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专题04 高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特性以解析函数性质问题
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 7
05 核心精讲·题型突破 8
题型一：函数单调性的合应用 8
题型二：函数的奇偶性的综合应用 10
题型三：已知f(x)=奇函数+M 11
题型四：利用轴对称解决函数问题 12
题型五：利用中心对称解决函数问题 14
题型六：奇偶性对称偏移 15
题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 17
题型八：双对称与周期性 18
题型九：双函数与对称性 20
题型十：类周期与倍增函数 21
重难点突破：函数性质与导数 23
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
函数的性质 掌握函数性质，熟练解题应用 2024年新高考I卷第8题，5分 2024年新高考II卷第11题，6分 2023年新高考II卷第4题，5分 2023年新高考I卷第4题，5分 2022年乙卷第12题，5分 2022年新高考II卷第8题，5分 2021年甲卷第12题，5分 2021年新高考II卷第8题，5分 预计2025年高考中，题目将更倾向于以小题（如选择题或填空题）的形式来考察学生，这些小题将可能融合在解答题的解答过程中，作为一个相对独立的考察点。具体来说，可以预见的是： （1）题目将采用选择题或填空题的形式，旨在检验学生的综合逻辑推理和解析能力。 （2）考试的热点将聚焦于函数的单调性、奇偶性以及对称性这三个特性的综合应用和分析。
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则 ．
6．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若是奇函数，则 ， ．
10．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
题型一：函数单调性的合应用
【典例1-1】若函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【典例1-2】已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
函数单调性常与奇偶性、对称性结合，用于求解最值、解不等式、证明数列单调性等。通过导数法或定义法判断单调性，结合图像直观分析，可简化复杂问题，提高解题效率。
【变式1-1】定义域为的函数满足条件：①对任意的，恒有；②；③，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【变式1-2】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
1．已知函数，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
2．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：函数的奇偶性的综合应用
【典例2-1】（2024·河南·模拟预测）已知，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【典例2-2】（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
函数的奇偶性是一个强大的工具，它能帮助我们简化计算，快速求解问题。通过验证函数是否满足奇函数或偶函数的定义，我们可以利用这一性质来预测函数在对称区间上的行为，从而简化求解过程。此外，奇偶性还可以用于求解参数、判断函数图像的对称性、辅助求解最值问题。掌握函数的奇偶性，不仅能使我们的解题过程更加高效，还能培养我们的数学直觉和逻辑推理能力。
【变式2-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1．已知函数，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函数是上的奇函数，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．
3．已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：已知f(x)=奇函数+M
【典例3-1】[新考法]已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为 .
【典例3-2】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
已知奇函数，，则
（1）
（2）
【变式3-1】[新考法]函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【变式3-2】已知函数，若，则 ．
1．设函数的最大值为M，最小值为m，则 .
2．若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ．
3．函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
题型四：利用轴对称解决函数问题
【典例4-1】已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【典例4-2】（2024·辽宁·一模）已知函数为偶函数，且当时，若，则（ ）
A． B．
C． D．
轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找出对称轴。
(1)已知函数满足,则的对称轴为直线.
(2)已知函数满足,则的对称轴为直线.
(3)已知函数满足,则的对称轴为直线.
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，且函数的最小值为1，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【变式4-2】函数满足：对，都有，则a+b为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
1．已知函数，且满足，则（ ）.
A． B． C． D．
2．已知函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为
A．(0，2) B．[0，1) C．(﹣∞，1] D．(0，1]
3．已知 是方程的根， 是方程的根，则的值为（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．1009
题型五：利用中心对称解决函数问题
【典例5-1】（2024·广东广州·一模）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【典例5-2】[新考法]已知：定义在上的可导函数的图象关于点对称的充要条件是导函数的图象关于直线对称.任给实数，满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均值）来确定对称中心的位置。
（1）已知函数满足，则的对称点为点（0，0）．
（2）已知函数满足，则的对称点为点（a，0）．
（3）已知函数满足，则的对称点为点（a，b）．
（4）已知函数满足，则的对称点为点．
【变式5-1】（2024·四川宜宾·一模）已知函数满足，若函数与 图象的交点为，则
A． B． C． D．
【变式5-2】（2024·高三·山西·期中）已知函数，其中为函数的导数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-3】（2024·宁夏石嘴山·一模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
1．设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（ ）
A． B．4031 C． D．8062
2．已知函数，则（ ）
A．4025 B．-4025 C．8050 D．-8050
3．若函数的图象关于原点对称，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
题型六：奇偶性对称偏移
【典例6-1】（2024·高三·浙江·期中）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【典例6-2】已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数．设，则（ ）
A． B． C． D．
（1）若为奇函数，则．
（2）若为奇函数，则．
（3）若为偶函数，则．
（4）若为偶函数，则．
【变式6-1】已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【变式6-3】（多选题）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点中心对称 D．
1．设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则( )
A． B． C． D．
2．奇函数的定义域为R，若 为偶函数，且，则（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
3．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典例7-1】若，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C． D．0
【典例7-2】已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．1 B． C．2024 D．
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性解题技巧关键在于：首先，通过代入特殊值或利用已知条件判断函数的性质；其次，对于单调性，可利用导数或定义法判断；奇偶性则通过观察函数表达式或图像来判断；周期性需找出函数重复出现的规律；对称性则需找出函数图像的对称轴或对称中心。最后，结合这些性质，可以简化函数表达式，求解最值、解不等式或证明等式等问题，提高解题效率和准确性。
【变式7-1】已知函数满足，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【变式7-2】（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
1．（多选题）若定义在R上且不恒为零的函数满足：对于，总有恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．，则周期为6
2．（多选题）已知函数满足：，，则（ ）
A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．
3．（多选题）已知定义在上的函数满足，，且对任意，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为4的奇函数 B．图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．
4．（多选题）若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心 B．点是图象的一个对称中心
C．是周期函数 D．
题型八：双对称与周期性
【典例8-1】设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．2025
