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专题01 集合和常用逻辑用语
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 5
05 核心精讲·题型突破 7
题型一：集合的基本概念 7
题型二：集合间的基本关系 8
题型三：集合的运算 9
题型四：充分条件与必要条件 10
题型五：全称量词与存在量词 12
重难点突破：以集合为载体的创新题 13
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
集合的基本概念 理解集合，掌握基本要素 2023年上海卷第13题，4分 预测2025年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力． （2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用．
集合的运算 熟练掌握集合的并、交、补集运算方法 2024年北京卷第1题，5分 2024年甲卷（文）第2题，5分 2024年天津卷第1题，5分 2023年 I卷第1题，5分 2022年I卷第1题，5分 2021年I卷第1题，5分
充分条件与必要条件 理解充分必要，掌握逻辑判断，熟练应用题解 2024年北京卷第5题，5分 2024年甲卷（理）第9题，5分 2024年天津卷第2题，5分 2023年天津卷第2题，5分 2022年天津卷第2题，5分 2021年甲卷第7题，5分
1、集合中的逻辑关系（备注：全集为）
（1）交集的运算性质．
，，，，，．
（2）并集的运算性质．
，，，，，．
（3）补集的运算性质．
，，，，．
补充性质：．
（4）结合律与分配律．
结合律：．
分配律：．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的补补的并”，“并的补补的交”．
2、由个元素组成的集合的子集个数
的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
3、容斥原理
．
4、从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
2．（2024年上海秋季高考数学真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024年天津高考数学真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
8．（2023年北京高考数学真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
14．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
15．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
16．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
题型一：集合的基本概念
【典例1-1】（2024·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】[新考法]（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
A． B． C． D．
集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。
【变式1-1】（2024·高三·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或
【变式1-2】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无穷多个
1．[新考法]集合,则以下可以是的表达式的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
3．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知集合，若，则（ ）
A．或3 B．0 C．3 D．
题型二：集合间的基本关系
【典例2-1】（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·宁夏·模拟预测）设集合
，则（ ）
A． B．
C． D．
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
【变式2-1】（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则集合A的真子集有（ ）个.
A．7 B．15 C．31 D．63
【变式2-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，
若集合且，则的子集的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【变式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知集合为全集的子集，，则（ ）.
A． B．
C． D．
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）已知，则的值可以为（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
3．（多选题）已知集合，，集合满足，则（ ）
A．， B．集合可以为
C．集合的个数为7 D．集合的个数为8
4．（多选题）若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
题型三：集合的运算
【典例3-1】已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
【变式3-1】（2024·高三·黑龙江佳木斯·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人 .
【变式3-3】（2024·江西九江·模拟预测）设，若，，则集合 ．
1．（多选题）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选题）已知集合均为的子集，若，则（ ）
A． B．
C． D．
3．已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 .
4．（2024·高三·重庆沙坪坝·开学考试）设集合，集合，若，则的取值范围为 .
题型四：充分条件与必要条件
【典例4-1】（2024·高三·福建宁德·期中）对任意实数,“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【典例4-2】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.
【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-3】（多选题）（2024·山东临沂·二模）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-4】已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 .
1．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ．
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（多选题）若，则“”成立的充分不必要条件可以为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合，集合其中是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．
题型五：全称量词与存在量词
【典例5-1】（2024·湖北·一模）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】[新考法]（2024·吉林长春·模拟预测）已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当的真假不易判断时，可转化为去判断的真假.
【变式5-1】已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】命题“”为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·高三·江苏连云港·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【变式5-4】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知命题；命题，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
1．已知命题“，”是假命题，则的取值范围是 ．
2．若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
3．若命题“”为真命题，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
重难点突破：以集合为载体的创新题
【典例6-1】（2024·广东·模拟预测）对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【典例6-2】（2024·高三上海模拟）已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.
