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《4.7面积的变化》教学设计
课题 面积的变化 单元 第四单元 学科 数学 年级 六年级
教材分析 面积的变化是本单元的综合实际课，同时也是本单元的重难点，教材先让学生从探索长方形边长和面积比，初步得出面积比是边长比的平方，然后在探索正方形、三角形和圆等平面图形的面积比。把三个图形长度比和面积比的数据整理表格便于比较和交流，从而发现和总结出平面图形面积比是对应边长度比的平方，最后教材安排了回顾探索规律的过程，帮助学生梳理获得知识的经验，体会探索数学规律的过程。
学习 目标 1.学习目标描述：使学生结合具体的实例，探索并发现平面图形按比例放大后面积的变化规律。 2.学习内容分析：进一步加深对图形放大与缩小的含义以及比例意义的理解。 3.学科核心素养分析：使学生在经历探索规律的过程中，进一步积累观察、比较、分析、概括、归纳等活动经验，感悟由特殊到一般的归纳思想，发展数学思维。
重点 发现面积的变化与长度变化的关系。
难点 理解面积扩大的倍数是边长扩大倍数的平方。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、复习引入 1.长方形面积的计算公式是什么？(S=ab) 2.正方形面积的计算公式是什么？(S=a2) 3.三角形面积的计算公式是什么？(S=ah÷2) 4.圆面积的计算公式是什么？(S=πr2) 学生思考，与老师交流。
讲授新课 任务一：探究长方形按一定的比放大后面积的变化规律 一、探究新知 1.结合示意图，探究长方形按比例放大后面积的变化规律。 出示教材的两个长方形。 说明：大长方形是小长方形按比例放大后得到的。 (1)请同学们分别量出两个长方形的长和宽，写出对应的边长之比。 大长方形与小长方形的比是(　　)∶(　　)，宽的比是(　　)∶(　　)。 (2)一个长方形的长和宽按比例放大后，它的面积发生变化吗？会发生怎样的变化呢？这节课我们一起来探究“面积的变化”，板书课题。 2.我们知道了图中大长方形的长与小长方形的长的比是3:1，宽的比也是3:1。请同学们想一想：大长方形与小长方形面积的比是几比几。 3.到底是不是这样，请同学们以小组为单位，通过计算来验证。 师小结：大长方形的面积=9×3=27(平方厘米) 小长方形的面积=3×1=3(平方厘米) 所以，大长方形与小长方形面积的比是9:1。 师：看来，图形放大后，面积扩大的倍数与边长扩大的倍数是不相同的。它们之间到底有什么关系呢？我们继续来研究。 生：大长方形与小长方形面积的比是9:1。 小组内交流想法。 学生反馈，说说自己的想法。 学生活动后，集体反馈。 把课堂的主动权交给学生，让学生在操作、计算、讨论、交流中探索规律，掌握自主学习的方法和技能。使学生初步感知长方形按比例放大后面积的变化规律
任务二：探究平面图形按比例放大后面积的变化规律。 过渡：其他平面图形按比例放大后，面积的比又会怎样变化呢？ 出示图形。 说明：下面的图形是上面相对应的图形按比例放大后得到的。 (1)请同学们测量相关的数据进行计算，再填写在课本第49页的表格中。 (2)组织讨论：比较每个图形放大后与放大前的长度比和面积比，你能发现什么规律？ (3)全班交流后教师总结：把一个平面图形按n∶1的比例放大后：放大后与放大前的面积比是n ∶1。 2.拓展延伸 1.启发学生进一步思考：如果把一个平面图形按指定的比例缩小，那么缩小前后图形面积的变化规律又是什么？ 2.长方体、正方体等按比例放大后，体积比和长度会有什么关系？ 先让学生自己理解，教师再在学生回答的基础上作出说明。 小组讨论。 通过自学和提问，引导学生自主，培养学生的自主学习能力。
课堂练习 基础题： 1.填空题 (1)一个正方形的边长扩大3倍，面积就扩大( )倍。 (2)有一个圆，现在的半径是原来的10倍，现在的面积是原来的( )倍。 2.选择题 (1)小正方形与大正方形的边长比是2:3，那么小正方形与大正方形的面积比是（ ）。 A.2:3 B.4:9 C.2:9 D.1:9 (2)小圆半径与大圆半径的比为1:3，那么小圆与大圆的面积比是（ ），周长比是（ ）。 A.3:1 B.1:9 C.1:3 D.4:9 3.（1）把一个面积是50平方厘米的三角形按5∶1进行放大，放大后的面积是（ ）平方厘米。 （2）把一个面积是50平方厘米的三角 按1∶5进行缩小，缩小后的面积是（ ）平方厘米。 让学生在练习、解释中进一步迸发学习主动性，提升知识的综合应用能力。本节课一方面有层次地安排了一些有一定思维含量的练习，另一方面练习时没有预先提示方法或注意点，而是让学生直接应用已经学会的知识、方法，自己先完成必要的操作，再交流。让学生根据实际情况独立思考、解决，再通过交流帮助学生内化知识与方法。这样做不仅可以发挥学生的学习主动性，还可以有效培养学生应用知识的能力。
