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《4.5比例尺》教学设计
课题 比例尺 单元 第四单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 例题6呈现的是一个长方形的草坪和一张按比例缩小对应的草坪图，由于有了前几节的表示各种比的基础，学生很容易写出草坪长、宽图上距离和实际距离的比，重点强调的是此时图上距离和实际距离的单位不同，首先要统计单位，再写出相应的比，通过比较和交流，使学生认识到比例尺的含义就是图上距离：实际距离。教材中还反复让学生说说比例尺的含义，接着又出示了比较直观的线段比例尺。让学生知道无论是数值比例尺还是线段比例尺都反映的是图上距离和实际距离的关系。
学习 目标 学习目标描述：理解比例尺并能正确地求出平面图的比例尺，能进行线段比例尺和数值比例尺的互化。 2.学习内容分析：在数学活动中能够运用比例知识，根据比例尺求图上距离或实际距离，进一步体会比例和比例尺的价值。 3.学科核心素养分析：培养学生综合运用知识的能力，提高动手测量和画图的能力。
重点 理解比例尺的含义；能根据比例尺求图上距离和实际距离。
难点 设未知数时应注意长度单位的统一。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 基础训练，引入新知 谈话：同学们，我国历史悠久，地域辽阔，国土面积大约有960万平方千米。但这么辽阔的地域却可以用一张并不很大的纸画下来。出示大小不一的中国地图。 并提问：想知道这些地图是怎样绘制出来的吗？今天我们就学习 这方面的知识——比例尺。 板书课题：比例尺 生：想。
讲授新课 任务一：认识比例尺 1.探索图上距离和实际距离的比的方法。 说明：这是学校的草坪平面图，它根据我们所学的比例知识，按照一定的比缩小画在了图纸上。图上所量出的长度叫图上距离，与图上对应的实际地面的长度是实际距离。 (举例说明并板书：图上距离、实际距离) （1）读题。 （2）提问：你能分别写出草坪长、宽的图上距离和实际距离的比吗？ （3）出示： 让学生说说解决这个问题时要注意什么。 (统一单位) 提问：图上距离和实际距离单位不同，怎样写出它们的比？ 师强调要把写出的比化简。 2.教学比例尺的意义。 师：在我们的日常生活中处处都有数学，经常要用到数学。像上面这样的问题，我们就通过数学方法，把草坪的大小按图上距离和实际距离的比画了出来。在绘制地图和其他平面图时，我们把图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺。 (板书：比例尺) 提问：根据黑板上这句话想一想：比例尺是怎样得到的。 (板书：图上距离:实际距离=比例尺) 师：上面这道题里草坪平面图的比例尺是多少？ (板书：1:1000) 师：你现在知道比例尺是用什么形式表示的了吗？(强调比例尺是一个比)说明为了计算简便，通常把比例尺写成前项为1的比。 指名口答。
学生独立完成后，展示、交流写出的比 引导学生通过交流，明确方法：先要把图上距离和实际距离统一成相同的单位，写出比后再化简。 运用实例，让学生从多角度、多方位理解比例尺的实际含义。同时，借助于学生对比例尺的多角度理解，让学生灵活地选择解决方法，体现了“以人为本、和谐发展”的教育理念，既让不同学生学不同的数学，又使不同学生得到不同的发展。 引导学生自主探究的方法，培养学生的观察、分析和解决问题的能力，同时通过总结的步骤，帮助学生形成系统的知识结构。
任务二：探究比例尺的分类 1.提问：你知道上面的比例尺表示的具体意义吗？ 说明：比例尺1:1000还可以用线段来表示。 出示： 提问：谁来说一说这幅线段比例尺表示的具体意义。 2.线段比例尺改成数值比例尺 能将线段比例尺改成数值比例尺吗？改写时要注意什么？ (1)统一单位 (2)相比、化简 (3)前(后)项为1 3.出示：机器零件图 (1)观察下面这幅图，能找出它的比例尺吗？ (2)它表示什么意思？ (3)与上面的比例尺相比，它属于什么样的比例尺？ (4)一般我们在绘制比较精细零件图时，需要把零件的尺寸按一定的比放大，看看这个比例尺中图上距离是实际距离的几倍？实际距离是图上距离的几分之几？ 3.拓展延伸 思考： (1)比例尺实际是什么？ (2)谁与谁的比？ (3)什么叫一幅图的比例尺？ 生：它表示图上1厘米的距离相当于实际距离10米。 同桌互相说说。 数值比例尺与线段比例尺的改写是建立在学生对比例尺的概念的理解之上，首先要理解比例尺表示的含义，让学生对不同形式的比例尺加以理解，再灵活改写的过程中全面理解概念。 出示放大比例尺，引起学生认知冲突，引导学生紧紧抓住比例尺的定义来解释后项为1的比例尺的含义。比较缩小、放大比例尺，让学生从多个角度来思考比例尺的意义。