【典例8-2】已知函数对称轴为，且，则（ ）
A． B． C． D．
（1）已知函数关于直线和直线对称，则的周期为．
（2）已知函数关于点（a，0）和点（b，0）对称，则的周期为．
（3）已知函数关于点（a，0）和直线对称，则的周期为．
【变式8-1】若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023 B． C．4048 D．
【变式8-2】（2024·贵州黔西·一模）已知函数的定义域为R，，为奇函数，且，则（ ）
A．4047 B．2 C． D．3
1．已知及其导函数的定义域为，为偶函数，的图象关于点对称，则（ ）
A． B． C． D．
2．[新考法]已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ）
A． B． C． D．
3．（多选题）已知定义在上的函数分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数为周期函数
B．
C．的图像关于点中心对称
D．
4．[新考法]（多选题）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A． B．
C．的图象关于点对称 D．若，则
题型九：双函数与对称性
【典例9-1】已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例9-2】函数是定义在上的奇函数，已知当时，图像与的图像关于直线对称，且，则（ ）
A． B． C． D．
（1）函数和函数关于轴对称．
（2）函数和函数关于轴对称．
（3）函数和函数关于对称．
（4）函数和函数关于对称．
【变式9-1】（2024·上海黄浦·三模）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，且，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【变式9-2】[新考法]已知函数为常数，在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点(，0)对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点(，0)对称
1．已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不一定正确的有（ ）
A．关于对称 B．关于点对称
C．是的一个周期 D．
2．已知函数与关于直线对称，则 ．
3．[新考法]已知函数，若函数和的图象关于点对称，且对任意，恒成立，则 ．
题型十：类周期与倍增函数
【典例10-1】[新考法]对于函数，有下列四个命题
①任取，，都有；
②（为正整数），对一切恒成立；
③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则；
④函数有5个零点
上述四个命题中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例10-2】设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
1、类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
2、倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
【变式10-1】已知函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．（）
C．在区间内的最大值为4
D．若函数有三个零点，则实数
【变式10-2】函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
1．设函数的定义域为，满足，且当时，．则下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若对任意，都有，则a的取值范围是；
③若方程恰有3个实数根，则m的取值范围是．
A．0 B．1 C．2 D．3
2．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
重难点突破：函数性质与导数
【典例11-1】已知可导函数 的定义域为， 为奇函数，设 是 的导函数， 若 为奇函数，且 ，则（ ）
A．-1012 B．-506
C．506 D．1012
【典例11-2】[新考法]（多选题）已知函数，均是上的连续函数，，分别为函数和的导函数，且，，若为奇函数，则（ ）
A．是周期函数 B．为奇函数
C．关于对称 D．存在，使
（1）若函数关于直线对称，则导函数关于点（a，0）对称．
（2）若函数关于点（a，b）对称，则导函数关于直线对称．
（3）若函数为奇函数，则导函数为偶函数；若函数为偶函数，则导函数为奇函数．
（4）若导函数为奇函数，则函数为偶函数；若导函数为偶函数，则函数不一定为奇函数．
（5）若原函数为周期函数，则导函数一定为周期函数，且原函数和导函数周期相同．
（6）若导函数为周期函数，则原函数不一定为周期函数．
【变式11-1】已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（　 ）
A． B．
C． D．
【变式11-2】已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
1．（多选题）已知定义域为的函数满足，为的导函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．
C．
D．对，，
2．（多选题）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．关于点对称 B．
C． D．
3．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．的周期为4 D．
4．（多选题）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．
D．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 高级应用函数的周期性、单调性、奇偶性及对称性特性以解析函数性质问题
目录
01考情透视·目标导航 2
02知识导图·思维引航 3
03 知识梳理·方法技巧 4
04 真题研析·精准预测 7
05 核心精讲·题型突破 17
题型一：函数单调性的合应用 17
题型二：函数的奇偶性的综合应用 22
题型三：已知f(x)=奇函数+M 26
题型四：利用轴对称解决函数问题 29
题型五：利用中心对称解决函数问题 33
题型六：奇偶性对称偏移 38
题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性 42
题型八：双对称与周期性 47
题型九：双函数与对称性 52
题型十：类周期与倍增函数 56
重难点突破：函数性质与导数 64
从近五年的高考情况来看，本节是高考的一个重点，函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图像、函数零点和不等式相结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想．
考点要求 目标要求 考题统计 考情分析
函数的性质 掌握函数性质，熟练解题应用 2024年新高考I卷第8题，5分 2024年新高考II卷第11题，6分 2023年新高考II卷第4题，5分 2023年新高考I卷第4题，5分 2022年乙卷第12题，5分 2022年新高考II卷第8题，5分 2021年甲卷第12题，5分 2021年新高考II卷第8题，5分 预计2025年高考中，题目将更倾向于以小题（如选择题或填空题）的形式来考察学生，这些小题将可能融合在解答题的解答过程中，作为一个相对独立的考察点。具体来说，可以预见的是： （1）题目将采用选择题或填空题的形式，旨在检验学生的综合逻辑推理和解析能力。 （2）考试的热点将聚焦于函数的单调性、奇偶性以及对称性这三个特性的综合应用和分析。
1、单调性技巧
（1）证明函数单调性的步骤
①取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；
②变形：作差变形（变形方法：因式分解、配方、有理化等）或作商变形；
③定号：判断差的正负或商与的大小关系；
④得出结论．
（2）函数单调性的判断方法
①定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值—变形—判断符号—下结论”进行判断．
②图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性．
③直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接写出它们的单调区间．
（3）记住几条常用的结论：
①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；
②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数；
③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；
④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数．
2、奇偶性技巧
（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．
（2）奇偶函数的图象特征．
函数是偶函数函数的图象关于轴对称；
函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．
（3）若奇函数在处有意义，则有；
偶函数必满足．
（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．
（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．
（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．
对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；
奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．
（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．
（8）常见奇偶性函数模型
奇函数：①函数或函数．
②函数．
③函数或函数
④函数或函数．
注意：关于①式，可以写成函数或函数．
偶函数：①函数．
②函数．
③函数类型的一切函数．
④常数函数
3、周期性技巧
4、函数的的对称性与周期性的关系
（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；
（2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且；
（3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且．
5、对称性技巧
（1）若函数关于直线对称，则．
（2）若函数关于点对称，则．
（3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称．
1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为R，，且当时，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为当时，所以，
又因为，
则，
，
，
，
，则依次下去可知，则B正确；
且无证据表明ACD一定正确.
