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专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 5
05 核心精讲·题型突破 6
题型一：直接利用单调性 6
题型二：引入媒介值 7
题型三：含变量问题 8
题型四：构造函数 9
题型五：数形结合 10
题型六：特殊值法、估算法 11
题型七：放缩法 12
题型八：同构法 13
重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 14
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
指对幂比较大小 掌握指对幂大小比较的方法与技巧 2024年北京卷第9题，5分 2024年天津卷第5题，5分 2022年新高考I卷第7题，5分 2022年天津卷第5题，5分 2022年甲卷第12题，5分 2021年II卷第7题，5分 2021年天津卷第5题，5分 预测2025年高考趋势，指对幂比较大小或以小题压轴，预计： （1）以选择、填空题型呈现，侧重综合推理。 （2）构造灵活函数比较大小将成为考查热点。
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022年新高考天津数学高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2021年天津高考数学试题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
10．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
题型一：直接利用单调性
【典例1-1】设，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数，，的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
利用指对幂函数的单调性判断
【变式1-1】已知，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小（ ）
A． B．
C． D．
1．（2024·江西新余·一模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
2．已知实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．a，b的大小无法判断
题型二：引入媒介值
【典例2-1】（2024·高三·江西·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】三个数，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
【变式2-1】已知，，，比较，，的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型三：含变量问题
【典例3-1】[新考法]若，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例3-2】（2024·高三·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
对变量取特殊值代入或者构造函数
【变式3-1】（多选题）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
1．（多选题）若，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（多选题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
题型四：构造函数
【典例4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。
“形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据“若函数单调递增，则；若函数单调递减，”判断．
“数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数．
【变式4-1】[新考法]设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-2】已知，，，试比较，，的大小（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）.
A． B． C． D．
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
题型五：数形结合
【典例5-1】函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】实数满足，，，则，，的大小为（ ）
A． B．
C． D．
转化为两函数图象交点的横坐标
【变式5-1】[新考法]已知函数.设，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知是函数图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（ ）
①；②；③；④.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
题型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】（2024·高三·四川·期中）已知、是函数图象上不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【典例6-2】已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
估算要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系。
【变式6-1】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】（多选题）已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
题型七：放缩法
【典例7-1】（2024·高三·四川德阳·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保比较结果的准确性。
【变式7-1】（2024·浙江杭州·一模）对，不等式恒成立，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【变式7-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
3．设，,，则下列大小关系正确的是 （ ）
A． B． C． D．
题型八：同构法
【典例8-1】[新考法]已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．无法确定，的大小
【典例8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，大小不确定
同构法比较指对幂大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。
【变式8-1】（2024·高三·江西·期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式8-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
1．若正数，，满足（为自然对数底数），则（ ）
A． B． C． D．
2．已知正数，，满足，则（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法
【典例9-1】[新考法]若，则满足的大小关系式是（ ）
A． B． C． D．
【典例9-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
帕德逼近估算法比较指对幂大小，即通过构造有理函数逼近原函数，利用逼近函数的性质来估计原函数值的大小，从而比较指对幂的大小。关键在于选择合适的逼近阶数，以确保逼近的精度和有效性。
【变式9-1】已知，则（ ）
【变式9-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
，则（ ）
A． B． C． D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 指对幂等函数值大小比较的深度剖析
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 5
05 核心精讲·题型突破 11
题型一：直接利用单调性 11
题型二：引入媒介值 13
题型三：含变量问题 15
题型四：构造函数 18
题型五：数形结合 23
题型六：特殊值法、估算法 27
题型七：放缩法 30
题型八：同构法 35
重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法 40
指、对、幂形数的大小比较问题是高考重点考查的内容之一，也是高考的热点问题，命题形式主要以选择题为主．每年高考题都会出现，难度逐年上升．
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
指对幂比较大小 掌握指对幂大小比较的方法与技巧 2024年北京卷第9题，5分 2024年天津卷第5题，5分 2022年新高考I卷第7题，5分 2022年天津卷第5题，5分 2022年甲卷第12题，5分 2021年II卷第7题，5分 2021年天津卷第5题，5分 预测2025年高考趋势，指对幂比较大小或以小题压轴，预计： （1）以选择、填空题型呈现，侧重综合推理。 （2）构造灵活函数比较大小将成为考查热点。
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如和，利用指数函数的单调性；
②指数相同，底数不同，如和利用幂函数单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如和利用指数函数单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
2．（2024年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为在上递增，且，
所以，
所以，即，
因为在上递增，且，
所以，即，
所以，
故选：D
3．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，
对于选项AB：可得，即，
根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；
对于选项D：例如，则，
可得，即，故D错误；
对于选项C：例如，则，
可得，即，故C错误，
故选：B.
