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专题17 圆锥曲线离心率问题精妙解法
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 5
05 核心精讲·题型突破 12
题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 12
题型二：焦点三角形顶角范围与离心率 17
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题 21
题型四：椭圆与双曲线的4a通径体 26
题型五：椭圆与双曲线的4a直角体 31
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 36
题型七：双曲线的4a底边等腰三角形 40
题型八：焦点到渐近线距离为b 44
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 49
题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 53
题型十一：渐近线平行线与面积问题 56
重难点突破：数形结合转化长度角度 62
关于椭圆或双曲线的离心率，以及与双曲线的渐近线相关的问题，通常以选择或填空题的形式出现，其难度属于中等水平。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
离心率 掌握求解，理解应用。 2024年甲卷第5题，5分 2024年I卷第12题，5分 2023年I卷第5、16题，10分 2023年甲卷第9题，5分 2022年甲卷第10题，5分 2022年浙江卷第16题，4分 2021年甲卷第5题，5分 2021年天津卷第8题，5分 离心率问题是高考数学的必考内容，主要考查圆锥曲线的概念和几何性质。在二轮复习中，应掌握其基本性质和常规处理方法，特别是要从挖掘椭圆和双曲线的几何性质入手，以应对考试中的相关问题。
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由题可知三点横坐标相等，设在第一象限，将代入
得，即，故，，
又，得，解得，代入得，
故，即，所以.
故答案为：
2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
【答案】/
【解析】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
3．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
【答案】
【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，
由双曲线的离心率为，得，解得，则，
所以双曲线的方程为.
故答案为：
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，因此，而，所以.
故选：A
5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
6．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
【典例1-1】已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，
则四边形为矩形，
则，
所以，
在中，由，
得，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以.
故选：B.
【典例1-2】已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设椭圆的左焦点为，
因为，所以根据椭圆的对称性可知：四边形为矩形，
所以，
在中，，
根据椭圆定义可知：，
所以，
所以，，所以，
所以离心率为
故选：B．
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：，根据范围求解值域．
双曲线：，根据范围求解值域．
【变式1-1】设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的左焦点为，设，
则根据题意得，
则双曲线的离心率为
，
令，
易知在单调递增，
且，
则，即.
故选：C.
【变式1-2】双曲线（，）左支上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则离心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，则，
因为双曲线左支上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，，
所以由双曲线的对称性可得四边形为矩形，
所以，
因为，，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，所以，
所以，
所以双曲线的离心率的范围为，
故选：D
1．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图所示，设双曲线的左焦点为，连接，，
因为，则四边形为矩形，
所以，
则，．
．
．
即，
则，
因为，则，
可得，即，
所以，
即双曲线离心率的取值范围是，
故选：C．
题型二：焦点三角形顶角范围与离心率
【典例2-1】已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，
若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意知，椭圆的最大张角为，所以，所以，所以，
故选：C．
【典例2-2】已知为椭圆上一动点，、分别为该椭圆的左、右焦点，为短轴一端点，如果长度的最大值为，则使为直角三角形的点共有（ ）个
A．8个 B．4个或6个 C．6个或8个 D．4个或8个
【答案】B
【解析】当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；
当为直角顶点时，根据椭圆的对称性，可得满足的点有2个；
因为为短轴一端点，令，长度的最大值为，
椭圆，
所以说明椭圆与圆有且仅有下顶点这唯一交点，
设 ，
所以 ，即
所以 ，
因为，
所以带入中得：
，
因为 ，
所以，
所以，
所以，
因为，
当 带入得：
所以，
所以，
所以即 ，
当 时， 为下顶点，此时 最大为直角，根据对称满足的点有2个，
当 时， 为下顶点，此时 为锐角，满足的点有0个，
所以使为直角三角形的点共有4个或6个，
故选：B.
是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）．
【变式2-1】已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得：，点在以为直径端点的圆上，
由此可得该圆的半径，，即，
，.
故选：A.