故选：B.
2．（多选题）（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设函数，则（ ）
A．当时，有三个零点
B．当时，是的极大值点
C．存在a，b，使得为曲线的对称轴
D．存在a，使得点为曲线的对称中心
【答案】AD
【解析】A选项，，由于，
故时，故在上单调递增，
时，，单调递减，
则在处取到极大值，在处取到极小值，
由，，则，
根据零点存在定理在上有一个零点，
又，，则，
则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确；
B选项，，时，，单调递减，
时，单调递增，
此时在处取到极小值，B选项错误；
C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，
即存在这样的使得，
即，
根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为，
于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的，使得为的对称中心，
则，事实上，
，
于是
即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
，，，
由，于是该三次函数的对称中心为，
由题意也是对称中心，故，
即存在使得是的对称中心，D选项正确.
故选：AD
3．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
4．（多选题）（2023年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
【答案】ABC
【解析】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，
显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）若为偶函数，则 ．
【答案】2
【解析】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
6．（2022年新高考全国II卷数学真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】A
【解析】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
7．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
8．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
9．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）若是奇函数，则 ， ．
【答案】 ； ．
【解析】[方法一]：奇函数定义域的对称性
若，则的定义域为，不关于原点对称
若奇函数的有意义，则且
且，
函数为奇函数，定义域关于原点对称，
，解得，
由得，，
，
故答案为：；．
[方法二]：函数的奇偶性求参
函数为奇函数
[方法三]：
因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．
由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．
故答案为：；．
10．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
11．（2021年全国新高考II卷数学试题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
12．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得：，
而，
故.
故选：C.
题型一：函数单调性的合应用
【典例1-1】若函数在区间内不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，所以函数为偶函数.
由二次函数知识知函数在上递减，在上递增.
所以由是偶函数，可知在和上递减，在和上递增.
①当时，在上递减，不满足条件；
②当时，在上递增，不满足条件；
③当时，在上递减，在上递增，所以在上不单调，满足条件；
④当时，在上递增，在上递减，所以在上不单调，满足条件；
⑤当时，在上递减，在上递增，所以在上不单调，满足条件.
综上，实数的取值范围为．
故选：A.
【典例1-2】已知函数是上的偶函数，对任意，且都有成立．若，，，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据题意，函数是上的偶函数，则函数的图象关于直线对称，
又由对任意，且，都有成立，则函数在上为增函数，
又，，，
又，所以，由函数的图象关于直线对称，知，
又，所以，故，
故选：A．
函数单调性常与奇偶性、对称性结合，用于求解最值、解不等式、证明数列单调性等。通过导数法或定义法判断单调性，结合图像直观分析，可简化复杂问题，提高解题效率。
【变式1-1】定义域为的函数满足条件：①对任意的，恒有；②；③，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为，恒有，
所以在上恒成立，即在上单调递增，
因为，所以，即是定义在上的偶函数，
所以函数在上单调递减，又，所以，
对于不等式，
当时，，可得；
当时，，可得；
综上，不等式的解集是.
故选：A
【变式1-2】已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】当时，恒成立，
当时，，即，
函数在上为增函数，
函数是偶函数，即，
函数的图象关于直线对称，，
又函数在上为增函数，，
即，.
故选：B.
1．已知函数，若，且，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由于为偶函数，图象关于轴对称，且在单调递增，在单调递减，
将的图象向右平移一个单位可得，
故图象关于对称，且在单调递增，在单调递减，
由于,故，
又得，由于，
综上可得
故选：D
2．设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设，易知函数是增函数，
因为在区间上单调递减，
所以由复合函数单调性可知，在上单调递减.
因为函数在上单调递减，
所以，即.
故选：D.
3．已知，是定义域为R的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意可得，
因为是奇函数，是偶函数，
所以，
联立，解得，
又因为对于任意的，都有成立，
所以，
所以成立，
构造，
所以由上述过程可得在单调递增，
（1）若，则对称轴，解得；
（2）若，则在单调递增，满足题意；
（3）若，则对称轴恒成立；
综上，.
故选：D.
题型二：函数的奇偶性的综合应用
【典例2-1】（2024·河南·模拟预测）已知，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得：，的定义域为；
，为定义在上的偶函数，
，，
当时，，即，又，，
，在上单调递增，又为偶函数，
图象关于轴对称，在上单调递减，
由得：，解得：，
的解集为.
故选：D.
【典例2-2】（2024·陕西商洛·一模）已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，则，故是奇函数．
不等式等价于不等式
即不等式
因为是奇函数，所以
易证是上的减函数，则，即，解得．
故选：B.
函数的奇偶性是一个强大的工具，它能帮助我们简化计算，快速求解问题。通过验证函数是否满足奇函数或偶函数的定义，我们可以利用这一性质来预测函数在对称区间上的行为，从而简化求解过程。此外，奇偶性还可以用于求解参数、判断函数图像的对称性、辅助求解最值问题。掌握函数的奇偶性，不仅能使我们的解题过程更加高效，还能培养我们的数学直觉和逻辑推理能力。
【变式2-1】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，
所以在上是减函数，
，即，
所以，
所以，
所以，即实数a的取值范围为.