【变式6-1】（2024·高三·四川·开学考试）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ）
A．3 B．4 C．14 D．16
【变式6-2】（2024·高三·北京海淀·开学考试）设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且 中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有个元素 B．一个“好子集”中最多有个元素
C．一个“好子集”中最多有个元素 D．一个“好子集”中最多有个元素
【变式6-3】（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集
1．称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记为集合包含的好整点的个数．若，则正整数的最小值是（ ）
A．1976 B．1977 C． D．
2．（多选题）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则是3阶聚合点集
B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集
C．若，则不是阶聚合点集
D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件
3．（多选题）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．存在，使得
4．（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对所有的a、，有；
②、b、，有；
③，使得，有，e称为单位元；
④，，使，称a与b互为逆元．
则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．自然数集N关于数的加法构成群
C．实数集R关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 集合和常用逻辑用语
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 5
05 核心精讲·题型突破 12
题型一：集合的基本概念 12
题型二：集合间的基本关系 15
题型三：集合的运算 18
题型四：充分条件与必要条件 22
题型五：全称量词与存在量词 26
重难点突破：以集合为载体的创新题 29
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系与运算，考试形式多以一道选择题为主，分值5分．近年来试题加强了对集合计算和化简能力的考查，并向无限集方向发展，考查学生的抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意运用数轴法和特殊值法解题，应加强集合表示方法的转化和化简的训练．
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
集合的基本概念 理解集合，掌握基本要素 2023年上海卷第13题，4分 预测2025年高考，多以小题形式出现，也有可能会将其渗透在解答题的表达之中，相对独立．具体估计为： （1）以选择题或填空题形式出现，考查学生的综合推理能力． （2）热点是集合间的基本运算、数轴法的应用和体现集合的语言工具作用．
集合的运算 熟练掌握集合的并、交、补集运算方法 2024年北京卷第1题，5分 2024年甲卷（文）第2题，5分 2024年天津卷第1题，5分 2023年 I卷第1题，5分 2022年I卷第1题，5分 2021年I卷第1题，5分
充分条件与必要条件 理解充分必要，掌握逻辑判断，熟练应用题解 2024年北京卷第5题，5分 2024年甲卷（理）第9题，5分 2024年天津卷第2题，5分 2023年天津卷第2题，5分 2022年天津卷第2题，5分 2021年甲卷第7题，5分
1、集合中的逻辑关系（备注：全集为）
（1）交集的运算性质．
，，，，，．
（2）并集的运算性质．
，，，，，．
（3）补集的运算性质．
，，，，．
补充性质：．
（4）结合律与分配律．
结合律：．
分配律：．
（5）反演律（德摩根定律）．
．
即“交的补补的并”，“并的补补的交”．
2、由个元素组成的集合的子集个数
的子集有个，非空子集有个，真子集有个，非空真子集有个．
3、容斥原理
．
4、从集合与集合之间的关系上看
设．
（1）若，则是的充分条件（），是的必要条件；若，则是的充分不必要条件，是的必要不充分条件，即且；
注：关于数集间的充分必要条件满足：“小大”．
（2）若，则是的必要条件，是的充分条件；
（3）若，则与互为充要条件．
1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）已知命题p：，；命题q：，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题，
对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题，
综上，和都是真命题.
故选：B.
2．（2024年上海秋季高考数学真题）定义一个集合，集合中的元素是空间内的点集，任取，存在不全为0的实数，使得．已知，则的充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底，
对A，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误；
对B，由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故B错误；
对C， 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，
则由能推出，
对D，由空间直角坐标系易知三个向量共面，
则当无法推出，故D错误.
故选：C．
3．（2024年北京高考数学真题）设 ，是向量，则“”是“或”的（ ）．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】因为，可得，即，
可知等价于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，无法得出或，
例如，满足，但且，可知充分性不成立；
综上所述，“”是“且”的必要不充分条件.
故选：B.