提高题： 4.在一幅比例尺是1∶200的平面图上，一个花坛的面积是16平方厘米，求这个花坛的实际占地面积是多少平方米？
拓展题 5.一个零件的横截面积是3平方厘米，把它画在图上，横截面积是300平方厘米。在这幅零件图上量得另一个零件的长是20厘米，这个零件的实际长度是多少厘米？
课堂小结 通过本节课的学习，你们有什么收获？ 学生自由说说。 课堂小结可以帮助学生理清所学知识的层次结构，掌握其外在的形式和内在联系，形成知识系列及一定的结构框架。
板书 面积的变化 大长方形的面积=9×3=27(平方厘米) 小长方形的面积=3×1=3(平方厘米) 图形放大后，面积扩大的倍数 是边长扩大倍数的平方。 利用简洁的文字呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】 1.填空。 （1）大小两个圆的半径之比是5:3。它们的直径之比是（ ），周长之比是（ ），面积之比（ ）。 （2）把一个长5 cm、宽3 cm的长方形按3∶1放大，得到的图形的面积是（ ）。 2.在一幅比例尺是 的校园平面图上，学校操场如下图所示，算一算该长方形操场的实际面积。 选做题 3.把三角形A放大后得到三角形B，再把三角形B缩小后得到三角形C。 观察三角形A和B，它们的面积有什么变化？面积与边长是按相同的比变化的吗？
【综合实践类作业】 在第112页的方格纸上画一个平行四边形，按比例放大，算一算放大后与放大前图形的面积比。
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《比例》单元整体设计
单元主题解读
课程标准要求分析
《比例》单元是“数与代数”方面的重要内容。《义务教育数学课程标准(2022年版)》在“课程内容”的“第三学段”中提出：
在“内容要求”中指出：“在实际情境中理解比和比例以及按比例分配的含义，能解决简单的问题。”
在“学业要求”中指出：“能在具体情境中判断两个量的比，会计算比值，理解比值相同的量。”
在“教学提示”中指出：“比和比例教学要合理利用实际生活中的情境，引导学生发现并用字母表达两个数量之间的倍数关系，例如，通过同样照片的放大与缩小、食品中原料的成分比等，理解比例的意义，能解决简单的按比例分配的问题。”
单元教材内容分析
本单元主要安排了7个例题，例1是长方形照片的放大与缩小，例2是让学生动手画放大与缩小的图形，这两个例题让学生认识到本单元中图形的放大与缩小都是按照一定的比例变化的，这为学习比例的意义打下了基础，例3通过具体情境（如照片放大）引入比例的意义，帮助学生理解比例是两个比相等的式子。例4进一步讲解比例的“项”“内项”和“外项”，并介绍比例的基本性质；第四课时中例5通过具体问题（如求解未知项）讲解如何利用比例的基本性质进行解比例，这些例题帮助学生掌握解比例的方法，并应用于实际问题。例6和例7通过具体情境（如地图比例尺）讲解比例尺的意义，包括数值比例尺和线段比例尺。
最后本单元还安排了一节综合实践课“面积的变化”，是在教学平面图形对应边长度比之后进一步研究图形的面积比的延伸与拓展内容，教学时，还可以延伸到立体图形的体积之比，深化学生学习知识的广度和维度。
学生认知情况
本单元主要组织学生学习比例概念的认识与理解，掌握和应用。学生已有除法、分数和比的基础作为铺垫，对进阶学习比例的成效有直接的关系。学生已经理解和掌握比的意义和性质，在日常生活中见过图形的放大和缩小，知道平面图上有比例尺，但是对比例和比例尺的认识缺乏系统性，这些知识储备及生活经验的累积都为学生进一步学习比例知识奠定了基础。
单元目标拟定
1.使学生初步理解图形的放大和缩小，能利用方格纸按一定比例将简单图形放大或缩小，初步体会图形的相似，进一步发展空间观念。
2.使学生联系图形的放大和缩小理解比例的意义，认识比例的“项”以及“内项”和“外项”；理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质解比例。