故选：.
【变式2-2】（2024·海南海口·模拟预测）已知定义在上的函数，若，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】记，则，
故为的奇函数，
又，
因此为上的单调递增函数，
因为，
由可得，进而，
故，解得，
故选：D
1．已知函数，若，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】令，易知其定义域为R，
，
所以为奇函数，且在上、、均递增，
所以在上单调递增，且函数在R上连续，故在定义域上递增，
由，
所以，显然该式在上恒成立，
所以.
故选：D
2．已知函数是上的奇函数，则（ ）
A．2 B．-2 C． D．
【答案】B
【解析】
，
是上的奇函数，
又为奇函数，则分母上的函数需为偶函数，
，.
故选：.
3．已知为定义在R上的偶函数，则函数的解析式可以为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为是定义在R上的偶函数，所以，即，
所以是定义在R上的偶函数.
对于选项A，因为，所以函数定义域为，所以不满足题意；
对于选项B，函数定义域为R，
，是奇函数，不符合题意；
对于选项C，函数定义域为R，
当时，，，
当时，，，
且，所以为偶函数，符合题意；
对于选项D，函数定义域为R，
，为奇函数，不符合题意；
故选：C.
题型三：已知f(x)=奇函数+M
【典例3-1】[新考法]已知函数，当时，记函数的最大值为，则的最小值为 .
【答案】/
【解析】根据题意，，是偶函数，
当时，，
由二次函数的性质，在上的最大值为或，
由偶函数对称性，在上的最大值为或，
，则，
即.
，即的最小值为.
故答案为：.
【典例3-2】已知函数在区间上的最大值为，最小值为，则 ．
【答案】6
【解析】设，
则的定义域为，且连续不断，
由，可知为奇函数，
设在上的最大值为，
由奇函数的对称性可知在上的最小值为，
则函数在区间上的最大值为，最小值为，
所以.
故答案为：6.
已知奇函数，，则
（1）
（2）
【变式3-1】[新考法]函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】1
【解析】，
设，则，
记，
因为，
所以是在上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
又因为，
所以，
故答案为：1．
【变式3-2】已知函数，若，则 ．
【答案】
【解析】由，则，
又，故．
故答案为：
1．设函数的最大值为M，最小值为m，则 .
【答案】4046
【解析】，
设，定义域关于原点对称，
由，知函数为奇函数，
因为，，
所以.
故答案为：4046.
2．若关于x的函数的最大值和最小值之和为4，则 ．
【答案】2
【解析】当时，，当或时，，
所以的定义域为.
又，
设，则，∴ g(x) 为奇函数；设 g(x) 的最大数值为M，最小值为N，
则，则的最大数值为，最小值为，
∴的最大值与最小值之和为，得．
故答案为：2．
3．函数的最大值为，最小值为，若，则 ．
【答案】
【解析】因为，
设，
则，
设，
则，
所以是上的奇函数，最大值为，最小值为，
所以，
由，得，
故答案为：
题型四：利用轴对称解决函数问题
【典例4-1】已知偶函数的定义域为，对任意的满足，且在区间上单调递减，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以关于对称，
又因为为偶函数，
所以，
所以为周期函数，，
因为，且，
所以，，
因为，
所以
又因为，
所以，
因为在上单调递减，为偶函数，
所以在上单调递增，
所以，
所以，
故选：D.
【典例4-2】（2024·辽宁·一模）已知函数为偶函数，且当时，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为函数为偶函数，故其图象关于y轴对称，则的图象关于直线对称，
当时，，因为在上单调递增且，
而在上单调递减，故在上单调递减，
则在上单调递增，
故由可得，即，
则，故，
故选：A
轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找出对称轴。
(1)已知函数满足,则的对称轴为直线.
(2)已知函数满足,则的对称轴为直线.
(3)已知函数满足,则的对称轴为直线.
【变式4-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，且函数的最小值为1，则不等式的解集为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】因为函数的图象关于直线对称，
所以，即恒成立，
即恒成立，
即恒成立，
所以，即，
所以，
又因为函数有最小值为1，
所以且，即，
所以，即，
所以，所以不等式，
即，即，
解得或，
故选：D．
【变式4-2】函数满足：对，都有，则a+b为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】因为函数满足：对，都有，
所以，即，解得，
经检验满足题意，所以，
故选：C.
1．已知函数，且满足，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，所以的图象关于对称，
而关于对称，
所以，.
故选：B.
2．已知函数的图象关于直线对称，则函数的单调递增区间为
A．(0，2) B．[0，1) C．(﹣∞，1] D．(0，1]
【答案】D
【解析】函数f(x)=lnx+ln(a﹣x)的图象关于直线x=1对称 f(2﹣x)=f(x),可求得a=2,利用复合函数的单调性解求得答案.∵函数f(x)=lnx+ln(a﹣x)的图象关于直线x=1对称,
∴f(2﹣x)=f(x),即ln(2﹣x)+ln[a﹣(2﹣x)]=lnx+ln(a﹣x),
即ln(x+a﹣2)+ln(2﹣x)=lnx+ln(a﹣x),
∴a=2.
∴f(x)=lnx+ln(2﹣x)=lnx(2﹣x),.
由于y=x(2﹣x)=﹣(x﹣1)2+1为开口向下的抛物线,其对称轴为x=1,定义域为(0,2),
∴它的递增区间为(0,1],
由复合函数的单调性知,
f(x)=lnx+ln(2﹣x)的单调递增区间为(0,1],
故选：D.
3．已知 是方程的根， 是方程的根，则的值为（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．1009
【答案】C
【解析】由题意，是和的图像的交点，
是和的图像的交点，
又和的图像关于直线对称，且和垂直且交于，
所以和关于对称，故.