【变式2-2】已知椭圆的方程为为其左、右焦点，为离心率，为椭圆上一动点，有如下说法：
①当时，使为直角三角形的点有且只有4个；
②当时，使为直角三角形的点有且只有6个；
③当时，使为直角三角形的点有且只有8个；
以上说法中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】当时，使为直角三角形的点有且只有4个，分别为横坐标为的四个点；
当时，使为直角三角形的点有且只有6个，分别为横坐标为的四个点及短轴两个顶点；
当时，使为直角三角形的点有且只有8个，分别为横坐标为的四个点及为直角的四个点
1．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】当轴时，有两个点满足为直角三角形；
当轴时，有两个点满足为直角三角形.
使为直角三角形的点有且只有4个，
以原点为圆心，为半径的圆与椭圆无交点，，
，又，解得.
故选：A.
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题
【典例3-1】已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设点在第一象限，由题知，
解得，，
在中，由余弦定理得，，
化简得，即，
所以，
令，因为，所以，
则，
由“对勾”函数的性质可知，函数在区间上单调递增，
所以．
故选：C
【典例3-2】已知以为焦点的椭圆与双曲线共焦点，一动点在直线上运动，双曲线与椭圆在一象限的交点为，当与相等时，取得最大值，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意设，设双曲线的实轴长为，
双曲线与椭圆在一象限的交点为，
设，则，
故，
由，得，
即；
动点在直线上运动，设l与x轴交点为E，设，
在中，，
在中，，
由题意知为锐角，且,
即，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最大值为，而当与相等时，取得最大值，
可知，即，结合，
得，则，
故双曲线的离心率，
故选：C
，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【变式3-1】已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由可得，
故焦点坐标为、，
则椭圆的离心率为，
由，，则，
过点作于点，由为中点，
故，，
由，故，
则，，
由双曲线定义可知，，
故，则离心率为，
故与的离心率之和为.
故选：B.
【变式3-2】椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设P为第一象限的点，
在椭圆中： ① ,
在双曲线中: ②,
联立①②解得, ,
在中由余弦定理得：
即
即
椭圆的离心率，
双曲线的离心率，
故选：B
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】D
【解析】因为椭圆的上顶点为M，且，
所以，
所以，所以，
设双曲线的方程为，
假设点在第一象限，则
，得，
在中，由余弦定理得
，即，
整理得，
所以，则，
，所以，
所以，
故选：D
题型四：椭圆与双曲线的4a通径体
【典例4-1】设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如下图所示：
，由双曲线的定义可得，
所以，，则，
由余弦定理可得，
，
因为，
故，整理可得，故该双曲线的离心率为.
故选：B.
【典例4-2】已知双曲线的左、右焦点分别是、，是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
因为是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，
若，
由双曲线的定义，可得，
，则，
所以，
故为等边三角形，则，
在中，，，，
由余弦定理，可得
，
因此，双曲线的离心率为.
故选：D.
椭圆与双曲线的4a通径体
如图，若，易知，若，则一定有，根据可得，即
【变式4-1】若椭圆（）的离心率与双曲线（，）的离心率之积为1，，分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且，，，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点，，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题，，又，，．
，直线MN过点，
，，
，．
在中，
．
设椭圆C的焦距为，离心率为，双曲线E的焦距为，离心率为，
在中，
，
，，．
，，，，
椭圆C的方程为.
故选：B．
【变式4-2】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，
所以可设，，，
因为，所以，解得，
因为，所以，，，
所以，
在中，，，
由，可得，
即椭圆的离心率为.
故选：B.
1．设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】过原点的直线交椭圆于，两点，被平分，
又被平分，四边形是平行四边形，
又，四边形是矩形，
，
由对称性可得，设，，
，，
，
．
故选：B．
题型五：椭圆与双曲线的4a直角体
【典例5-1】已知椭圆的左 右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，设，，设，则，
在中，，
由椭圆定义可知，，
，解得，
所以，，
在中，可得，
在中，由余弦定理可得，
，
，即0，
解得，所以椭圆离心率.
故选：D.