3.使学生结合实例，初步理解比例尺的意义和作用，会求平面图的比例尺，能看懂线段比例尺，能按给定的比例尺求相应的图上距离或实际距离。
4.使学生在认识比例，应用比例的过程中，进一步体会不同领域数学内容的内在联系，增强用数和图形描述现实问题的意识和能力，丰富解决问题的策略，发展对数学的积极情感。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.学生能够通过观察现实世界中的现象，识别并抽象出比例关系，理解比例在生活中的广泛应用。学生能够发现不同情境中的正比例和反比例关系，理解其背后的数学原理。
2.理解并掌握比例的基本性质，即两个外项的积等于两个内项的积，这是解决比例问题的关键。
3.学生能够通过观察现实世界中的现象，识别并抽象出比例关系，理解比例在生活中的广泛应用。
（二）教学难点
1.理解比例性质的深层含义：学生需要深入理解比例性质的数学本质，而不仅仅是机械的记忆公式。这要求教师在教学中通过丰富的实例和直观的操作，帮助学生建立对比例性质的直观感知。
2.将比例知识应用于复杂情境：注重培养学生的综合应用能力和创新意识，通过设计具有挑战性的学习任务，引导学生探索比例知识在复杂情境中的应用。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。《数学课程标准》指出：“每一堂课都应该以学生为中心，以探究为手段，积极发展学生的求异思维，以培养学生各种能力为目的，最终让学生形成一种新型的数学思想，养成数学能力，体验数学与生活的关系。”
本单元教材的具体编排结构：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：*.
教材的教学安排把图形的放大和缩小与认识比例结合起来教学，帮助学生在现实情境中领悟比例的意义和作用。“放大和缩小”与“比例”分属两个不同的学习领域，但“放大和缩小”是图形的各部分线段按相同的比发生变化，这种变化能直观形象地显示比例的本质内涵。为此在教学比例的意义之前，先介绍用电脑把一幅长方形画放大的过程，直观地显示放大前后的图形“形状没有变，大小变了”，进而使学生在此基础上，了解比例的意义。这样安排既突出体现了数学知识间的相互作用，有利于学生形象思维与抽象思维的协同发展，也能为以后学习成正比例的量、成反比例的量，以及图形的相似等知识打下坚实的基础。
教材的编写重视不同数学知识的综合应用，让学生感受数学知识的内在联系，不断提高解决实际问题的能力。认识比例的意义时，先让学生认识图形的放大和缩小，再让学生经历按指定的比把一个简单的图形放大和缩小的操作过程，借助图形的直观变化，帮助学生初步感知比例的内涵。这样的安排，对于沟通数学知识间的联系，帮助学生形成更加完整、合理的认知结构，提高解决问题的能力，无疑是具有促进作用的。
3.为学生提供充分的探索与交流的空间。单元末安排的实践与综合应用《面积的变化》，一方面让学生通过测量和计算，探索发现平面图形按一定的比例放大后面积的变化规律；另一方面，让学生应用发现的规律，解决求平面图上建筑或设施的实际占地面积的问题。这样的活动不仅能使学生在活动中获得数学知识、发展数学思考，而且有利于学生感受数学探索的乐趣，增强主动探索的意识。
单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 □统计与概率 综合与实践
单元数量 1
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 比例 图形的放大与缩小 1
比例的意义 1
比例的基本性质 1
解比例 1
比例尺 1
比例尺的应用 1
面积的变化 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 □分类 □集合 □对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 方程 □函数 □统计 分析 综合 □比较 假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