故选：C.
题型五：利用中心对称解决函数问题
【典例5-1】（2024·广东广州·一模）已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由诱导公式可得，
， ，
．
故选：B.
【典例5-2】[新考法]已知：定义在上的可导函数的图象关于点对称的充要条件是导函数的图象关于直线对称.任给实数，满足，，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设函数，则，其图像关于对称，故原函数的图像关于点对称，且，故对称点的坐标为．
又由已知可得，，则，
又当时，知在上恒单调递增．
故点与点关于点对称．所以即．
故选：B．
点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均值）来确定对称中心的位置。
（1）已知函数满足，则的对称点为点（0，0）．
（2）已知函数满足，则的对称点为点（a，0）．
（3）已知函数满足，则的对称点为点（a，b）．
（4）已知函数满足，则的对称点为点．
【变式5-1】（2024·四川宜宾·一模）已知函数满足，若函数与 图象的交点为，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵，），
∴的图象关于直线 对称，、
又的图象关于直线对称，
当为偶数时，两图象的交点两两关于直线对称，
∴．
当为奇数时，两图象的交点有个两两对称，另一个交点在对称轴上，
∴
故选B．
【变式5-2】（2024·高三·山西·期中）已知函数，其中为函数的导数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】将函数解析式变形为，求得，进而可求得所求代数式的值.，
所以，，
，函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，
因此，.
故选：B.
【变式5-3】（2024·宁夏石嘴山·一模）设函数的定义域为D，若对任意的，且，恒有，则称函数具有对称性，其中点为函数的对称中心，研究函数的对称中心，求（ ）
A．2022 B．4043 C．4044 D．8086
【答案】C
【解析】令函数，则，
所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，
可得的图象关于点中心对称，
即当，可得，
设
，
所以
所以.
故选：C.
1．设函数的定义域为，若对于任意、，当时，恒有，则称点为函数图象的对称中心．研究函数的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到的值为（ ）
A． B．4031 C． D．8062
【答案】C
【解析】∵，
∴当时，，
∴根据对称中心的定义，可得当时，恒有，
∴
．
故选：C．
2．已知函数，则（ ）
A．4025 B．-4025 C．8050 D．-8050
【答案】D
【解析】应用倒序相加法求和．∵
，
记，
则，
∴，．
故选：D.
3．若函数的图象关于原点对称，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知，函数的图象关于原点对称，则其为奇函数，
因为为奇函数，则为偶函数，
故，即，则.
因为恒成立，则，
解得.
故选：B
题型六：奇偶性对称偏移
【典例6-1】（2024·高三·浙江·期中）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为函数为偶函数，则，
令可得，所以，，
因为函数为奇函数，则，
所以，函数的图象关于直线对称，关于点对称，
又因为函数的定义域为，则，则，
、、的值都不确定.
故选：D.
【典例6-2】已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数．设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】为偶函数，，图象关于直线对称，
；
为奇函数，，图象关于点对称；
.
故选：A.
（1）若为奇函数，则．
（2）若为奇函数，则．
（3）若为偶函数，则．
（4）若为偶函数，则．
【变式6-1】已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为是定义域为的奇函数，
所以，所以函数关于点对称，且
因为是定义域为的偶函数，
所以，所以函数关于直线对称，
所以，即.
故选：A
【变式6-2】已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且当时，，则（ ）
A．2 B． C． D．1
【答案】B
【解析】因为是定义在上的奇函数，故可得，
又为偶函数，所以有：，
所以，有，即
所以，故以为周期，
故．
因为当时，，
所以.
故选：B
【变式6-3】（多选题）已知是定义在上的奇函数，为偶函数，且，则（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．的图象关于点中心对称 D．
【答案】BCD
【解析】由是定义在上的奇函数可知，且；
又为偶函数，可得，
令，所以，即A错误；
由可知的图象关于直线对称，即B正确；
易知关于成中心对称，又关于直线对称，
所以的图象关于点中心对称，即C正确；
显然，即；
所以，即，所以，
可得是以8为周期的周期函数，
即，即D正确.
故选：BCD
1．设是定义域的奇函数，是偶函数，且当，.若，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是定义域的奇函数，所以，，
因为当，，所以，从而，
因为是偶函数，即的图像关于轴对称，
因为图像是图像向左平移一个单位得到的，
所以的图像关于对称，故，
因为，所以，
因为，，
所以.
故选：B.
2．奇函数的定义域为R，若 为偶函数，且，则（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1
【答案】B
【解析】由题意，奇函数的定义域为R，若为偶函数，
则，即，
则，即是周期为4的周期函数，
，，
则，
故选：B．
3．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】函数为奇函数，则，可得
函数为偶函数，则，可得，
所以，即，即，
即，即
故函数是以8为周期的函数，
由，令，得，知
由，令，得，故A正确；
其它选项，根据题目中的条件无法确定函数值的结果，故BCD不一定成立.
故选：A
题型七：抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性
【典例7-1】若，且，则（ ）
A．-2 B．-1 C． D．0
【答案】A
【解析】令，，得，得，
令，，
又，故，即，
故得到周期，
令，，即，故是偶函数，
又，，所以得到图象关于对称，
所以，，，，
所以.
故选：A
【典例7-2】已知函数的定义域为，，且，则（ ）
A．1 B． C．2024 D．
【答案】B
【解析】令，，则，因为，所以，
令，则，
则，
则，所以以6为周期，
令，得，所以，
则．
故选：B．
抽象函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性解题技巧关键在于：首先，通过代入特殊值或利用已知条件判断函数的性质；其次，对于单调性，可利用导数或定义法判断；奇偶性则通过观察函数表达式或图像来判断；周期性需找出函数重复出现的规律；对称性则需找出函数图像的对称轴或对称中心。最后，结合这些性质，可以简化函数表达式，求解最值、解不等式或证明等式等问题，提高解题效率和准确性。
【变式7-1】已知函数满足，，，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【解析】由题，，，
令，可得，
则，
即，即，
所以，函数是周期为12的周期函数，
则.