【典例5-2】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，
因为，则，，
由椭圆的定义可得，，
因为，即，
在中，则，即，
解得，可得，
在△中，可得，整理得，
所以椭圆E的离心率为.
故选：B．
如左图，若，过原点，且，，则可得离心率．
如右图，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得离心率．
【变式5-1】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，不妨令，
由过的直线交椭圆于，两点，由椭圆的定义可得，，，
则，，
又因为，所以，则和都是直角三角形，
由勾股定理可得，，
即，解得，
所以，，
又，，
所以，解得，
所以椭圆的离心率为.
故选：B.
【变式5-2】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，再由 是等腰直角三角形
，故选D,
1．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，则，，
∴，，
∵，
在中，由余弦定理，
得：，
∴，
化简可得，而，
故，
∴，，，
∴，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，，
∴，
∴椭圆的离心率.
故选：D.
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
【典例6-1】椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，由椭圆定义知，
又，所以，再由椭圆定义，
因为，所以，
所以由余弦定理可得，
即，
化简可得，即，
解得或（舍去）.
故选：D
【典例6-2】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
同角余弦定理使用两次
【变式6-1】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，，
在和中利用余弦定理可得
即
化简可得
同除得：解得或（舍去）
故选：
【变式6-2】已知双曲线C的焦点为，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设则，，由双曲线的定义可得，，在和中，利用余弦定理求出，进而求出双曲线的标准方程.如图，设则，，
由双曲线的定义可得，
在和中，由余弦定理得
又互补，，
两式消去，可得，
所以，，
所以双曲线的标准方程可得.
故选：B
1．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，
又，所以，从而，，，
中，，
中．，
所以，，所以，
故选：C．
题型七：双曲线的4a底边等腰三角形
【典例7-1】设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线C的左焦点为，如图，取线段的中点H，连接，则．
因为，所以，即，则．
设．因为，
所以，则，从而，故，解得．
因为直线l的斜率为，所以，整理得，即，则，故．
故选：C
【典例7-2】设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为，如图，取线段的中点，连接，则．因为，所以，即，则．设．因为，所以，则，从而，故，解得．因为直线的斜率为，所以，整理得，即，
故选：D．
当或者时，令,则一定存在①，②
【变式7-1】设双曲线的左 右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左 右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】如图，设为的中点，连接.
易知，所以，所以.
因为为的中点，所以.
设，因为，所以.
因为，所以.
所以.
因为是的中点，，所以.
在Rt中，；
在Rt中，.
所以，解得.
所以.
因为直线的斜率为，
所以，所以，
，所以离心率为.
故选：A
1．设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且在线段的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】依题意，如图：
设M，N的中点为P，连接 ，则点P在以原点为圆心，半径为c的圆上，并且有 ， ；
直线l的方程为 ，令 ，
，由双曲线的性质可得 ，
解得 ，
在 中， ，在 中， ，
解得 ，由于 ， ，
解得 ；
故选：D.
题型八：焦点到渐近线距离为b
【典例8-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】连结，因为点分别为和的中点，
所以，且
设点到一条渐近线的距离，所以
，又，所以，
中，满足，
整理为：，
双曲线的离心率.
故选：D
【典例8-2】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解析】由题，设原点为，
根据双曲线的定义可知，且（当且仅当为线段上的点时等号成立），
所以，
因为的最小值为，即，
所以，此时为渐近线的垂线，
因为双曲线的一条渐近线为,
所以在中，，
因为，所以，即，
所以，则.
故选：B
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线，，过右焦点作，，由于渐近线方程为，故，且斜边，故，故，.
【变式8-1】已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作直线，使得它双曲线的一条渐近线垂直且垂足为点，与双曲线的右支交于点，若线段的垂直平分线恰好过的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接，不妨设点在第三象限，则直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
记线段的中点为，则，且，
又因为为的中点，则为的中点，则，
因为，所以，，
由双曲线的定义可得，
由勾股定理可得，即，整理可得，
因此，双曲线的离心率为.
故选：C.
