解其适用条件。
零指数幂的底数限制
学生容易忽略零指数幂中底数a≠0这个条件。在实际运算中，可能会出现像00这样的错误，或者在化简含有字母的零指数幂时，没有考虑字母取值不能使底数为0的情况。例如，对于(x - 1)0，学生可能没有意识到当x = 1时，这个式子是无意义的。
学生学习需求
1.理解概念
学生需要理解同底数幂的除法法则的推导过程，明白为什么同底数幂相除，底数不变，指数相减。
要理解零指数幂的意义，知道为什么规定a0=1(a≠0），明白这是为了使同底数幂的除法法则在m = n时也能适用。
2.掌握运算
学生要能够熟练运用同底数幂的除法法则进行简单的整式除法运算，包括底数是具体数字和字母的情况。
能够正确计算涉及零指数幂的式子，并且能在混合运算中准确处理零指数幂。
3.法则拓展
学生应掌握同底数幂除法法则的逆用，能利用这一逆运算进行一些化简和求值问题。对于底数为负数或分数等较为复杂的情况，也能准确运用法则进行计算。
五、教学策略分析
讲授法：在讲解同底数幂除法法则的基本概念、公式推导时，运用讲授法，清晰准确地向学生传授知识，确保学生掌握关键知识点。
探究法：组织学生分组探究同底数幂除法法则的推导过程，以及零指数幂的定义由来，让学生在自主探索中理解知识的本质。
练习法：安排大量针对性练习题，让学生在练习中巩固同底数幂除法运算和零指数幂的计算，及时发现并解决问题。
六、教学重难点
（一）重点：同底数幂的除法运算性质及其应用。
（二）难点：零指数幂和负整数指数幂意义的理解。
七、教学过程
教学流程
活动一：旧知回顾，问题导入
【问题引入】
一种液体每升含有1012个有害细菌．为了试验某种灭菌剂的效果，科学家进行了实验，发现1滴灭菌剂可以杀死109个有害细菌．要将1 L液体中的有害细菌全部杀死，需要这种灭菌剂多少滴？你是怎样计算的？
展示算法：①1012÷109＝＝＝10×10×10＝1 000(滴)；
②1012÷109＝(109×103)÷109＝＝103＝1 000(滴).
1012÷109这个算式中，1012与109是同底数幂，这节课我们来学习同底数幂的除法运算．
揭示课题：同底数幂的除法运算．
设计意图：利用真实情境，引出同底数幂的除法运算，自然引出新课。
活动二：交流合作，探究新知
探究点1 同底数幂的除法
用你熟悉的方法计算，并说明理由．
(1)25÷23；(2)107÷103；(3)a7÷a3.
解：(1)25÷23＝＝22；
(2)107÷103＝＝10 000＝104；
(3)a7÷a3＝＝a4.
总结：我们利用幂的意义，得到：
(1)25÷23＝22＝25-3；
(2)107÷103＝104＝107-3；
(3)a7÷a3＝a4＝a7-3.
am÷an＝＝＝am－n.
师生共同归纳：同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)．
探究点2 零指数幂的运算
＝__1__，32÷32＝32-2＝30；
＝__1__，53÷53＝53-3＝50；
＝__1__，104÷104＝104-4＝100.
思考：、32÷32这两个式子的意义是否一样，结果应有什么关系？＝32÷32＝30，同样，＝104÷104＝100.
师生共同归纳：当m＝n时，我们可以类似地得到
a0＝am÷an＝＝1(a≠0，m，n都是正整数)．
探究点3 负整数指数幂的意义
＝32-3＝3-1＝；
＝53-5＝5-2＝；
＝104-7＝10-3＝.
当m＜n时，先设p＝n－m，那么m－n＝－p，也可以类似地得到
a－p＝am－n＝am÷an＝＝＝＝(a≠0，p为正整数)．
师生共同归纳：字母表示为a－p＝(a≠0，p是正整数)．
设计意图：让学生经历同底数幂的除法法则及零指数幂负指数幂计算法则的推导过程，理解算力，培养推理能力和运算能力。
活动三：变式训练，巩固提升
例1 计算：
(1)a7÷a4; (2)(－x)6÷(－x)3；
(3)(xy)4÷(xy); (4)b2m+2÷b2；
(5)(x－y)9÷(x－y)3.
【方法指导】直接运用同底数幂的除法计算．
解：(1)原式＝a7-4＝a3；
(2)原式＝(－x)6-3＝－x3；
(3)原式＝(xy)4-1＝(xy)3＝x3y3；
(4)原式＝b2m+2-2＝b2m；
(5)原式＝(x－y)9-3＝(x－y)6.
例2 用小数或分数分别表示下列各数：
(1)10-3；(2)70×8-2；(3)1.6×10-4.
【方法指导】运用零指数幂和负整数指数幂的意义计算．
解：(1)原式＝＝0.001；
(2)原式＝1×＝；
(3)原式＝1.6×＝1.6×0.000 1＝0.000 16.