故选：C.
【变式7-2】（2024·安徽·模拟预测）若定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．0 B．-1 C．2 D．1
【答案】D
【解析】令，则有，
又，∴.令，.
则有，∴.
令，则有.
∵，∴，∴，
∴
.
故选：D.
1．（多选题）若定义在R上且不恒为零的函数满足：对于，总有恒成立，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．是偶函数 D．，则周期为6
【答案】ACD
【解析】令，得，所以
且函数不恒为零,∴，A选项正确，B选项错误；
令，，
即.
∴对任意的实数总成立，
∴为偶函数，C选项正确；
若，令，得，
所以，
两式相加得
所以，即得
所以，可得函数周期为6.
故选：ACD.
2．（多选题）已知函数满足：，，则（ ）
A． B．为奇函数 C．为周期函数 D．
【答案】ACD
【解析】取，代入，
得，解得，故A正确，B错误；
令，则，即，
故，
所以是周期为6的周期函数，故C正确；
又，，所以，故D正确．
故选：ACD
3．（多选题）已知定义在上的函数满足，，且对任意，都有，则下列结论正确的是（ ）
A．是周期为4的奇函数 B．图象关于直线对称
C．在区间上单调递增 D．
【答案】ABD
【解析】任意，有，
令，则，解得，
任意，令，则，
即，所以是奇函数，则的图象关于原点对称；
又，则函数的图象关于直线对称；
又，则，
所以函数为周期函数，4为函数的一个周期，
故A正确，B正确；
C项，对任意，都有，
故在单调递增，又图象关于原点对称，
则在单调递增，又的图象关于直线对称，
则在单调递减，故C错误；
D项，由的周期为4，且的图象关于直线对称，
则，故D正确：
故选：ABD.
4．（多选题）若定义在上的函数满足：对任意都有且，则下列结论一定正确的是（ ）
A．点是图象的一个对称中心 B．点是图象的一个对称中心
C．是周期函数 D．
【答案】ABD
【解析】令，则，有，
令，则，得，
又，所以点是图象的一个对称中心，故A正确；
令，则，
令，则，又，
所以点是图象的一个对称中心，故B正确；
设，符合题意，但不是周期函数，故C错误；
令，有，则，
令，有，，
所以时是3为首项1为公差的等差数列，
这样，故D正确.
故选：ABD
题型八：双对称与周期性
【典例8-1】设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（ ）
A．0 B．2 C．4 D．2025
【答案】B
【解析】在上的函数的图象关于对称，则，
由为奇函数，得，于是，
，因此函数是以4为周期的周期函数，
由，得，由，得，
而，则，所以.
故选：B
【典例8-2】已知函数对称轴为，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，
所以当时，，即，
又函数对称轴为，所以，
令，则，解得，
故选：D
（1）已知函数关于直线和直线对称，则的周期为．
（2）已知函数关于点（a，0）和点（b，0）对称，则的周期为．
（3）已知函数关于点（a，0）和直线对称，则的周期为．
【变式8-1】若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023 B． C．4048 D．
【答案】C
【解析】由是偶函数知，的图象关于直线对称，①,
又的图象关于中心对称，所以②,
则③,
由①②③可得，,故函数的周期为4，
则，，，则，
则．
故选：C
【变式8-2】（2024·贵州黔西·一模）已知函数的定义域为R，，为奇函数，且，则（ ）
A．4047 B．2 C． D．3
【答案】C
【解析】由函数为奇函数，可得关于点对称，且，
所以，即，
又因为，可得，
即，则，所以，
所以函数是周期为的周期函数，
因为，，可得，，
所以.
故选：C.
1．已知及其导函数的定义域为，为偶函数，的图象关于点对称，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由为偶函数，得，则．
两边取导数，得①．
由的图象关于点对称，得②．
①②，得，所以，
则数列中所有奇数项是公差为2的等差数列，所有偶数项是公差为2的等差数列．
在中，令，得．
在中，令，得．
在中，令，得，
所以，
所以数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以，
则．
故选：D．
2．[新考法]已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，是奇函数，则下列选项中值一定为0的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】的图象关于直线对称，则.
即，令，则，
则也关于对称.
是奇函数，则，，
令，则，则也关于对称.且令，得.
由前面知道，且令，则.
且，令，则，
故周期为4.则.，，都不确定是否为0．
故选：B.
3．（多选题）已知定义在上的函数分别满足：为偶函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．函数为周期函数
B．
C．的图像关于点中心对称
D．
【答案】ACD
【解析】对于A，由可得，即的周期为2，A正确.
对于B，因为为偶函数，令可得无法确定，B错误，
对于C，因为为偶函数，所以，
可得，
因此关于点中心对称，即C正确；
对于D，，，
累加可得，所以，即D正确.
故选：ACD
4．[新考法]（多选题）已知定义在上的函数满足，且是奇函数，则（ ）
A． B．
C．的图象关于点对称 D．若，则
【答案】ACD
【解析】对于A，，
，，
，即是周期的周期函数，
，A正确；
对于C，为奇函数，，
即，关于点中心对称，C正确；
对于B，，令，则，
，又，，B错误；
对于D，且关于点中心对称，，
，，
又，，图象关于轴对称，
又关于点中心对称，的图象关于轴对称；
当时，，，，，
，
，
，D正确.
故选：ACD.
题型九：双函数与对称性
【典例9-1】已知函数，则下列函数的图象关于直线对称的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为函数的定义域为，且，故函数为偶函数，图象关于轴对称，
函数的图象为函数的图象向右平移1个单位长度得到，故函数的图象关于直线对称，
而函数的图象为函数的图象向左平移1个单位长度得到，故函数的图象关于直线对称，则可排除B,D选项；
又函数的图象关于直线对称，因此函数的图象关于直线对称.