4．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设向量，则（ ）
A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件
【答案】C
【解析】对A，当时，则，
所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；
对C，当时，，故，
所以，即充分性成立，故C正确；
对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；
对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.
故选：C.
5．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，所以，
则，
故选：D
6．（2024年天津高考数学真题）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】根据立方的性质和指数函数的性质，和都当且仅当，所以二者互为充要条件.
故选：C.
7．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知等差数列的公差为，集合，若，则（ ）
A．－1 B． C．0 D．
【答案】B
【解析】依题意，等差数列中，，
显然函数的周期为3，而，即最多3个不同取值，又，
则在中，或或
于是有或，
即有，解得；
或者，解得；
所以，或.
故选：B
8．（2023年北京高考数学真题）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】解法一：
因为，且，
所以，即，即，所以.
所以“”是“”的充要条件.
解法二：
充分性：因为，且，所以，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，即，即，所以.
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
解法三：
充分性：因为，且，
所以，
所以充分性成立；
必要性：因为，且，
所以，
所以，所以，所以，
所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C
9．（2023年高考全国乙卷数学（文）真题）设全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则.
故选：A.
10．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设甲：，乙：，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】B
【解析】当时，例如但，
即推不出；
当时，，
即能推出.
综上可知，甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
11．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为整数集，，所以，．
故选：A．
12．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）设集合，集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意可得，则，选项A正确；
，则，选项B错误；
，则或，选项C错误；
或，则 或，选项D错误；
故选：A.
13．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：因为，而，
所以 ．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以 ．
故选：C．
14．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合，，若，则（ ）．
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解析】因为，则有：
若，解得，此时，，不符合题意；
若，解得，此时，，符合题意；
综上所述：.
故选：B.
15．（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【答案】C
【解析】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为，
则，
因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即为常数，设为，
即，则，有，
两式相减得：，即，对也成立，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件，C正确.
方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即，
则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；
反之，乙：为等差数列，即，
即，，
当时，上两式相减得：，当时，上式成立，
于是，又为常数，
因此为等差数列，则甲是乙的必要条件，
所以甲是乙的充要条件.
故选：C
16．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】[方法一]：直接法
因为，故，故选：B.
[方法二]：【最优解】代入排除法
代入集合，可得，不满足，排除A、D；
代入集合，可得，不满足，排除C.
故选：B.
17．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）设全集，集合M满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
题型一：集合的基本概念
【典例1-1】（2024·广东·模拟预测）若，则m可能取值的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由，得，则，
由，得，此时，符合题意；
或，此时，符合题意；或，则，此时，符合题意，
所以m可能取值的集合为.
故选：B
【典例1-2】[新考法]（2024·河南新乡·三模）下列集合中有无数个元素的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】对于A，因为，，则，，故A 错误；
对于B，因为，，则，
所以，故B错误；
对于C，，，所以，故C错误；
对于D，有无数个元素.故D正确.
故选：D.
集合是由一些确定的、不同的东西组成的全体，元素是集合的组成对象。集合具有确定性、互异性和无序性。常用列举法、描述法、语言描述法和韦恩图法表示集合。解题技巧包括利用数轴、检验元素互异性等。掌握集合的基本概念和方法技巧，对于解决集合问题具有重要意义。
【变式1-1】（2024·高三·江西赣州·期中）已知、，若，则的值为（ ）
A． B．0 C． D．或
【答案】C
【解析】由 且，则，
∴，于是，解得或,
根据集合中元素的互异性可知应舍去，
因此，,
故．
故选：C.
【变式1-2】（2024·四川乐山·三模）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】由题意知，，，
当，时，，
当，时，，
所以，
所以集合中的元素个数为4.
故选：C.
【变式1-3】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．无穷多个
【答案】C
【解析】由，可得，
所以集合的元素个数为个.