课堂练习 基础题： 1.填空题。 （1）在一幅地图上用1厘米长的线段表示5千米的实际距离，这幅地图的比例尺是（ ）。 （2）（ ）和（ ）的比，叫作这幅画的比例尺。 2.填一填。 让学生在练习、解释中进一步迸发学习主动性，提升知识的综合应用能力。本节课一方面有层次地安排了一些有一定思维含量的练习，另一方面练习时没有预先提示方法或注意点，而是让学生直接应用已经学会的知识、方法，自己先完成必要的操作，再交流。让学生根据实际情况独立思考、解决，再通过交流帮助学生内化知识与方法。这样做不仅可以发挥学生的学习主动性，还可以有效培养学生应用知识的能力。
提高题： 3.把下面的线段比例尺改成数字比例尺。
拓展题 4.一个圆柱形零件的高是 5mm ，在图纸上的高是 2cm。这幅图纸的比例尺是多少？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 比例尺 3.比例尺= 利用简洁的文字呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 1.比例尺1∶1000的意思： 图上距离是实际距离的（ ）； 实际距离是图上距离的（ ）倍； 图上1厘米的线段，表示实际（ ）厘米，即（ ）米的实际距离。 2.判断题 把一块长20米，宽10米的长方形地画在图纸上，长画了5厘米，宽画了2.5厘米。 （1）图上长与实际长的比是400:1（　 ） （2）图上宽与实际宽的比是1∶400（ ） （3）图上面积与实际面积的比是1∶160000（ ） 3.北京到天津的实际距离是120千米，在一幅地图上量得两地的图上距离是2厘米，求这幅图的比例尺。 4.在比例尺是1:2000的平面图上，量得一座大桥的长度是7.2厘米。这座大桥的实际长度是多少米？ 选做题 你知道图中5∶1表示什么吗？ 如果图上齿轮的直径是5厘米，实际是多少厘米？
【综合实践类作业】 请找一找你的周围有哪些比例尺。
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《比例》单元整体设计
单元主题解读
课程标准要求分析
《比例》单元是“数与代数”方面的重要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“课程内容”的“第三学段”中提出：
在“内容要求”中指出：“在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。”
在“学业要求”中指出：“能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量。”
在“教学提示”中指出：“比和比例教学要合理利用实际生活中的情境，引导学生发现并用字母表达两个数量之间的倍数关系，例如，通过同样照片的放大与缩小、食品中原料的成分比等，理解比例的意义，能解决简单的按比例分配的问题。”
单元教材内容分析
本单元主要安排了7个例题，例1是长方形照片的放大与缩小，例2是让学生动手画放大与缩小的图形，这两个例题让学生认识到本单元中图形的放大与缩小都是按照一定的比例变化的，这为学习比例的意义打下了基础，例3通过具体情境（如照片放大）引入比例的意义，帮助学生理解比例是两个比相等的式子。例4进一步讲解比例的“项”“内项”和“外项”，并介绍比例的基本性质；第四课时中例5通过具体问题（如求解未知项）讲解如何利用比例的基本性质进行解比例，这些例题帮助学生掌握解比例的方法，并应用于实际问题。例6和例7通过具体情境（如地图比例尺）讲解比例尺的意义，包括数值比例尺和线段比例尺。
最后本单元还安排了一节综合实践课“面积的变化”，是在教学平面图形对应边长度比之后进一步研究图形的面积比的延伸与拓展内容，教学时，还可以延伸到立体图形的体积之比，深化学生学习知识的广度和维度。
学生认知情况
本单元主要组织学生学习比例概念的认识与理解，掌握和应用。学生已有除法、分数和比的基础作为铺垫，对进阶学习比例的成效有直接的关系。学生已经理解和掌握比的意义和性质，在日常生活中见过图形的放大和缩小，知道平面图上有比例尺，但是对比例和比例尺的认识缺乏系统性，这些知识储备及生活经验的累积都为学生进一步学习比例知识奠定了基础。
单元目标拟定