而又函数的图象关于点对称，故排除A选项.
故选：C.
【典例9-2】函数是定义在上的奇函数，已知当时，图像与的图像关于直线对称，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为与函数图像关于对称，所以即点在上，
则在上，所以当时，，因为是奇函数，
所以，所以，所以.
故选：.
（1）函数和函数关于轴对称．
（2）函数和函数关于轴对称．
（3）函数和函数关于对称．
（4）函数和函数关于对称．
【变式9-1】（2024·上海黄浦·三模）若函数的图像与函数的图像关于直线对称，且，则实数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为函数的图像与函数的图像关于直线对称，
所以，
因为，
所以，
所以a=-1.
故选B
【变式9-2】[新考法]已知函数为常数，在处取得最小值，则函数是（ ）
A．偶函数且它的图象关于点(，0)对称 B．偶函数且它的图象关于点对称
C．奇函数且它的图象关于点对称 D．奇函数且它的图象关于点(，0)对称
【答案】D
【解析】，.
∵在处取得最小值，∴，∴ ，
∴ ，
∴是奇函数，且图象关于点对称.
故选：D.
1．已知函数与的定义域均为，且它们的图象关于对称，若奇函数满足，下列关于函数的性质说法不一定正确的有（ ）
A．关于对称 B．关于点对称
C．是的一个周期 D．
【答案】B
【解析】对于A，令是函数的图象上任意一点，则在的图象上，
即，则，由为奇函数，得，
则有，函数的图象关于点对称，
又，则，函数的图象关于对称，A正确；
对于C，，即，
则，的周期，C正确；
对于D，，则，D正确；
对于B，由，得，函数的图象关于对称，
若图象关于点对称，则，即，
而没有条件确保恒成立，B错误.
故选：B
2．已知函数与关于直线对称，则 ．
【答案】
【解析】在函数上任取一点，
则点关于直线的对称点为，
由题意可知，点在函数图象上，
则，
所以，，解得.
故答案为：.
3．[新考法]已知函数，若函数和的图象关于点对称，且对任意，恒成立，则 ．
【答案】
【解析】由题意知，
又恒成立，
所以函数的图象关于直线对称，
所以，即，解得．
故答案为：
题型十：类周期与倍增函数
【典例10-1】[新考法]对于函数，有下列四个命题
①任取，，都有；
②（为正整数），对一切恒成立；
③若关于的方程有且只有两个不同的实根，，则；
④函数有5个零点
上述四个命题中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，函数的图象如图所示，由图可知，，
任取，，都有，
故①正确；
对于②，当时，，而由解析式可知，
故②不正确；
对于③，函数与函数的图象如图所示，
若关于的方程有且只有两个不同的实根，，
则，由对称性可知，故③正确；
对于④，函数和的图象如图所示，
由图可知两函数图象有个交点，所以函数有个零点，
故④不正确；
所以四个命题中正确的个数为.
故选：B.
【典例10-2】设函数的定义域为，满足，且当时，，若对任意，都有，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】当时，，
则，
即当时，，
同理当时，；
当时，.
以此类推，当时，都有.
函数和函数在上的图象如下图所示：
由图可知，，，解得，
即对任意，都有，即的取值范围是.
故选：D.
1、类周期函数
若满足：或，则横坐标每增加个单位，则函数值扩大倍．此函数称为周期为的类周期函数．
2、倍增函数
若函数满足或，则横坐标每扩大倍，则函数值扩大倍．此函数称为倍增函数．
【变式10-1】已知函数的定义域为，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，
B．（）
C．在区间内的最大值为4
D．若函数有三个零点，则实数
【答案】B
【解析】令，则是上的奇函数，
所以，即，
所以，①
令，则是上的偶函数，
所以，即，
所以，②
由①②得，
对于A项，当时，，，
所以，故A项错误；
对于B项，当时，，则，
由A项知，当时，，
同理可得：当时，，……
作出函数的部分图象，如图所示，
因为，所以为奇数，设，，
由图可知，，，，，……
所以，即，，故B项正确；
对于C项，当时，，
所以在区间的最大值为6，故C项错误；
对于D项，因为有三个零点，
所以的图象与有三个交点，
又因为直线恒过定点，
所以当直线与（）相切时，的图象与有三个交点，
设切点为（），则，
所以切线方程为，
代入得，，
整理得：，解得：，
此时，故D项错误.
故选：B.
【变式10-2】函数的定义域为，满足，且时，，若，恒有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，且时，，
所以当时，，则，
当时，，则，
当时，，则，
所以当时，，解得或，
作出函数的大致图象，如图所示，
由图可知，，恒有，必有，
即的取值范围是，
故选：B
1．设函数的定义域为，满足，且当时，．则下列结论正确的个数是（ ）
①；
②若对任意，都有，则a的取值范围是；
③若方程恰有3个实数根，则m的取值范围是．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】依题意，，当时，，且在区间上的最大值为1，
当时，，，在区间上的最大值为2，
当时，，，在区间上的最大值为4，
当时，，，在区间上的最大值为8，
显然，①正确；
作出函数的部分图象，如图，
当时，必有，由整理得：，于是得，
因为对任意，都有，因此，所以a的取值范围是，②正确；
方程恰有3个实数根，即直线与函数的图象恰有3个公共点，
显然直线与在区间上的图象有且只有1个公共点，
当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得：
，则，解得，
而在区间上的最大值为，直线，
当时，，此时该直线与在区间上的图象有两个公共点，
因此直线与函数在时的图象有公共点时，公共点个数大于3，不符合题意，
当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得：
，则，解得，
当直线与在区间上的图象相切时，由消去y整理得：
，则，解得，
观察图象知，方程恰有3个实数根，则m的取值范围是，③错误.