故选：C
1．[新考法]集合,则以下可以是的表达式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对于选项A，因为，所以，，，，不满足集合的互异性，所以选项A错误，
对于选项B，因为，所以，不满足集合的互异性，所以选项B错误，
对于选项C，因为，所以，，，，所以选项C正确，
对于选项D，因为，所以，，，，后面再求导，导数均为，不满足集合的互异性，所以选项D错误，
故选：C.
2．已知集合的元素之和为1，则实数a 所有取值的集合为（ ）
A．{0} B．{1} C．{－1，1} D．{0,-1，1}
【答案】D
【解析】因为集合的元素之和为1，
所以一元二次方程有等根时，可得，即，
当方程有两不相等实根时，，即，
综上，实数a 所有取值的集合为.
故选：D
3．已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】由题意，，
当，
当，
当，
当，
当，
当，
由集合中元素满足互异性，所以.
故选：B
4．已知集合，若，则（ ）
A．或3 B．0 C．3 D．
【答案】C
【解析】，
，解得或，
当时，，
不满足集合中元素的互异性，舍去.
当时，，
此时，满足题意.
综上，.
故选：C.
题型二：集合间的基本关系
【典例2-1】（2024·河南·模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】集合，若，
则若，则满足题意；
若，且，则，
综上所述，实数的取值范围是.
故选：
【典例2-2】（2024·宁夏·模拟预测）设集合
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，A错；，B错；
，D错，C正确．
故选：C．
（1）判断两集合的关系常用两种方法：一是逻辑分析法，即先化筒集合，再从表达式中寻找两集合的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系，这体现了合情推理的思维方法．
（2）已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常利用数轴和韦恩图辅助分析．
【变式2-1】（2024·江西新余·模拟预测）已知集合，，若，则的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，
，故.
故选：A.
【变式2-2】（2024·四川成都·模拟预测）若集合，则集合A的真子集有（ ）个.
A．7 B．15 C．31 D．63
【答案】C
【解析】由题意可知：集合，共5个元素，
所以集合A的真子集有个.
故选：C.
【变式2-3】（2024·贵州遵义·模拟预测）已知集合，，
若集合且，则的子集的个数为（ ）
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】C
【解析】由条件可知，，，，，，，
所以集合，集合的子集的个数为个.
故选：C
【变式2-4】[新考法]（2024·江西新余·模拟预测）已知集合为全集的子集，，则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵，
∴，
∴，
∴.
故选：C.
1．已知集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，，，，
则，易知12的倍数一定是6的倍数，故A正确，C错误；
因，即，故D错误；
对于B项，任取，因，则，故B错误．
故选：A．
2．（多选题）已知，则的值可以为（ ）
A．2 B．64 C．256 D．1024
【答案】AC
【解析】当时，由得，满足，所以；
当时，由得，满足，所以；
当时，由得，不满足；
综上，则或256.
故选：AC.
3．（多选题）已知集合，，集合满足，则（ ）
A．， B．集合可以为
C．集合的个数为7 D．集合的个数为8
【答案】AC
【解析】由题意得，，又.
所以，，故A正确；
当时，不满足，B错误，
集合的个数等价于集合的非空子集的个数，
所以集合的个数为，故C正确，D错误，
故选：AC.
4．（多选题）若集合和关系的Venn图如图所示，则可能是（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】根据Venn图可知，
对于A，显然，故A正确；
对于B，，则，故B错误；
对于C，，则，故C正确；
对于D，，或 ，
则，故D正确.
故选：ACD
题型三：集合的运算
【典例3-1】已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，解得或，
故或，又，所以 .
故选：C
【典例3-2】（2024·广东广州·模拟预测）已知全集，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】已知全集，
,集合中没有，
若，则，则，与条件矛盾，故，
同理可得，
则.
故选：D.
凡是遇到集合的运算（并、交、补）问题，应注意对集合元素属性的理解，数轴和韦恩图是集合交、并、补运算的有力工具，数形结合是解集合运算问题的常用思想.
【变式3-1】（2024·高三·黑龙江佳木斯·期中）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由，解得，则，
.