例3 声音的强弱用分贝表示，通常人们讲话时的声音是50分贝，它表示声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，表示声音的强度是1010，喷气式飞机的声音是150分贝，求：
(1)汽车声音的强度是人声音的强度的多少倍？
(2)喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的多少倍？
【方法指导】(1)用汽车声音的强度除以人声音的强度，再利用“同底数幂相除，底数不变，指数相减”计算；(2)将喷气式飞机声音的分贝数转化为声音的强度，再除以汽车声音的强度即可得到答案．
解：(1)因为1010÷105＝1010-5＝105，所以汽车声音的强度是人声音的强度的105倍；
(2)因为人的声音是50分贝，其声音的强度是105，汽车的声音是100分贝，其声音的强度为1010，所以喷气式飞机的声音是150分贝，其声音的强度为1015，所以1015÷1010＝1015-10＝105，所以喷气式飞机声音的强度是汽车声音的强度的105倍．
设计意图:巩固对同底数幂的除法法则及零指数幂负指数幂的理解，并加强公式的运用。
活动四：随堂训练，课堂总结
【随堂训练】
1．填空：(1)a4÷a＝__a3__；
(2)(－x7)÷(－x)2＝__－x5__；
(3)y16÷__y5__＝y11；
(4)(x－y)6÷(x－y)2＝__(x－y)4__．
2．用小数、分数或整数表示下列各数：
(1)； (2)(－4)-2；
(3)3.5×10-4; (4)6-3.
解：(1)1；(2)；(3)0.000 35；(4).
3．若32×92a+1÷27a+1＝81，则a的值为__3__．
4．若3x＝a，3y＝b，求32x－y的值．
解：32x－y＝＝＝.
5．课本P8随堂练习第1题。
【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：
1.这节课你学到了哪些知识？
2．现在你一共学习了哪几种幂的运算？它们有什么联系与区别？谈谈你的理解。
【知识结构】
【作业布置】
1.教材P9-10习题1.1第7，8，12题。
2.相应课时训练。
八、板书设计
第4课时 同底数幂的除法与负整数指数幂
1. 同底数幂的除法法则：
同底数幂相除，底数不变，指数相减．
即am÷an＝am－n(a≠0，m，n都是正整数，且m＞n)．
2.零指数幂： a0＝am÷an＝＝1(a≠0，m，n都是正整数)
3. 负整数指数幂：字母表示为a－p＝(a≠0，p是正整数)。
九、教学反思
（一）课前反思
从课程内容来看，幂的乘除、同底数幂的除法和零指数幂是整式乘除运算的重要基础，它们相互关联又各有特点。幂的乘除法则的理解与运用是后续学习的关键，同底数幂的除法法则的推导过程需要引导学生深入探究，而零指数幂的概念相对抽象，学生理解起来可能存在一定难度。这部分内容逻辑性强，对学生的数学思维能力要求较高。
考虑到七年级学生的认知水平，他们已经对整式有了初步的认识，具备一定的运算基础，但对于抽象的数学概念和复杂的运算法则，理解和掌握起来仍有挑战。在之前的学习中，学生对具体数字的运算较为熟悉，而从数字运算过渡到字母形式的整式运算，需要一个适应过程。同时，学生的自主探究能力和逻辑思维能力正在逐步发展，在教学中应注重引导学生通过自主思考、小组合作等方式探索知识。
在教学方法上，以往在讲解类似抽象概念时，单纯的理论讲授效果不佳。此次教学计划采用情境引入法，通过实际生活中的例子引出幂的运算问题，激发学生的学习兴趣。在推导运算法则时，多运用直观的图形或实例帮助学生理解，将抽象知识具体化。对于零指数幂，通过设置疑问，引导学生思考讨论，在探究中理解其意义。在课堂练习环节，设计有层次的题目，满足不同层次学生的需求，及时反馈学生的学习情况，以便调整教学进度和方法。
（二）课后反思
从教学目标达成来看，大部分学生能够理解幂的乘除运算法则，如(am)n = amn ，并能运用该法则进行简单的计算。在同底数幂的除法教学中，am÷an = am - n (a≠0) 这一法则，多数学生也能掌握并应用。然而，对于零指数幂a0 = 1 (a≠0)的理解，部分学生存在困难，在实际解题中，常忽略底数不为零的条件。
在教学方法上，我采用了实例引入、小组讨论和多媒体演示相结合的方式。通过具体数字的幂运算实例，帮助学生从特殊到一般归纳出运算法则，小组讨论让学生积极参与，分享思路，多媒体演示则直观展示幂的变化过程，增强学生的理解。但在小组讨论环节，部分小组讨论效率不高，存在个别学生主导讨论，而部分学生参与度低的情况。
学生的课堂表现整体较为积极，但在作业和小测验中，暴露出一些问题。比如在混合运算时，运算法则容易混淆，运算顺序也会出错。这表明学生对知识的综合运用能力还有待提高。

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