【变式8-2】已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】不妨设渐近线的方程为，因为，为的中点，
所以为的中点，
将直线，的方程联立，可得，
又，所以即，
又点在双曲线上，所以，解得，
所以该双曲线的离心率为，
故选：A.
1．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设点位于第二象限，可求得点的坐标，再由直线与直线垂直，转化为两直线斜率之积为可得出的值，进而可求得双曲线的离心率.设点位于第二象限，由于轴，则点的横坐标为，纵坐标为，即点，
由题意可知，直线与直线垂直，，，
因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
【典例9-1】已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【解析】设双曲线：的右焦点，
双曲线的一条渐近线方程设为，
可得，，
的面积为，即有，
化为，，解得.
故选：A.
【典例9-2】已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不妨设在第二象限，在第三象限，如下图所示：
因为，，所以，
所以，，
又，所以，
所以，所以，
因为，所以，
所以，所以.
故选：C.
利用几何法转化
【变式9-1】过双曲线的焦点作其渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线的另一条渐近线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，双曲线的渐近线，，
由，，可得，
由可知为线段的中点，
又可得直线为线段的垂直平分线，
由，即，可得，
，因此，双曲线的离心率为.
故选：B.
【变式9-2】过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)
【答案】A
【解析】由题意双曲线C：的渐近线，右焦点，
不妨设过右焦点与双曲线的一条渐近线垂直的直线方程为
与联立得，所以，，所以交点坐标为，因为交点在第二象限，所以，因为，，，所以，，所以，即，因为，所以，即
故选：A
1．已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如下图所示：
双曲线的渐近线方程为，即，
所以，，则，
因为，则，
设，则，所以，，
，，
由二倍角的正切公式可得，即，可得，
因此，.
故选：A.
题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
【典例10-1】设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．2
【答案】A
【解析】由题意可得，
即有为等腰三角形，
设，
则，
所以
即为，
所以，
故选：A
【典例10-2】已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以 为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
由双曲线的定义可得：，，
因为点在以为直径的圆上，所以，
所以，即，解得：，
在中，，，，
由可得，即，
所以双曲线离心率为，
故选：C.
以为直径作圆，交一条渐近线于点，交另一条渐近线于点，则令,则，
【变式10-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交点为，直线与另一条渐近线交于点．若点是线段中点，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【解析】如图，点Q是以为直径的圆的弦中点，则，于是得，
因直线是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知，因此有，
则有直线的斜率，离心率，
双曲线的离心率是2
故选：B
1．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】连接， 设，
则由题意可得是直角三角形，
由恰好为正三角形得，，
∴，∴，
，
．
故选：C．
题型十一：渐近线平行线与面积问题
【典例11-1】已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】易知MN关于x轴对称，令，，
∴，，∴，∴．
，，，
∴，
∴．
故选: C.
【典例11-2】已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】
因为双曲线，则其渐近线方程为，
且，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，
则直线方程为，联立直线方程，解得，
所以，过点作轴的垂线，交轴于点，
因为，则，
则，且，
即，化简可得，则.
故选：C
①双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
②双曲线C：上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于，两点，则是一个常数，，
【变式11-1】已知双曲线上一点坐标为为双曲线的右焦点，且垂直于轴.过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是 .
【答案】或
【解析】由题意知，，
双曲线的渐近线方程为，
设过点且与渐近线平行的直线与渐近线相交于点，如图所示，
直线的方程为，
将其与联立，解得，，即，，
，
点，到直线的距离为，
所围图形面积等于1，
，即，
化简得，
点，在双曲线上，，即，
，
又，，或，，
离心率或．
故答案为：或．
【变式11-2】已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线分别交两条渐近线于、两点.若为等腰直角三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如下图所示：
直线的方程为，直线的方程为，
联立可得，即点，
因为为等腰直角三角形，由对称性可知，、关于轴，
所以，，所以，，
所以，，可得，故，
故该双曲线的离心率为，
故选：D.