所以正确结论的个数是2.
故选：C
2．设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，若对任意的，恒成立，则实数的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为是奇函数，是偶函数，
所以，解得，
由，
当时，则，所以，
同理：当时，，
以此类推，可以得到的图象如下：
由此可得，当时，，
由，得，解得或，
又因为对任意的，恒成立，
所以，所以实数的最大值为.
故选：B.
3．已知函数，其中，给出以下关于函数的结论：
①②当时，函数值域为③当时方程恰有四个实根④当时，若恒成立，则．其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】当时，，是把向右平移2个单位变成后，再把纵坐标变为原来的2倍，得到的图象，如图：
∵，故①正确；
由题知函数在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，在上函数值域为，故当时，函数值域为，故②正确；
当时有无数个实数根，故③错误；
当时，函数的图象与的图象交于点，结合图象，即，故④正确,
故选：C
重难点突破：函数性质与导数
【典例11-1】已知可导函数 的定义域为， 为奇函数，设 是 的导函数， 若 为奇函数，且 ，则（ ）
A．-1012 B．-506
C．506 D．1012
【答案】D
【解析】∵为奇函数，∴，∴两边求导得，
∵，可知关于直线对称，
又∵为奇函数，则，可知关于点对称，
令，可得，即，
由可得，
由，可得，即，可得 ，即，
令，可得；
令，可得 ;
且，可知8为的周期，
可知，，，
所以
故选: D
【典例11-2】[新考法]（多选题）已知函数，均是上的连续函数，，分别为函数和的导函数，且，，若为奇函数，则（ ）
A．是周期函数 B．为奇函数
C．关于对称 D．存在，使
【答案】ACD
【解析】函数，均是定义在上的连续函数，①，
②，将②式中换为得③，
①+③得，则的图象关于点中心对称；
将②式中换为得：④，
①-④得：，因此不是奇函数，B错误；
，即，所以关于对称，C正确；
由及为奇函数，得，
即，同时求导可得：，
即，所以是周期函数，周期为2，故A正确；
又为奇函数，，，则，结合
当时，数列是首项为3，公差为6的等差数列，
则，
当时，数列是首项为6，公差为6的等差数列，
则，因此时，，显然满足上式，
即，，
令，解得：，D正确.
故选：ACD
（1）若函数关于直线对称，则导函数关于点（a，0）对称．
（2）若函数关于点（a，b）对称，则导函数关于直线对称．
（3）若函数为奇函数，则导函数为偶函数；若函数为偶函数，则导函数为奇函数．
（4）若导函数为奇函数，则函数为偶函数；若导函数为偶函数，则函数不一定为奇函数．
（5）若原函数为周期函数，则导函数一定为周期函数，且原函数和导函数周期相同．
（6）若导函数为周期函数，则原函数不一定为周期函数．
【变式11-1】已知函数及其导函数的定义域都为R，且为偶函数，为奇函数，则（　 ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】为偶函数，
，
，
为奇函数，
，
，即，
，
，即函数的周期为4，
，
，
，
，
，即，
由得，
，
.
故选：.
【变式11-2】已知函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为为奇函数，为偶函数，
所以，，
所以为偶函数，故B错误；
又对两边求导，得，
即，所以是偶函数，故D错误；
由，可得，
由，可得，
所以，即，即得，
所以是周期为4的函数，则，两边求导，得，
所以是奇函数，故A正确；
由，可得，即，
又由，可得，
所以，即为偶函数，所以为偶函数，故C错误.
故选：A.
1．（多选题）已知定义域为的函数满足，为的导函数，且，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．
C．
D．对，，
【答案】ABC
【解析】由题意定义域为的函数满足
令，则，
令，则，即，
故为奇函数，A正确；
由于，故，即，
则为偶函数，由可得，
由，令得，
故，令，则，B正确；
又，
则，
令，则，
由柯西方程知，，故，
则，由于，故，
即，则，C正确；
对
,
故，D错误，
故选：ABC.
2．（多选题）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为和都是奇函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．关于点对称 B．
C． D．
【答案】ABD
【解析】对于A：把的图象向左平移1个单位，可得的图象，
又为奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于点对称，故A正确；
对于B：由为奇函数，则，
又为的导函数，所以，即，则，
又为奇函数，所以，即，
由上得，故，故，
即，即是奇函数，故B正确；
对于C：由于，
故，即，故4是的一个周期，
又，即，所以为周期为4的周期函数，
因为，令可得，即，
所以，故C错误；
对于D：因为是上的奇函数，故，结合得，
，
故，故D正确．
故选：ABD
3．（多选题）已知函数及其导函数的定义域均为R，记.若，均为奇函数，且，则（ ）
A．关于直线对称 B．关于点对称
C．的周期为4 D．
【答案】BCD
【解析】对于A，由为奇函数可得，
故关于对称，故A错误，
对于B，由于为奇函数，故，故关于点对称，B正确，
对于C，由和可得，
令，故，故，因此，
结合关于对称可得，
故的周期为4，C正确，
对于D，由于，故，
且，由于，令，则，
，故D正确，
故选：BCD
4．（多选题）已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ）
A．的图象关于对称
B．
C．
D．
【答案】ACD
【解析】由题意可得，两式相减可得①，
所以,令，可得,
所以，
所以的图象关于对称，故A正确；
因为为奇函数，所以关于中心对称，
所以②，②式两边对求导可得，
结合，可得：
所以，令，可得：，
所以即，故B错，
因为，可知也是周期为4的周期函数，
即，两边求导可得，所以，故C正确；
是周期为4的周期函数，所以，
因为，令，则，即，
又，所以，又因为是周期为4的周期函数，
则，由可得，
所以，所以，D正确.
故选：ACD
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