4.1《图形的放大与缩小》 目标： 初步理解图形的放大与缩小，会利用方格纸把一个简单图形按指定的比放大或缩小；感受图形的放大、缩小在日常生活中的应用，体会图形的相似性，进一步积累图形运动的经验，发展空间观念。 任务一：认识图形的放大与缩小 右边长方形画是左边长方形画放大后的图，放大后的图与原来的图形有什么关系呢？仔细观察两幅图的长有什么关系？宽有什么关系？ → 任务二：画出放大或缩小后的图形 这里有一个长方形，它的长和宽是多少格？ 按 3∶1 放大是什么意思？ → 1.理解图形放大与缩小的概念。 2. 能够利用方格纸按指定的比将简单图形放大或缩小，正确计算放大或缩小后图形的对应边长。
4.2《比例的意义》 目标： 理解比例的意义，知道比例各部分的名称；能根据比例的意义，正确判断两个比能否组成比例。 任务一：比例的意义 写出照片放大后与放大前长的比和宽的比，这两个比也能组成比例吗？→ 任务二：判断成比例的方法。 判断两个比能不能组成比例，关键是看什么？如果不能一眼看出两个比的比值是不是相等的，怎么办？→ 能够准确描述比例的定义，识别比例中的内项和外项。 通过计算比值或化简比来判断两个比是否相等，从而判断它们能否组成比例。
4.3《比例的基本性质》 目标： 认识比例的“项”以及“内项”和“外项”。理解并掌握比例的基本性质，会应用比例的基本性质正确判断两个比能否组成比例。 任务一：认识比例的各个部分 说一说题中是把三角形按什么样的比缩小的？→ 任务二：比例的基本性质 在比例的两个内项和两个外项之中，它们两者之间存在着一种奇妙的关系，你想揭穿这个秘密吗？ → 任务三：判断成比例的方法 判断每组的两个比能否组成比例。如果能组成比例，把组成的比例写出来？→ 能够从具体的实例中抽象出比例的概念，并概括出比例的基本性质。 2.能够正确计算比例中内项和外项的积，并判断比例是否成立。 3.能够灵活运用比例的基本性质解决问题，包括将比例关系转化为等式进行求解。
《4.4解比例》 目标：掌握解比例的方法，能够正确地应用比例的基本性质解比例。进一步理解比例的意义，能利用比例的知识解决实际问题。 任务一：认识解比例 现在只知道放大后照片的长是13.5厘米，宽是多少厘米呢？你能解决这个问题吗？→ 任务二：检验 检验x＝9是不是6∶4 = 13.5∶x的解。→ 任务三：解分式比例的方法 解比例： 提问：这题的比例与例题有什么不同？→ 1.能准确理解“解比例”的含义，能正确运用比例的基本性质（两个内项的积等于两个外项的积）来解比例。 2.能准确地将比例式转化为等式，并通过解方程求出未知项。
《4.5比例尺》 目标：理解比例尺并能正确地求出平面图的比例尺，能进行线段比例尺和数值比例尺的互化。能够运用比例知识，根据比例尺求图上距离或实际距离。 任务一：认识比例尺 你能分别写出草坪长、宽的图上距离和实际距离的比吗？→ 任务二：探究比例尺的分类 提问：你知道上面的比例尺表示的具体意义吗？→ 1.能否准确描述比例尺的定义。 2.能正确识别和使用数值比例尺和线段比例尺，并能将两者进行互化。 3.能将比例尺的知识应用于实际问题。
《4.6比例尺的应用》 目标： 使学生理解比例尺的意义，掌握比例尺的表示方法（数字比例尺、线段比例尺），学会根据比例尺计算图上距离和实际距离。通过观察、操作、交流等活动，经历比例尺产生和应用的过程，提高学生解决实际问题的能力，培养学生的探究意识、合作意识、创新意识。 任务一：求实际距离 明确题意，找出明华小学到少年宫距离的线段，说出题目告诉了什么，要求什么？→ 任务二：求图上距离 算出学校到医院的图上距离。 讨论怎样把医院的位置在图上表示出来。→ 1.能够运用比例尺解决实际问题。 2.将比例尺的知识与其他数学知识（如比、比例、分数等）进行综合运用。
《4.7面积的变化》 目标： 使学生结合具体的实例，探索并发现平面图形按比例放大后面积的变化规律，进一步加深对图形放大与缩小的含义以及比例意义的理解。 任务一：探究长方形按一定的比放大后面积的变化规律 一个长方形的长和宽按比例放大后，它的面积发生变化吗？会发生怎样的变化呢？→ 任务二：探究平面图形按比例放大后面积的变化规律。 其他平面图形按比例放大后，面积的比又会怎样变化呢？→ 1.能够理解并掌握平面图形（如长方形、正方形、三角形、圆）按比例放大或缩小后面积的变化规律。 2.能够正确计算图形放大或缩小后的面积，并验证面积变化规律。
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