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设双曲线的渐近线为,,,则直线方程为,联立直线方程可求出点,即可得到,再求得点到直线的距离,即可利用四边形的面积求出,再利用条件求出的取值范围即可.由题意可知,四边形为平行四边形,
不妨设双曲线的渐近线为,,
设点,则直线方程为,
且点到直线的距离.
联立,解得,∴,
∴,
设四边形的面积为,则,
又∵,∴,
∴,∴,
∴双曲线的标准方程为,
∴,,∴,,
∴,
又∵,∴,解得,
故选:D.
重难点突破：数形结合转化长度角度
【典例12-1】已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 .
【答案】
【解析】
因为，所以是的中点，又为的中点，
所以，因为，所以，所以，
设，则，，且在双曲线上，
则，即，又，即，
所以.
故答案为：.
【典例12-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为
【答案】/
【解析】
依题意有
所以，
设又
所以、
在中，
所以，
故有：即
解得：即
在中，有
即，
所以
故答案为：.
数形结合
【变式12-1】已知双曲线的左 右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积 .
【答案】2
【解析】依题意，设双曲线的半焦距为，则，
因为是的中点，所以，故由得，
又因为，所以，
在中，，
在中，，
所以，解得，所以，
所以双曲线方程为，则，
设，，，
所以，
故答案为：2
【变式12-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为 ．
【答案】
【解析】由双曲线的对称性得，由，得，
不妨设点在的右支上，且，
在中，由双曲线定义知，
由勾股定理得，
则，
且
又，，所以，
则在中，由，得，
化简得，
即，所以，
所以，化简得.
所以的离心率为.
故答案为：.
1．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是 ．
【答案】
【解析】做出图像，如图所示，则，
在中，由得，，
设，则，
所以，解得，即，
在中，由得，，
设，则，
所以，解得，即，
因为，
所以，
则，即，
所以，解得，
所以，
由可得，，则，
所以，整理得，解得，
故答案为：．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题17 圆锥曲线离心率问题精妙解法
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 5
05 核心精讲·题型突破 6
题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题 6
题型二：焦点三角形顶角范围与离心率 7
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题 9
题型四：椭圆与双曲线的4a通径体 10
题型五：椭圆与双曲线的4a直角体 12
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题 13
题型七：双曲线的4a底边等腰三角形 14
题型八：焦点到渐近线距离为b 16
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形 17
题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题 18
题型十一：渐近线平行线与面积问题 20
重难点突破：数形结合转化长度角度 22
关于椭圆或双曲线的离心率，以及与双曲线的渐近线相关的问题，通常以选择或填空题的形式出现，其难度属于中等水平。
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
离心率 掌握求解，理解应用。 2024年甲卷第5题，5分 2024年I卷第12题，5分 2023年I卷第5、16题，10分 2023年甲卷第9题，5分 2022年甲卷第10题，5分 2022年浙江卷第16题，4分 2021年甲卷第5题，5分 2021年天津卷第8题，5分 离心率问题是高考数学的必考内容，主要考查圆锥曲线的概念和几何性质。在二轮复习中，应掌握其基本性质和常规处理方法，特别是要从挖掘椭圆和双曲线的几何性质入手，以应对考试中的相关问题。
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的任意一点，；为双曲线的左、右焦点，为双曲线上的任一点，．
3、利用角度长度的大小建立不等关系．为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的动点，若，则椭圆离心率的取值范围为．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设双曲线的左右焦点分别为，过作平行于轴的直线交C于A，B两点，若，则C的离心率为 ．
2．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
3．（2023年北京高考数学真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为 ．
4．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（多选题）（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型一：顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题
【典例1-1】已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知椭圆C：上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
顶角为直角的焦点三角形求解离心率的取值范围问题，如图所示：
椭圆：，根据范围求解值域．
双曲线：，根据范围求解值域．
【变式1-1】设是双曲线在第一象限内的点，为其右焦点，点关于原点的对称点为，且，，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】双曲线（，）左支上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则离心率e的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
1．已知双曲线右支上非顶点的一点A关于原点的对称点为为双曲线的右焦点，若，设，且，则该双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型二：焦点三角形顶角范围与离心率
【典例2-1】已知点分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上的一个动点，
