资源简介

图形的旋转
一、课标要求
2022版新课程标准对本章的要求是：
（1）通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转.
（2）探究它的性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点分别与旋转中心连线所成的角相等.
（3）能利用轴对称、平移、旋转进行图案设计.
二、内容分析
本节课内容：图形旋转的第一课时
从初中数学课程整体来看：初中数学共有四个板块的课程内容：“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”“综合与实践”.其中旋转是学习轴对称、平移后的又一图形变化，图形变化是“图形与几何”板块的重要内容.初中阶段要学习的图形变化有：轴对称、平移、旋转、中心对称、相似。因此旋转在整个学科体系中有着承上启下的作用，平移轴对称的学习为旋转提供了研究思路，旋转为中心对称、相似的学习奠定了基础，为解题提供了线段、角的等量关系.
从本章内容来看：旋转的概念与性质是核心知识，为后续作图奠定基础.
核心素养：本节也是培养学生“几何直观”、“数学抽象”、“推理能力”、“应用意识”的良好素材.
学情分析
学生情况：本班学生基础较好，思维能力较强，学习习惯很好.
认知基础：小学三年级已经初步感知了旋转现象，能够辨别哪些运动是旋转。小学六年级借助钟表，对旋转有了更深入的学习，能够在网格中进行简单图形的旋转作图。但对旋转的知识只停留在直观感知阶段，七年级轴对称、八年级平移的学习，让学生从直观感知过渡到了数学抽象，为旋转的学习积累了活动经验.
（3）认知阻碍：学生虽有了平移轴对称的学习经验，但是对旋转的认识还停留在直观感知上，不易抽象出旋转的共同特征，不易发现旋转的本质.旋转前后图形全等这一性质容易发现，但是不易想到连接对应点与旋转中心，连接后不易发现其数量和位置特征。需要在教师的引导和启发下才能完成。
四、教学目标
1.结合具体情景感受旋转与生活息息相关，能抽象得出旋转的概念，理解旋转三要素，会找旋转角.
2.经历“类比—观察—猜想—验证—解释（证明）”活动过程，探究并掌握旋转的性质.领悟研究图形运动的一般思路，渗透类比和化归思想，发展学生的数学抽象能力.
3.通过欣赏旋转在生活中的例子，感受数学来源于生活，应用于生活.发展应用意识、创新意识，提升审美能力.
五、教学重难点
1.课时教学重点：旋转概念的理解，旋转性质的探究；
2.课时教学难点：旋转角的识别和旋转局部性质的探究
六、教学过程
（一）情境引入，感知激趣
播放“风动力雕塑”艺术作品，视频中的作品能随风而动，主要是在设计中添加了哪种图形运动？引入旋转课题，旋转现象在生活中随处可见，出示图片：风车、雨刮器、荡秋千、摩天轮、方向盘等.
问题1：你还能列举出其它类似的例子吗？（学生回答）
旋转和我们的生活息息相关，我们把这些图形抽象成平面图形，就成了我们今天要研究的数学中的旋转变换.（板书课题）
问题2：前面我们学习了哪两种图形变换？（轴对称和平移，板书导图）
回忆研究平移轴对称的研究思路,类比这样的研究思路学习旋转，感受了大量旋转例子以后，抽象共性，得到概念，探究性质，利用性质作图，最后研究坐标变换.今天研究旋转的概念和性质.