故选：C
【变式3-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人 .
【答案】
【解析】以集合、、表示分别参加语文、数学、英语兴趣小组的学生，如下图所示：
设同时参加这三个兴趣小组的同学有人，由图可得，解得.
故答案为：.
【变式3-3】（2024·江西九江·模拟预测）设，若，，则集合 ．
【答案】
【解析】因为
因为
因为,
如果,则与已知矛盾，所以.
所以.
故答案为：
1．（多选题）设为全集，集合满足条件，那么下列各式中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】当，，，时，满足，
此时，不是的子集，所以A、B不一定成立；
，，所以C不一定成立；
对于D，若，则，但，因为，
所以，于是，所以，
同理若，则，，
因此，成立，所以D成立.
故选：ABC.
2．（多选题）已知集合均为的子集，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】因为集合 均为的子集，且，
画出韦恩图，如图所示：
结合图像：由，所以A正确；由 ，所以B错误；
由 ，所以C错误；由，所以D正确.
故选：AD.
3．已知集合，若，则 ；若，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】即，
则，
所以，
若，则，
，
若，，
则，故的取值范围为.
故答案为：；.
4．（2024·高三·重庆沙坪坝·开学考试）设集合，集合，若，则的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意得，故，
因为，所以，故的取值范围是.
故答案为：
题型四：充分条件与必要条件
【典例4-1】（2024·高三·福建宁德·期中）对任意实数,“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】对于函数，根据均值不等式（当且仅当时取等号），
则.
当即时取等号，但是，所以
判断充分性:
若，因为时，那么，所以充分性成立.
判断必要性:
若，当时，显然，所以必要性成立.
所以“”是“”的充要条件.
故选：C.
【典例4-2】若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，
是的必要不充分条件，
，
故选：B．
抓住关键词:大必小充.即小范围推大范围时，大范围是必要条件，小范围是充分条件.
【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知是的导函数，则“”是“是函数的一个极值点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据极值点的定义，是函数的一个极值点可得，
但是时，不一定是函数的一个极值点，
比如，，满足，但在R上单调递增，
即不是函数的极值点，
故“”是“是函数的一个极值点”的必要不充分条件，
故选：B
【变式4-2】（2024·吉林长春·模拟预测）设，则使成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】对于A，，故是的充要条件；
对于B，由得，能推出，反之不成立，
所以是的充分不必要条件；
对于C，由无法得到之间的大小关系，反之也是，
所以是的既不充分也不必要条件；
对于D，由不能推出，反之则成立，所以是的必要不充分条件．
故选：B．
【变式4-3】（多选题）（2024·山东临沂·二模）已知a，，则使“”成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】对于A，当时，满足，但不满足，
所以是的不充分条件，是的不必要条件，故A错误；
对于B，当时，满足，但不满足，
所以是的不充分条件；
当时，，
所以，所以，
所以是的充分条件，是的必要条件，故B正确；
对于C，当时，满足，但不满足，
所以是的不充分条件；
当时，，所以，
所以是的充分条件，是的必要条件，故C正确；
对于D，当时，满足时，但即不满足，
所以是的不充分条件，是的不必要条件，故D错误；
故选：BC.
【变式4-4】已知集合，若“”是“”的充分不必要条件，则实数的所有取值组成的集合是 .
【答案】
【解析】依题意，，，显然，
由“”是“”的充分不必要条件，得，
当时，，符合题意，当时，方程的根为和，
显然，否则，不符合题意，因此，解得，此时，符合题意，
所以实数的所有取值组成的集合是.
故答案为：
1．若不等式成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为 ．
【答案】
【解析】由，
因为不等式成立的一个充分不必要条件是，
所以有，等号不同时成立，，
当时，是不等式成立的充要条件，不符合题意，
所以，实数的取值范围为.
故答案为：.