若使得满足是直角三角形的动点恰好有6个，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】已知为椭圆上一动点，、分别为该椭圆的左、右焦点，为短轴一端点，如果长度的最大值为，则使为直角三角形的点共有（ ）个
A．8个 B．4个或6个 C．6个或8个 D．4个或8个
是椭圆的焦点，点在椭圆上，，则（当且仅当动点为短轴端点时取等号）．
【变式2-1】已知，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】已知椭圆的方程为为其左、右焦点，为离心率，为椭圆上一动点，有如下说法：
①当时，使为直角三角形的点有且只有4个；
②当时，使为直角三角形的点有且只有6个；
③当时，使为直角三角形的点有且只有8个；
以上说法中正确的个数是
A．0 B．1 C．2 D．3
1．已知为椭圆上一点，分别是椭圆的左、右焦点.若使为直角三角形的点有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型三：共焦点的椭圆与双曲线问题
【典例3-1】已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，点为与的一个交点，且，设与的离心率分别为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3-2】已知以为焦点的椭圆与双曲线共焦点，一动点在直线上运动，双曲线与椭圆在一象限的交点为，当与相等时，取得最大值，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
，与基本不等式联姻求解离心率的取值范围
【变式3-1】已知椭圆：（）与双曲线：（）共焦点，，过引直线与双曲线左、右两支分别交于点，，过作，垂足为，且（为坐标原点），若，则与的离心率之和为（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，椭圆的上顶点为M，且．双曲线和椭圆有相同焦点，且双曲线的离心率为，P为曲线与的一个公共点，若，则的值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
题型四：椭圆与双曲线的4a通径体
【典例4-1】设双曲线的左、右焦点分别是、，过的直线交双曲线的左支于、两点，若，且，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】已知双曲线的左、右焦点分别是、，是双曲线右支上的一点，交双曲线的左支于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
椭圆与双曲线的4a通径体
如图，若，易知，若，则一定有，根据可得，即
【变式4-1】若椭圆（）的离心率与双曲线（，）的离心率之积为1，，分别是双曲线E的左、右焦点，M，N是双曲线E的左支上两点，且，，，A，F分别是椭圆C的左顶点与左焦点，，则椭圆C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．设椭圆的左、右焦点分别为，，过原点的直线交椭圆于，两点，若，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型五：椭圆与双曲线的4a直角体
【典例5-1】已知椭圆的左 右焦点分别为、，过作直线与椭圆相交于、两点，，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，且，，则椭圆E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
如左图，若，过原点，且，，则可得离心率．
如右图，若，过原点，且，通过补全矩形，可得，，借助公式可得离心率．
【变式5-1】设，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线交椭圆于，两点，且，，则椭圆的离心率为（ ）.
A． B． C． D．
【变式5-2】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
1．设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于，两点，，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型六：椭圆与双曲线的等腰三角形问题
【典例6-1】椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
同角余弦定理使用两次
【变式6-1】已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知双曲线C的焦点为，过的直线与双曲线C的左支交于A，B两点，若，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
1．已知双曲线左右焦点为，，过的直线与双曲线的右支交于P，Q两点，且，若为以Q为顶角的等腰三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
题型七：双曲线的4a底边等腰三角形
【典例7-1】设为双曲线C：的右焦点，直线l：（其中c为双曲线C的半焦距）与双曲线C的左、右两支分别交于M，N两点，若，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【典例7-2】设为双曲线：（，）的右焦点，直线：（其中为双曲线的半焦距）与双曲线的左、右两支分别交于，两点，若，则双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
当或者时，令,则一定存在①，②
【变式7-1】设双曲线的左 右焦点分别为，过点作斜率为的直线与双曲线的左 右两支分别交于两点，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
1．设双曲线的左、右焦点分别为，，过点作斜率为的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，且在线段的垂直平分线上，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型八：焦点到渐近线距离为b
【典例8-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
【典例8-2】已知双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为，，过C的右支上一点P作C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若的最小值为，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
双曲线的特征三角形，如图所示，设渐近线，，过右焦点作，，由于渐近线方程为，故，且斜边，故，故，.