1.使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。
2.使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义，认识比例的“项”以及“内项”和“外项”；理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。
3.使学生结合实例，初步理解比例尺的意义和作用，会求平面图的比例尺，能看懂线段比例尺，能按给定的比例尺求相应的图上距离或实际距离。
4.使学生在认识比例，应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意识和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.学生能够通过观察现实世界中的现象，识别并抽象出比例关系，理解比例在生活中的广泛应用。学生能够发现不同情境中的正比例和反比例关系，理解其背后的数学原理。
2.理解并掌握比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，这是解决比例问题的关键。
3.学生能够通过观察现实世界中的现象，识别并抽象出比例关系，理解比例在生活中的广泛应用。
（二）教学难点
1.理解比例性质的深层含义：学生需要深入理解比例性质的数学本质，而不仅仅是机械的记忆公式。这要求教师在教学中通过丰富的实例和直观的操作，帮助学生建立对比例性质的直观感知。
2.将比例知识应用于复杂情境：注重培养学生的综合应用能力和创新意识，通过设计具有挑战性的学习任务，引导学生探索比例知识在复杂情境中的应用。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》指出：“每一堂课都应该以学生为中心，以探究为手段，积极发展学生的求异思维，以培养学生各种能力为目的，最终让学生形成一种新型的数学思想，养成数学能力，体验数学与生活的关系。”
本单元教材的具体编排结构：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*.
教材的教学安排把图形的放大和缩小与认识比例结合起来教学，帮助学生在现实情境中领悟比例的意义和作用。“放大和缩小”与“比例”分属两个不同的学习领域，但“放大和缩小”是图形的各部分线段按相同的比发生变化，这种变化能直观形象地显示比例的本质内涵。为此在教学比例的意义之前，先介绍用电脑把一幅长方形画放大的过程，直观地显示放大前后的图形“形状没有变，大小变了”，进而使学生在此基础上，了解比例的意义。这样安排既突出体现了数学知识间的相互作用，有利于学生形象思维与抽象思维的协同发展，也能为以后学习成正比例的量、成反比例的量，以及图形的相似等知识打下坚实的基础。
教材的编写重视不同数学知识的综合应用，让学生感受数学知识的内在联系，不断提高解决实际问题的能力。认识比例的意义时，先让学生认识图形的放大和缩小，再让学生经历按指定的比把一个简单的图形放大和缩小的操作过程，借助图形的直观变化，帮助学生初步感知比例的内涵。这样的安排，对于沟通数学知识间的联系，帮助学生形成更加完整、合理的认知结构，提高解决问题的能力，无疑是具有促进作用的。
3.为学生提供充分的探索与交流的空间。单元末安排的实践与综合应用《面积的变化》，一方面让学生通过测量和计算，探索发现平面图形按一定的比例放大后面积的变化规律；另一方面，让学生应用发现的规律，解决求平面图上建筑或设施的实际占地面积的问题。这样的活动不仅能使学生在活动中获得数学知识、发展数学思考，而且有利于学生感受数学探索的乐趣，增强主动探索的意识。
单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 □统计与概率 综合与实践
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比例 图形的放大与缩小 1
比例的意义 1
比例的基本性质 1
解比例 1
比例尺 1
比例尺的应用 1
面积的变化 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 □分类 □集合 □对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 方程 □函数 □统计 分析 综合 □比较 假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