2．“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当时，满足，但推不出，即“”不是“”的充分条件；
当时，或，总有成立，即“”是“”的必要条件，
故“”是“”的必要不充分条件，
故选：A
3．（多选题）若，则“”成立的充分不必要条件可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由解得，，即，
对A，因为推不出，能推出，
所以是的必要不充分条件，A错误；
对B，因为能推出，不能推出，
所以是的充分不必要条件，B正确；
对C，因为能推出，不能推出，
所以是的充分不必要条件，C正确；
对D，因为不能推出，不能推出，
所以是的既不充分也不必要条件，D错误；
故选:BC.
4．已知集合，集合其中是的充分不必要条件，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】因为是的充分不必要条件，
所以，
因为不等式的解集为，
所以，
所以，
所以，
所以的取值范围是.
故答案为：.
题型五：全称量词与存在量词
【典例5-1】（2024·湖北·一模）命题“”的否定为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为“”的否定是“”.
故选：C
【典例5-2】[新考法]（2024·吉林长春·模拟预测）已知定义域为的函数不是偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】定义域为的函数是偶函数，
所以不是偶函数．
故选：D．
（1）含有一个量词的命题的否定：先否定量词(即“任意”变“存在”、“存在”变“任意”).再否定结论；
（2）清楚命题是全称命题还是特称命题，是正确写出命题否定的前提；
（3）注意命题的否定与否命题的区别；
（4）当的真假不易判断时，可转化为去判断的真假.
【变式5-1】已知命题：命题.若p为假命题，q为真命题，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】命题为假命题，
在上无解，
即与，函数图象没有交点，
由图可知：或，
命题为真命题，则，解得，
综上所述：实数a的取值范围为.
故选：C
【变式5-2】命题“”为假命题，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题意，“”为真命题，即在上恒成立，
令，，则在上恒成立，
即在上恒为增函数，则，故.
故选：A.
【变式5-3】（2024·高三·江苏连云港·开学考试）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】根据题意可得“”是真命题，
当，即时，命题成立；
当时，得，解得，
综上，符合题意的实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式5-4】（2024·高三·河北承德·开学考试）已知命题；命题，则（ ）
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】C
【解析】对于命题，因为，所以，所以命题为真命题，为假命题；
对于命题，当时，，，不成立，
所以命题为假命题，为真命题.
故选：C.
1．已知命题“，”是假命题，则的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得“，”是真命题，故，
因为，所以m的取值范围是．
故答案为：
2．若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为 .
【答案】
【解析】由题意可知，题“”为真命题，
当时，由可得，不符合题意，
当时，根据题意知不等式恒成立则，
解之可得.
故答案为：
3．若命题“”为真命题，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】若命题“”为真命题，
则，解得，
所以a的取值范围是.
故选：A.
4．命题“，”的否定为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】命题“，”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
因此命题“，”的否定是，.
故选：A
重难点突破：以集合为载体的创新题
【典例6-1】（2024·广东·模拟预测）对于非空数集，定义，将称为“与的笛卡尔积”．记非空数集的元素个数为，若是两个非空数集，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】设，，
则 ，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值是.
故选：B
【典例6-2】（2024·高三上海模拟）已知是等差数列，，存在正整数，使得，，.若集合中只含有4个元素，则t的可能取值有（ ）个
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】当时，，根据周期性知集合最多有3个元素，不符合；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，即，即，
所以，或，（舍），
故解得，此时在单位圆上的5等分点，
取到的，，，，，不可能取到4个不同的正弦值，故不满足；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
当时，，取，此时，满足条件；
故选：C
1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化.
2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解.
【变式6-1】（2024·高三·四川·开学考试）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集且，那么称子集族构成集合的 一个划分.已知集合，则集合的所有划分的个数为（ ）
A．3 B．4 C．14 D．16
【答案】B
【解析】依题意，，
的2划分为，共3个，
的3划分为，共1个，
故集合的所有划分的个数为4.
故选：B.