4．（2023年天津高考数学真题）设，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由在R上递增，则，
由在上递增，则.
所以.
故选：D
5．（2022年新高考天津数学高考真题）设，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，故.
故选：D.
6．（2022年高考全国甲卷数学（文）真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】［方法一］：（指对数函数性质）
由可得，而，所以，即，所以.
又，所以，即，
所以.综上，.
［方法二］：【最优解】（构造函数）
由，可得．
根据的形式构造函数 ，则，
令，解得 ，由 知 .
在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 .
故选：A.
【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，属于通性通法；
法二：利用的形式构造函数，根据函数的单调性得出大小关系，简单明了，是该题的最优解．
7．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】[方法一]：构造函数
因为当
故，故，所以；
设，
，所以在单调递增，
故，所以，
所以，所以，故选A
[方法二]：不等式放缩
因为当，
取得：，故
，其中，且
当时，，及
此时，
故 ，故
所以，所以，故选A
[方法三]：泰勒展开
设，则，，
，计算得，故选A.
[方法四]：构造函数
因为，因为当，所以,即，所以；设，，所以在单调递增，则,所以，所以,所以，
故选：A．
[方法五]：【最优解】不等式放缩
因为，因为当，所以,即，所以；因为当，取得，故，所以．
故选：A．
【整体点评】方法4：利用函数的单调性比较大小，是常见思路，难点在于构造合适的函数，属于通性通法；
方法5：利用二倍角公式以及不等式放缩，即可得出大小关系，属于最优解．
8．（2022年新高考全国I卷数学真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】方法一：构造法
设，因为，
当时，，当时，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
所以，所以，故，即，
所以，所以，故，所以，
故，
设，则,
令，，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
又，
所以当时，，
所以当时，，函数单调递增，
所以，即，所以
故选：C.
方法二：比较法
， ， ，
① ，
令
则 ，
故 在 上单调递减，
可得 ，即 ，所以 ；
② ，
令
则 ，
令 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，
所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以
故
9．（2021年天津高考数学试题）设，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，
，，
，，
.
故选：D.
10．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，即.
故选：C.
11．（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，，．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】[方法一]：
，
所以；
下面比较与的大小关系.
记，则，，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以，即，即；
令，则，，
由于，在x>0时，，
所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b综上，，
故选：B.
[方法二]：
令
，即函数在（1，+∞)上单调递减
令
，即函数在（1，3)上单调递增
综上，，
故选：B.
题型一：直接利用单调性
【典例1-1】设，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由函数在上单调递增，可得， .
因函数在R上单调递增，则.故，
即.
故选：A
【典例1-2】（2024·高三·黑龙江鸡西·期中）已知函数，，的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由函数解析式可知三个函数在定义域上均为单调递增函数.
∵，，故，
∵，，故，
，故，
∴.
故选：B.
利用指对幂函数的单调性判断
【变式1-1】已知，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为函数在上单调递增，
所以，
又，所以，又因为函数在上单调递减，
所以，因为，
所以，综上，.
故选：C.
【变式1-2】已知，（为自然对数的底数），比较，，的大小（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由三角函数线可得：不等式，
则，
又函数为增函数，为减函数，
则，
所以，
综上所述：，
故选D．
1．（2024·江西新余·一模）故，，，则a，b，c的大小顺序是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，
所以，
故选：D
2．已知实数a，b满足，则（ ）
A． B． C． D．a，b的大小无法判断
【答案】A
【解析】函数在上单调递增，且，则由，得，
又，所以.
故选：A
题型二：引入媒介值
【典例2-1】（2024·高三·江西·期中）已知，则a，b，c的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，，，则.
故选：A
【典例2-2】三个数，，的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】，，，
所以最大，
因为，所以，
因为，所以，则，所以，
即.