教学说明：视频引入旋转设计吸引学生兴趣，感受旋转与生活息息相关.回忆轴对称和平移的研究思路，类比学习旋转，形成系统的学习体系。
（二）抽象共性，形成概念
1.荡秋千的人——点的旋转。（呈现抽象后的动图，围绕三要素提问）
追问1：你能描述下点A是怎么运动的吗？（学生回答）
追问2：A点运动的整个过程中哪个点没有动？
追问3：点A转动的角是哪个角？
追问4：点A的运动轨迹是什么？
设计意图：图形是由点线面构成的，图形运动的本质是点的运动，弄清楚点的旋转特征，才能更好的理解面的旋转。以问题串的形式启发学生感受旋转运动的特征，追问4为后续研究性质埋下伏笔。
2.雨刮器——线段的旋转
追问1：线段AB在运动的整个过程中，有不动的点吗？（学生回答）
追问2：请你描述线段AB是怎样运动的？
追问3：它的端点和线段的运动方式一样吗？
追问4：点A、B分别运动到哪儿了？
设计意图：抓住运动过程中的不动点，学生易抽象出旋转运动的特征，同时启发学生感受线段的运动本质还是点的运动，为后续找旋转角和性质探究奠定基础。
3.风车的一片扇叶——面的旋转
追问1：四边形是怎样运动的？整个过程中有不动的点吗？（学生易回答）
追问2：四边形的边OA边的运动方式和四边形一样吗？OA边运动到哪了？OB边呢？
设计意图：面的旋转本质上是线的旋转、点的旋转，经历观察、抽象、归纳、总结的思维过程，启发学生从大量的例子中抽象出旋转的共同特征、本质属性。从点线面的模型角度出发，从易到难，学生更易发现旋转运动的本质和特征，为后续得到旋转概念奠定基础.
学生活动：经历观察、抽象、归纳、总结的思维过程，问题串采用齐答与抽问相结合.
4.抽象共性，得到概念
提问：点、线、面的旋转模型有何共同之处？（要素？）旋转的基本概念是什么？
学生活动：学生思考讨论，抽问学生回答，类比平移得出旋转的概念.
（三）挖掘内涵，深化概念
在平面内，将一个图形，绕平面内一个定点，按某个方向，转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。这个定点叫旋转中心，转动的角叫旋转角.
活动一：感受旋转.将30°的三角板放在白纸上，描出三角形的轮廓，记作△ABC。将三角板绕着直角顶点B旋转30°，描出旋转后的图形，记作△A'BC'.完成作图思考以下问题：
（1）对应点、对应边、对应角？
（2）转动的角是哪个角？
（3）要使旋转后图形的位置唯一确定，需要知道哪些要素？
学生活动：学生小组合作，动手感受旋转，一组同学上黑板展示.
设计意图：通过动手操作，具体感知旋转、旋转角、对应元素。同时提问绕直角顶点旋转30°的图形唯一吗？从而得出旋转三要素.
理解概念,突破难点
①点A绕O点沿顺时钟方向转动一定的角度得到点A’
旋转角: _______
②线段AB绕O点，沿逆时针方向转动一定的角度得到线段DE
追问:如何找旋转角？
③四边形OACB绕O点，沿顺时钟方向转动一定的角度得到四边形ODFE
设计意图：从实际例子感知——具体操作感知，旋转中心、旋转方向学生易得到，但是旋转角的识别有一定难度，在操作感知的基础上，进一步识别旋转角，突破教学难点.
（五）小组合作、探究性质
活动二：小组合作，探究性质.
第一步：将纸板放在A4纸上，描出纸板上的三角形，记作△ABC。
第二步：自定旋转中心O,用圆规固定纸板.
第三步：将纸板旋转一定的角度，描出旋转后的图形，记作△A'B'C'。时间1分钟.（播放操作示范视频，让活动更规范）
学生活动：学生小组合作、完成以上活动.
问题1：通过刚刚的操作，你发现运动前后的图形改变的是什么？不变的是什么？（学生回答，位置，形状大小）
总结性质1，旋转前后的图形全等，这一性质和轴对称平移类似，三大变换称为全等变换，板书流程框图.
问题2：运动前后图形全等是图形整体方面的性质，那旋转前后的图形还有其他的性质吗？接下来我们又该如何进一步去探究旋转的性质？
设计意图：全等这一性质很好得出，但如何进一步研究旋转性质，学生会遇到障碍，为什么要连接旋转中心，这里是思维的增值点，也是难点.
问题3：轴对称和平移的性质是什么？我们是如何研究的？（带着学生回忆）
对应点所连线段被对称轴垂直平分 对应点所连线段平行（或在一条直线上）且相等
问题4：研究轴对称和平移的性质关键是在研究什么？（对应点，数量、位置关系，不变性）
学生活动：在引导下，学生容易想到两种思路：思路一：连接对应点与旋转中心。思路二：连接对应点。根据学生的情况适当调整教学.