【变式6-2】（2024·高三·北京海淀·开学考试）设集合． 对于集合的子集A，若任取A中两个不同元素，有，且 中有且只有一个为，则称A是一个“好子集”．下列结论正确的是（ ）
A．一个“好子集”中最多有个元素 B．一个“好子集”中最多有个元素
C．一个“好子集”中最多有个元素 D．一个“好子集”中最多有个元素
【答案】A
【解析】则 三者为1或0，
若 三者均为0，则此时A中只有1个元素，即，
不合要求，舍去，
若 三者中有1个0，则，有3个元素，满足要求，
若 三者中有2个0，或没有0，则此时不满足，
综上，一个“好子集”中最多有个元素.
故选：A
【变式6-3】（2024·湖南怀化·二模）给定整数，有个实数元素的集合，定义其相伴数集，如果，则称集合为一个元规范数集．（注：表示数集中的最小数）．对于集合，则（ ）
A．是规范数集，不是规范数集 B．是规范数集，是规范数集
C．不是规范数集，是规范数集 D．不是规范数集，不是规范数集
【答案】C
【解析】集合中，，则，
即的相伴数集中的最小数不是1，因此不是规范数集；
集合，，
，
即的相伴数集中的最小数是1，因此是规范数集.
故选：C
1．称平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为正整数的点为好整点，记为集合包含的好整点的个数．若，则正整数的最小值是（ ）
A．1976 B．1977 C． D．
【答案】B
【解析】一方面：由题意，，使得不等式恒成立，
注意到
，
等号成立当且仅当，即，
所以正整数应该满足，
另一方面：当时，
我们证明：成立，
证明过程如下：
注意到，
所以，
，记，则，，
，
即成立，
综合以上两方面，可知正整数的最小值是1977.
故选：B.
2．（多选题）若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）
A．若，则是3阶聚合点集
B．存在对任意正数，使不是阶聚合点集
C．若，则不是阶聚合点集
D．“”是“是阶聚合点集”的充要条件
【答案】ACD
【解析】对于A，由可得，故是3阶聚合点集，即A正确；
对于B，对任意的点集，总存在，使得是1阶聚合点集，故B错误；
对于C，因，而，故不是阶聚合点集，即C正确；
对于D，因是阶聚合点集等价于，
因，可得，又因，依题意可得，反之也成立，
故“是阶聚合点集”是“”的充要条件，即D正确.
故选：ACD.
3．（多选题）对任意，记，并称为集合A，B的对称差．例如：若，，则．下列命题中，为真命题的是（ ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．存在，使得
【答案】AB
【解析】A选项，且，则，
故，且中元素不能出现在中，故，A正确；
B选项，且，则，
即与是相同的，所以，B正确；
C选项，因为，所以，故，C错误；
D选项，，
其中，，
故，
而，
故，D错误.
故选：AB
4．（多选题）群论，是代数学的分支学科，在抽象代数中．有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一般一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“．”是G上的一个代数运算，如果该运算满足以下条件：
①对所有的a、，有；
②、b、，有；
③，使得，有，e称为单位元；
④，，使，称a与b互为逆元．
则称G关于“·”构成一个群．则下列说法正确的有（ ）
A．关于数的乘法构成群
B．自然数集N关于数的加法构成群
C．实数集R关于数的乘法构成群
D．关于数的加法构成群
【答案】AD
【解析】对于A选项，对所有的、，有，且满足①乘法结合律；
②，使得，有；
③，，有，故A正确；
对于B选项，①自然数满足加法结合律；
②，使得，有；
但是对于，，不存在，使，故B错误；
对于C选项，对所有的、，有，
①实数满足加法结合律； ②，使得，有；
但对于，，不存在，使，故C错误；
对于D选项，对所有的、，可设，，，，，，
则，
①满足加法结合律，即、、，有；
②，使得，有；
③，设，，，，使，故D正确．
故选：AD．
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