故选：B
寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间量进行大小关系的判定．
【变式2-1】已知，，，比较，，的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】易知，
.
故选：B
【变式2-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，，，，
所以，所以.
故选：A.
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，而，
则，又，
所以.
故选：D
2．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得：，，，
因为，且在定义域内单调递增，
可得，所以．
故选：D.
3．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于，，
所以.
故选：B
题型三：含变量问题
【典例3-1】[新考法]若，，，，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】方法一：因为，所以函数在上单调递增．
因为，所以，即．
同理，由函数在上单调递增，得，即．
因为，所以．
因为，所以在上单调递减，
所以，所以，即，
所以．
方法二：
由，令，，
则，，，．
因为，所以．
故选：B．
【典例3-2】（2024·高三·河北邢台·期中）已知，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以在上均单调递增，
所以，即，
对于，构造函数，
易知时，，即此时函数单调递增，则，
所以，
因为在上单调递增，所以，
综上.
故选：A
对变量取特殊值代入或者构造函数
【变式3-1】（多选题）已知正数满足，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对于A中，因为，可得，又因为，所以，
可得，解得，所以A不正确；
对于B中，由，则，则，
当且仅当，即时，等号成立，因为所以，所以B正确，
对于C中，由函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，则，即，
当且仅当时，等号成立，
因为时，因为，可得，
所以，即，所以C正确；
对于D中，由，所以，可得，所以D正确.
故选：BCD.
【变式3-2】（2024·陕西西安·统考一模）设且，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，
则
因为，所以，则，
因为，所以．
故选：A．
1．（多选题）若，且，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】因为，所以，则，
又由于，所以，，，则，故B正确；
因为，所以，故C正确；
当，，时，可，故A错误；
当，，时，，故D错误.
故选：BC.
2．（多选题）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】A选项中，因为，故在R上单调递减，故，
因为在上单调递增，故，综上，，A正确；
B选项中，由于，而已知，所以B不正确；
C选项中，，
设，则，
设，
则，
所以在上递增，这样，故C正确；
D选项中，取，，则，，
又，故，所以D错误.
故选：AC.
题型四：构造函数
【典例4-1】（2024·陕西咸阳·模拟预测）已知，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，
设，
则，
所以当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以，，
又因为，
所以.
故选：D.
【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）若，，，则，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】构造函数，则，，，
由，令得，令得，
则在上单调递增，在上单调递减．
因为，所以，所以；
因为，所以，所以；
令，且，则，
令，，
则，
所以在上单调递增，
又，所以，所以，
因为，且，所以，所以.
故选：B
构造函数比大小是高考数学的重点题型，它可以从“形”与“数”两个角度入手解题。
“形”的构造：不等式两边的结构相似时，我们可以构建一个函数，通过分析这个函数的单调性，进而根据“若函数单调递增，则；若函数单调递减，”判断．
“数”的构造：观察到待比较式子间数与数的关系后，我们可据此构造函数．
【变式4-1】[新考法]设函数，，在上的零点分别为，则的大小顺序为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，，所以在上单调递增，
又因为，所以存在使得，
所以，
因为，，令，解得，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，
又因为，
又，，所以，所以在上单调递增，
又，，所以存在使得，所以最大，
因为，所以，
，，
又，
.
故选：B．
【变式4-2】已知，，，试比较，，的大小（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设
则当时单调递减，
故
故进而，
设
由于函数和均为定义域内的单调递增函数，
所以为上的单调递增函数，
因此，
故，
故，
因此，
故选：B
1．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在内单调递增，
则，即，
又因为在内单调递增，
则，，可得；
令，则，，
构建，
则，
可知在上递减，则，即；
综上所述：.
故选：C.
2．若，，，则a、b、c满足的大小关系式是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】显然，即，而，
设，求导得在上单调递增，
则，即当时，，因此；
设，求导得，
令，，
则函数，即在上单调递增，，
即函数在上单调递增，于是，则当时，，
从而，而，即有，
所以.
故选：A
3．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以；
因为函数单调递增，，所以，即，则，所以；
构造函数，则，
令，则，
显然在上单调递增，所以，
故在上单调递增，所以，所以在上单调递增，
从而，故有，整理得，
所以，故．
故选：B
题型五：数形结合
【典例5-1】函数，，的零点分别为，，，则，，，的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令，即，
令，即，
令，即，分别作出，，和的图象，
如图所示：
由图象可知：，所以.