设计意图：类比轴对称、平移的性质，发现研究图形运动性质的一般思路及关键。引导学生找到研究旋转局部性质的突破口——对应点.是连接对应点还是旋转中心，学生又会遇到思维障碍。课标对对应点连线过旋转中心这一性质没有要求，因此可以作为思考和拓展作业.
问题5：连接对应点与旋转中心后，你发现了什么？你如何验证下呢？
学生活动：小组合作，测量验证猜想.
几何画板动态演示验证这一性质.如图1
问题6：你能用文字描述这一性质吗？
问题7：你能结合点的运动轨迹理论说明为什么他们相等吗？
（学生回答，轨迹是圆，几何画板验证。如图2）
问题8：三角形中除了三组顶点外，还有其他的对应点，AC的中点P，运动后在哪儿？这一组对应点也满足这样的性质吗？（学生回答，轨迹依旧是圆.如图3）
问题9：其他对应点呢？因此性质2要如何完善？
（归纳完善总结得到性质2：任意一组对应点到旋转中心的距离相等。）
问题10：连接后除了线段的数量关系，你还有其他的发现吗？可以从旋转的三要素出发？（学生容易想到旋转角，前面有铺垫)
设计意图：在前面旋转角的识别中，学生容易发现角度的特征，引导学生量一量验证猜想，如何用几何画板演示验证，如图4.
总结性质3：任意一组对应点与旋转中心所连线段的夹角都相等，都等于旋转角.
问题11：以上性质对所有平面图形的旋转都适用吗？（几何画板验证，改变三要素，改变图形形状）
总结三条性质。
（六）回顾梳理、构建网络
我这节课你收获了什么？引导学生从知识方法、数学思想等方面总结。
（七）应用性质、学科育人
安东尼豪利用旋转设计出了极具动态美的图形，旋转经常会应用到设计领域。旋转让静态的图案有了动态美，例如：
此外，旋转还能丰富作品的含义，给设计师带来一些灵感。例如小米手机的logo，正面看是mi，旋转180度后，“心”少了一点，设计师想传达“用小米的手机会让客户更省心”。他们用旋转，创造出了举世之作，那你将用旋转创造出什么与众不同的作品呢？我，我们期待着……
设计意图：首尾呼应，感受旋转在生活中的应用，发展学生的应用意识，符合2022版新课标的要求。
七、布置作业
（一）基础性作业：
1.下列关于旋转和平移的说法中正确的是 （ ）
A．旋转使图形的形状发生改变 B．由旋转得到的图形一定可以通过平移得
C．对应点到旋转中心距离相等 D．平移与旋转都可改变图形的位置和大小
2.如图，将 绕点 旋转到 时，一定与 相等的角是 ．
3.如图， 绕点 逆时针旋转 得到 ，若 ，，则 的度数是多少
4.如图，在 中，，，．
(1)以点 为旋转中心，将 沿逆时针方向旋转 得到 ，请画出变换后的图形；
(2)求点 和点 之间的距离．
5.（旋转60°）如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内的一点，△ABP经过旋转至△ABP′，其中AP=4,BP=3。
（1） 点A,B,P的对应点是？ 旋转中心是？旋转方向是？旋转角度是？旋转角是？
求AP′,CP′
连接PP′,判断△APP′的形状，并求PP′求PP′
连接PP′,若∠AP′C=150°,则PP′与CP′有何位置关系
连接PP′，PC ,若PC=5,你发现了什么？，∠APB的度数是多少？
（二）发展性作业
（旋转90°） 如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3 则∠BE′C＝________度．
设计意图：作业设计兼顾学科素养和知识技能，利用旋转形成简单的图案，发展学生应用意识，同时分层布置作业，题目有生长性，层次性，关联性，符合当下双减背景，且使得每个学生都能得到最大的收获和进步。
八、板书设计
九、教学思考
图形的旋转是在已经学习了轴对称和平移的情况下开展学习，因此为本节课奠定了“类比”基调，同时也降低学生的思维难度，通过本节课的学习，一方面要达到学生知识层面的进步，同时在思维层面上，会更加系统的认识图形运动的研究的一般的思路，更加深刻的体会图形运动的性质就是研究运动前后的不变性。

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