【变式8-1】已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作直线，使得它双曲线的一条渐近线垂直且垂足为点，与双曲线的右支交于点，若线段的垂直平分线恰好过的右焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式8-2】已知双曲线的左右焦点分别为，，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点（异于坐标原点），若线段交双曲线于点，且则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．已知、分别是双曲线的左、右焦点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，分别交两条渐近线于点、，过点作轴的垂线，垂足恰为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型九：焦点到渐近线垂线构造的直角三角形
【典例9-1】已知双曲线：的一个焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为.若(为坐标原点)的面积等于(为双曲线的半焦距)，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【典例9-2】已知双曲线的左焦点为，过点的直线与两条渐近线的交点分别为两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（ ）
A． B． C． D．
利用几何法转化
【变式9-1】过双曲线的焦点作其渐近线的垂线，垂足为，直线交双曲线的另一条渐近线于点，为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】过双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点F引一条渐近线的垂线，与另一条渐近线相交于第二象限，则双曲线C的离心率的取值范围是（ ）
A．(，+∞) B．(，+∞) C．(2，+∞) D．(3，+∞)
1．已知双曲线，过右焦点作的一条渐近线的垂线，垂足为点，与的另一条渐近线交于点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型十：以两焦点为直径的圆与渐近线相交问题
【典例10-1】设，是双曲线：的左、右焦点，以线段为直径的圆与直线在第一象限交于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．
C． D．2
【典例10-2】已知，分别为双曲线：的左，右焦点，以 为直径的圆与双曲线的右支在第一象限交于点，直线与双曲线的右支交于点，点恰好为线段的三等分点(靠近点)，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
以为直径作圆，交一条渐近线于点，交另一条渐近线于点，则令,则，
【变式10-1】已知双曲线的左、右焦点分别为，，以为直径的圆与的一条渐近线在第一象限交点为，直线与另一条渐近线交于点．若点是线段中点，则双曲线的离心率是（ ）
A． B．2 C． D．3
1．已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，若以F1F2为直径的圆和曲线C在第一象限交于点P，且△POF2恰好为正三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型十一：渐近线平行线与面积问题
【典例11-1】已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M，N两点．若，则C的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【典例11-2】已知分别为双曲线的左、右焦点，过作的渐近线的平行线，与渐近线在第一象限交于点，此时，则的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
①双曲线C：上的任意点P到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数
②双曲线C：上的任意点P作双曲线C的两条渐近线的平行线，分别交于，两点，则是一个常数，，
【变式11-1】已知双曲线上一点坐标为为双曲线的右焦点，且垂直于轴.过点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，它们与两条渐近线围成的图形面积等于，则该双曲线的离心率是 .
【变式11-2】已知、分别为双曲线的左、右焦点，过作的两条渐近线的平行线分别交两条渐近线于、两点.若为等腰直角三角形，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
1．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是双曲线上的任意一点，过点作双曲线的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于，两点，若四边形（为坐标原点）的面积为，且，则点的纵坐标的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
重难点突破：数形结合转化长度角度
【典例12-1】已知分别为双曲线的左、右焦点，是左支上一点，，若存在点满足，则的离心率为 .
【典例12-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点P是C的右支上一点，连接与y轴交于点M，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率为
数形结合
【变式12-1】已知双曲线的左 右焦点分别为，点在的左支上，，，延长交的右支于点，点为双曲线上任意一点（异于两点），则直线与的斜率之积 .
【变式12-2】已知双曲线的左、右焦点分别为，点在上，且，射线分别交于两点（为坐标原点），若，则的离心率为 ．
1．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为坐标原点，，为上位于轴上方的两点，且，．记，交点为，过点作，交轴于点．若，则双曲线的离心率是 ．
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