故选：.
【典例5-2】实数满足，，，则，，的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设，则，令，，
∴在上单调递增，在上单调递减，
由条件可知，
且，，，故有，
如下图所示，作出函数简图，可知，由，
故选：D
转化为两函数图象交点的横坐标
【变式5-1】[新考法]已知函数.设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意，函数的定义域为，
令，
则，
所以为奇函数，且在单调递增，如图所示，
因为，
所以不妨设，
设点，
则的直线方程为，
如图，因为，
所以两式相加得，
又因为，
所以，
所以，
即.
故选：C.
【变式5-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设，画出的图象，
故为下凸函数，
当时，
所以，．
设，画出图象，
故为上凸函数，当时，
所以，
同一坐标系内画出和的图象，
又在R上单调递减，故，所以．
设，则，在上单调递减，
所以时，
所以，，
所以，同理可得，，
相加得，，
所以．
故选：A
1．若实数a，b，c满足，则下列不等关系中不可能成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由已知得，易知，
设直线l：，作出，，直线l图象，
如图：当时，，，
当时，，，
所以不可能成立，
故选:
2．已知是函数图象上两个不同的点，则下列4个式子中正确的是（ ）
①；②；③；④.
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
【答案】B
【解析】如图所示，设，的中点为，
点在函数的图象上，且轴，则，
由图知点在的左侧，即，故①错误，②正确；
则，即，
即，故③正确，④错误.
故选：B.
题型六：特殊值法、估算法
【典例6-1】（2024·高三·四川·期中）已知、是函数图象上不同的两点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意不妨设，因为是增函数，所以，即．
，
则，即，A正确，B错误；
取，，则，，，C错误．
取，，则，，，D错误．
故选：A.
【典例6-2】已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为，又，故不能确定，
反例为：，，此时，，A错误，
因为，所以，又函数为增函数，
所以，故，B正确，
当时，，C错误，
当时，，D错误.
故选：B.
估算要比较数值的大致范围，从而判断其大小关系。
【变式6-1】设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，得，．
令，，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
所以，则，故排除A，B．
因为，，，
所以，所以，
所以．
故选：D．
【变式6-2】（多选题）已知正数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】由题意可得，
令函数，易知在上单调递增，
由可得，即可得；
对于A，由，可得，故，故A正确；
对于B，分别取，，则故B错误；
对于D，分别取，，，故D错误；
对于C，因为，，则 ，故C正确.
故选：AC．
1．已知，，，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以，
又，所以，
，则，，
所以，所以.
故选：A.
2．已知，，，则下列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由对数函数性质知，由指数函数性质知，
由指数函数性质知，所以．
故选：A．
3．已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ， ，
， ，
， ，
.
故选：D.
题型七：放缩法
【典例7-1】（2024·高三·四川德阳·开学考试）已知，，，比较a，b，c的大小为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，
因为，
所以，即，
所以，且，
所以，
又因为，
所以，
综上，，
故选：D.
【典例7-2】（2024·河南·模拟预测）已知，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由可构造函数，
则，令，解得，
因此可得当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
可知在处取得极小值，也是最小值，所以，
即，故，即
当时，有，所以，可得；
令，
则，
故在上单调递增，
可得，即，
取，则，所以，可得；
综上可得，.
故选：A
放缩法比较指对幂大小，关键在于合理估计与调整。可通过适当放大或缩小数值，转化为更易比较的形式，如利用指数、对数的性质进行放缩，或结合均值不等式等。需注意保持放缩方向的一致性，以确保比较结果的准确性。
【变式7-1】（2024·浙江杭州·一模）对，不等式恒成立，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【解析】由得，
对于选项A、B，若，可令，不等式可化为，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
∴，
当时，，
要使恒成立，则需，即恒成立，
∴，
综上可得，不存在使得不等式恒成立，选项A、B错误.
对于选项C、D，若，
∵
∴，
∴，
要使不等式恒成立，则需，
∵函数在为增函数，
∴函数有相同的零点，
由得，由得，，
∴，即，
∴，
∴，选项D正确.