4.1《图形的放大与缩小》 目标： 初步理解图形的放大与缩小，会利用方格纸把一个简单图形按指定的比放大或缩小；感受图形的放大、缩小在日常生活中的应用，体会图形的相似性，进一步积累图形运动的经验，发展空间观念。 任务一：认识图形的放大与缩小 右边长方形画是左边长方形画放大后的图，放大后的图与原来的图形有什么关系呢？仔细观察两幅图的长有什么关系？宽有什么关系？ → 任务二：画出放大或缩小后的图形 这里有一个长方形，它的长和宽是多少格？ 按 3∶1 放大是什么意思？ → 1.理解图形放大与缩小的概念。 2. 能够利用方格纸按指定的比将简单图形放大或缩小，正确计算放大或缩小后图形的对应边长。
4.2《比例的意义》 目标： 理解比例的意义，知道比例各部分的名称；能根据比例的意义，正确判断两个比能否组成比例。 任务一：比例的意义 写出照片放大后与放大前长的比和宽的比，这两个比也能组成比例吗？→ 任务二：判断成比例的方法。 判断两个比能不能组成比例，关键是看什么？如果不能一眼看出两个比的比值是不是相等的，怎么办？→ 能够准确描述比例的定义，识别比例中的内项和外项。 通过计算比值或化简比来判断两个比是否相等，从而判断它们能否组成比例。
4.3《比例的基本性质》 目标： 认识比例的“项”以及“内项”和“外项”。理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例。 任务一：认识比例的各个部分 说一说题中是把三角形按什么样的比缩小的？→ 任务二：比例的基本性质 在比例的两个内项和两个外项之中，它们两者之间存在着一种奇妙的关系，你想揭穿这个秘密吗？ → 任务三：判断成比例的方法 判断每组的两个比能否组成比例。如果能组成比例，把组成的比例写出来？→ 能够从具体的实例中抽象出比例的概念，并概括出比例的基本性质。 2.能够正确计算比例中内项和外项的积，并判断比例是否成立。 3.能够灵活运用比例的基本性质解决问题，包括将比例关系转化为等式进行求解。
《4.4解比例》 目标：掌握解比例的方法，能够正确地应用比例的基本性质解比例。进一步理解比例的意义，能利用比例的知识解决实际问题。 任务一：认识解比例 现在只知道放大后照片的长是13.5厘米，宽是多少厘米呢？你能解决这个问题吗？→ 任务二：检验 检验x＝9是不是6∶4 = 13.5∶x的解。→ 任务三：解分式比例的方法 解比例： 提问：这题的比例与例题有什么不同？→ 1.能准确理解“解比例”的含义，能正确运用比例的基本性质（两个内项的积等于两个外项的积）来解比例。 2.能准确地将比例式转化为等式，并通过解方程求出未知项。
《4.5比例尺》 目标：理解比例尺并能正确地求出平面图的比例尺，能进行线段比例尺和数值比例尺的互化。能够运用比例知识，根据比例尺求图上距离或实际距离。 任务一：认识比例尺 你能分别写出草坪长、宽的图上距离和实际距离的比吗？→ 任务二：探究比例尺的分类 提问：你知道上面的比例尺表示的具体意义吗？→ 1.能否准确描述比例尺的定义。 2.能正确识别和使用数值比例尺和线段比例尺，并能将两者进行互化。 3.能将比例尺的知识应用于实际问题。
《4.6比例尺的应用》 目标： 使学生理解比例尺的意义，掌握比例尺的表示方法（数字比例尺、线段比例尺），学会根据比例尺计算图上距离和实际距离。通过观察、操作、交流等活动，经历比例尺产生和应用的过程，提高学生解决实际问题的能力，培养学生的探究意识、合作意识、创新意识。 任务一：求实际距离 明确题意，找出明华小学到少年宫距离的线段，说出题目告诉了什么，要求什么？→ 任务二：求图上距离 算出学校到医院的图上距离。 讨论怎样把医院的位置在图上表示出来。→ 1.能够运用比例尺解决实际问题。 2.将比例尺的知识与其他数学知识（如比、比例、分数等）进行综合运用。
《4.7面积的变化》 目标： 使学生结合具体的实例，探索并发现平面图形按比例放大后面积的变化规律，进一步加深对图形放大与缩小的含义以及比例意义的理解。 任务一：探究长方形按一定的比放大后面积的变化规律 一个长方形的长和宽按比例放大后，它的面积发生变化吗？会发生怎样的变化呢？→ 任务二：探究平面图形按比例放大后面积的变化规律。 其他平面图形按比例放大后，面积的比又会怎样变化呢？→ 1.能够理解并掌握平面图形（如长方形、正方形、三角形、圆）按比例放大或缩小后面积的变化规律。 2.能够正确计算图形放大或缩小后的面积，并验证面积变化规律。
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