故选D.
【变式7-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】构造，，
则对恒成立，则在单调递增，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
构造，，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
构造，，
则对恒成立，则在单调递减，
此时，当且仅当时取等，
所以，则；
则，；
下面比较b和c的大小：
设，，，
设，，，
易知在上单调递增，则，
所以在上单调递减，，
即在上恒成立，则在上单调递减，
由，则，即，则，
综上所述，
故选：D.
1．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，，
，
，等号取不到，
，
，
，
，
令，
∵，∴单调递减，且，
，可得
于是 ，
，
故选：A.
2．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因，
故，即；
又，
故，即.
故有即.
故选：A.
3．设，,，则下列大小关系正确的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，
所以在上单调递增，
所以，即，
令，则，
所以在上单调递增，
从而，即，，
所以，，
从而当时，，
，
所以.
故选：B.
题型八：同构法
【典例8-1】[新考法]已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．无法确定，的大小
【答案】C
【解析】令，则，
当时，，，
故恒成立，
故在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理得，
令，则，
由上面的求解可知在上单调递增，
且存在，使得，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，，
故零点，使得，
所以.
故选：C
【典例8-2】（2024·高三·浙江绍兴·期末）已知，则下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，大小不确定
【答案】B
【解析】由可知，，
移项可得，
即，
当时，，此时，即，故A错，B对，
当时，，此时，即，故A错，B对，
当时，，此时，即，故C，D错，
故选：B.
同构法比较指对幂大小，核心在于构造相同结构的函数。通过变形使待比较式具有相同函数形式，利用函数单调性或图像直观比较大小。关键在于准确识别并构造同构函数，简化比较过程。
【变式8-1】（2024·高三·江西·期中）已知，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】A选项，当时，，因为，所以A错误；
C选项，，由，得，
令，则，
，由，得，由，得，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，，当时，，
因为，由，得，即，所以，选项C正确；
B选项，由C知，则，即，所以B错误；
D选项，因为，所以，得，D错误.
故选：C.
【变式8-2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知实数a，b满足，则下列关系式中可能正确的是（ ）
A．，使 B．，使
C．，有 D．，有
【答案】ABC
【解析】由
得，
令，则分别在和上单调递增，
令，则分别在和上单调递增，
当时，的值域为，当时，的值域为，
所以存在，使得；
同理可得，存在，使得，
因此，使，故选项A正确．
令，则方程
可化为，
由换底公式可得，
显然关于b的方程在上有解，所以，使，故选项B正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为，
令，则在上单调递增．
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项C正确．
当时，因为，所以．
又在上单调递增，所以．
因为．
令，则在上单调递增，
因为，所以，
从而，所以．
综上所述，，故选项D错误．
故选：ABC．
1．若正数，，满足（为自然对数底数），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，显然在上单调递增，
又，，为正数，所以，即，所以，
令，则在上单调递增，又，即，所以，
综上可得.
故选：D
2．已知正数，，满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由得，即，所以，
令，，
当时，，在单调递增，
所以，所以，
则有，所以；
由得，即，
所以，
因为，所以，即，故．
故选：A.
3．（多选题）已知，且满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】等式，等号两边同除以，
可得，
所以，
所以，
所以，
构造函数，则，
显然，函数在定义域内是增函数，
所以，即．
而，而，
故，故，故D正确.
故选：AD．
重难点突破：泰勒展开、帕德逼近估算法
【典例9-1】[新考法]若，则满足的大小关系式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由于，所以.
设，
在上单调递增，
所以，所以当时，，
则，即.
设，
，
所以在上单调递增，，
所以在上单调递增，，
所以当时，，即，
所以，
而，所以，所以.
故选：A
【典例9-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近，得，
，，综上，．
故选：B
帕德逼近估算法比较指对幂大小，即通过构造有理函数逼近原函数，利用逼近函数的性质来估计原函数值的大小，从而比较指对幂的大小。关键在于选择合适的逼近阶数，以确保逼近的精度和有效性。
【变式9-1】已知，则（ ）
【答案】A
【解析】设，则，，
，计算得，故选A．
【变式9-2】已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】利用帕德逼近可得，
综上，．
故选：B．
1．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故选
，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，
，
，故选B
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